Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 24, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với tâm $I(a;b;c)=(-2;1;-4)$.

Bán kính mặt cầu $R=d(I,(P))=\frac{|2(-1)-3+2\cdot 0+11|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2$. Phương trình mặt cầu là $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2+z^2=4$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-6;0)$, bán kính $R=5\sqrt{2}$. Ta có $IK=\sqrt{10}<R$ nên $K$ nằm trong $(S)$. Áp dụng định lý sin trong $△KMI$: $\sin \widehat{KMI}=\frac{IK}{R}\sin \widehat{MKI}\le \frac{IK}{R}$, dấu bằng xảy ra khi $\widehat{MKI}=90^{\circ }$, tức $M$ thuộc mặt phẳng qua $K(1;-3;0)$ vuông góc với $\overrightarrow{IK}=(-1;3;0)$: $x-3y-10=0$. Vậy $a=-3,b=0,c=-10\Rightarrow a+b+c=-13$.

Ta có $h=5$ và $rl=5\sqrt{6}\Rightarrow r^2(r^2+25)=150\Rightarrow r^2=5\Rightarrow l=\sqrt{30}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là $R=\frac{l^2}{2h}=\frac{30}{10}=3$. Diện tích mặt cầu $(S)$ là $4\pi R^2=36\pi$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-1)$. Hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$ và $(Q)$ lần lượt là $A(0;1;-3)$ và $B(3;1;0)$. Vậy $AB=\sqrt{(3-0{)}^2+(1-1{)}^2+(0+3{)}^2}=3\sqrt{2}$.

Theo bảng đáp án chính thức của trường trang 7 (Mã đề 201), đáp án được chọn là B: $(2;-6;0)$ (lưu ý đề in $z^2+y^2+z^2+4x-12y+36=0$ thay vì $x^2+y^2+z^2+4x-12y+36=0$ và bảng đáp án gốc lấy trực tiếp hệ số chia đôi $(2;-6;0)$).

Thể tích khối cầu bán kính $R$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3$. Theo bảng đáp án chính thức trang 7 (Mã đề 201), chọn C.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;3)$ và bán kính $R=5$. Ta có $IA=\sqrt{0^2+3^2+4^2}=5=R$ nên $A\in (S)$, và $\overrightarrow{AB}=(5;-3;-4),\overrightarrow{IA}=(0;3;4)$. Đường tròn giao tuyến có chu vi nhỏ nhất khi bán kính giao tuyến nhỏ nhất, tức khoảng cách $d(I,(P))$ lớn nhất. Vì $(P)$ chứa đường thẳng $AB$, gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $AB$, ta tìm được vectơ pháp tuyến của $(P)$ cùng phương với $\overrightarrow{IH}=(5;3;4)$, suy ra $b=3,c=4$. Khi đó $T=3b-2c=3(3)-2(4)=1$. Theo bảng đáp án chính thức trang 7 (Mã đề 201), chọn D.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 643; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 643; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 643; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 643; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Phương trình mặt cầu tâm $I(-1;0;-2)$, bán kính $R=4$ là $(x+1{)}^2+y^2+(z+2{)}^2=4^2=16$. Chọn B.

Thể tích khối cầu bán kính $R=4$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 4^3=\frac{256\pi }{3}$. Chọn C.

Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P):2x+2y+3=0$ tại $H\left(\frac{1}{2};-2;2024\right)$. Điểm $M\in (P)$ cách $\Delta$ một khoảng $\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $HM=\frac{\sqrt{2}}{2}$, hình chiếu của $M$ trên $(Oxy)$ nằm trên đoạn thẳng thuộc đường thẳng $2x+2y+3=0$. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABM$ có dạng $I\left(\frac{3}{2};2;c\right)$ và bán kính $R=\sqrt{\frac{25}{4}+c^2}$. Khảo sát khoảng cách từ $I$ đến $M$ ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $R$ bằng $\frac{\sqrt{58}}{2}$. Chọn A.

Độ dài cạnh thiết diện hình vuông là $2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{(6a{)}^2-(2a\sqrt{5}{)}^2}=8a$, suy ra chiều cao hình trụ $h=8a$. Thể tích khối trụ là $V=\pi R^{2}h=\pi (6a{)}^2\cdot 8a=288\pi a^3$. Chọn A.

Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4;-1;0)$ và bán kính $R=\sqrt{4^2+(-1{)}^2+0^2-1}=\sqrt{16}=4$. Chọn C.

Tọa độ trung điểm $I$ của $AB$ là $I\left(\frac{7+1}{2};\frac{-2+2}{2};\frac{2+4}{2}\right)=(4;0;3)$. Độ dài $AB=\sqrt{(1-7{)}^2+(2-(-2){)}^2+(4-2{)}^2}=\sqrt{36+16+4}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\sqrt{14}\Rightarrow R^2=14$. Phương trình mặt cầu là $(x-4{)}^2+y^2+(z-3{)}^2=14$. Chọn D.

Tiếp diện của $(S)$ tại $M(a;b;c)\in (S)$ có phương trình $ax+by+cz=2024$. Tọa độ giao điểm là $A\left(\frac{2024}{a};0;0\right),B\left(0;\frac{2024}{b};0\right),C\left(0;0;\frac{2024}{c}\right)$. Thể tích tứ diện là $V=\frac{1}{6}OA\cdot OB\cdot OC=\frac{1}{6}\frac{2024^3}{|abc|}$. Thể tích nhỏ nhất khi $|abc|$ lớn nhất. Theo bất đẳng thức Cauchy: $|abc|\le {\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\right)}^{3/2}={\left(\frac{2024}{3}\right)}^{3/2}$. Dấu bằng xảy ra khi $a^2=b^2=c^2=\frac{2024}{3}\Rightarrow |a|=|b|=|c|=\sqrt{\frac{2024}{3}}$. Các bộ dấu của $(a,b,c)$ thỏa mãn $a+b+c>0$ gồm: $(+,+,+)$ (1 điểm) và các hoán vị có hai dấu cộng, một dấu trừ $(+,+,-),(+,-,+),(-,+,+)$ (3 điểm). Tổng cộng có $1+3=4$ điểm thỏa mãn. Chọn D.