Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)
Tuyển tập 1.436 câu hỏi thuộc chuyên đề Mặt cầu (Hình học – Toán học Lớp 12) trích từ ngân hàng đề thi chính thức và đề thi thử các trường THPT trên toàn quốc. Chọn trực tiếp đáp án A, B, C, D bên dưới để kiểm tra kết quả và xem hướng dẫn giải chi tiết từng bước.
Dấu hiệu & kiến thức trọng tâm:tâmbán kínhgiao/tiếp xúc đường/mặt
Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Biết diện tích xung quanh của hình trụ là 72π, thể tích của mỗi khối cầu là (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y+6z−13=0 và đường thẳng d:2x−1=2y+4=1z+1. Điểm M nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA,MB,MC đến mặt cầu (S) (A,B,C là các tiếp điểm) thỏa mãn AMB=60∘, BMC=90∘, CMA=120∘. Biết điểm M có tọa độ (a;b;c) với c>0. Tính tổng a+b+c.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=27. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;0;−4),B(2;0;0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C). Gọi (N) là khối nón có đỉnh là tâm của (S), đáy là hình tròn (C). Khi (N) có thể tích lớn nhất, mặt phẳng (α) có phương trình dạng ax+by−z+c=0. Giá trị của a−2b+3c bằng
Mặt cầu (S) có tâm I(1;−2;3), bán kính R=33. Vì A(0;0;−4),B(2;0;0)∈(α) nên c=−4 và 2a+c=0⇒a=2, suy ra (α):2x+by−z−4=0. Gọi h=d(I,(α)) và r=R2−h2=27−h2 là bán kính của (C). Thể tích khối nón (N) là V=31πr2h=31π(27h−h3), đạt giá trị lớn nhất trên (0;33) khi h=3. Khi đó d(I,(α))=4+b2+1∣2−2b−3−4∣=3⇔∣2b+5∣=3b2+5⇔5b2−20b+20=0⇔b=2. Vậy a−2b+3c=2−2⋅2+3(−4)=−14. Chọn A.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S1) có tâm I(2;1;1) có bán kính bằng 4 và mặt cầu (S2) có tâm J(2;1;5) có bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu (S1),(S2). Đặt M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị M+m bằng.
Ta có IJ=4=R1−R2+2, mặt phẳng (P) tiếp xúc ngoài với (S1),(S2) luôn đi qua đỉnh S(2;1;9) của mặt nón ngoại tiếp hai mặt cầu với góc ở đỉnh 2α thỏa sinα=SJR2=42=21⇒α=30∘. Khảo sát khoảng cách từ O(0;0;0) đến (P) ta tìm được M+m=9. Chọn A.
Cho hình cầu đường kính 2a5. Mặt phẳng (P) cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính bằng a2. Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng (P).
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy. Đáy là tam giác ABC có tanA=2, tanB=3 và chu vi bằng 4. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB,SC. Diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH gần bằng số nào dưới đây?
Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra {AB⊥BDAC⊥CD(1). Từ giả thiết SA⊥(ABCD) ta có {SA⊥BDSA⊥CD(2). Từ (1) và (2) suy ra {BD⊥(SAB)CD⊥(SAC)⇒{BD⊥AHCD⊥AK(3). Từ giả thiết ta cũng có {AH⊥SBAK⊥SC(4). Từ (3) và (4) ta có {AH⊥(SBD)AK⊥(ACD)⇒{AH⊥HDAK⊥KD(5). Từ (1) và (5) ta suy ra các điểm A,B,C,H,K,D cùng nằm trên mặt cầu đường kính AD. Trong tam giác ABC, từ giả thiết tanA=2,tanB=3 ta có tanC=−tan(A+B)=−1−tanAtanBtanA+tanB=1⇒C=45∘. Lại có tanA=2⇒cos2A=1+tan2A1=51⇒sin2A=54⇒sinA=52. Tương tự, tanB=3⇒cos2B=1+tan2B1=101⇒sin2B=109⇒sinB=103. Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có AD=sinCAB=sinABC=sinBAC=sinA+sinB+sinCAB+BC+AC=52+103+14≈1,5685. Diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH gần bằng πAD2≈7,73.
