Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Đáp án: C. Theo hướng dẫn giải chính thức (trang 11, nhãn 'Câu 44'): Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=3$. Ta có $IA=3\sqrt{3}$, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: $IH\cdot IA=I{E}^2\Rightarrow IH=\frac{9}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3}$. Do $(C_1)$ và $(C_2)$ có cùng bán kính nên $IM=IA=3\sqrt{3}$, suy ra $M{H}^2=M{I}^2-I{H}^2=27-3=24\Rightarrow MH=2\sqrt{6}$. Do $H$ cố định nên $M$ chạy trên đường tròn tâm $H$ bán kính $r=2\sqrt{6}$.

Tâm của mặt cầu $(S)$ là điểm $I(-1;4;2)$.

Phương trình mặt cầu tâm $I(0;3;-3)$, bán kính $R=5$ là $x^2+(y-3{)}^2+(z+3{)}^2=25$.

Mặt cầu có tâm $I(1;-4;3)$ và đi qua điểm $A(5;-3;2)$ nên có bán kính $R=IA=\sqrt{(5-1{)}^2+(-3+4{)}^2+(2-3{)}^2}=3\sqrt{2}$.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là $(x-1{)}^2+(y+4{)}^2+(z-3{)}^2=18$.

Đường thẳng $\Delta$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ khi khoảng cách $d$ từ tâm $O$ đến đường thẳng $\Delta$ nhỏ hơn bán kính $R$, tức là $d<R$.

Gọi $I(a;b;c)$ là tâm mặt cầu. Ta có các vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-2)$, $\overrightarrow{u_2}=(1;2;2)$, $\overrightarrow{u_3}=(2;-2;1)$ đôi một vuông góc và $|\overrightarrow{u_1}{|}^2=|\overrightarrow{u_2}{|}^2=|\overrightarrow{u_3}{|}^2=9$.

Khi đó $9R^2=|\left[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{u_1}\right]{|}^2=|\left[\overrightarrow{BI},\overrightarrow{u_2}\right]{|}^2=|\left[\overrightarrow{CI},\overrightarrow{u_3}\right]{|}^2$.

Cộng ba đẳng thức lại ta được:
$27R^2=18{\left(a-\frac{7}{2}\right)}^2+18{\left(b-\frac{3}{2}\right)}^2+18{\left(c-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{243}{2}\ge \frac{243}{2}\Rightarrow R_{\min }=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,12.$

Diện tích bề mặt quả bóng rổ là $S=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{24,5}{2}\right)}^2\approx 1886{\text{ cm}}^2$.
Chọn A.

Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(S)$ là $I(2;-1;-3),R=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+(-3{)}^2-(-2)}=4$.
Chọn D.

Ta có: mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;6)$, bán kính $R=1$.
Lại có: $IH=\sqrt{11},IA=3\sqrt{3}$, do đó $H,A$ nằm ngoài mặt cầu.
$ABCD$ có $HA=2\sqrt{2}\Rightarrow AB=AH\sqrt{2}=4\Rightarrow S_{ABCD}=16$.
Khi đó $V_{M.ABCD}=\frac{1}{3}MK\cdot S_{ABCD}=\frac{16}{3}MK$.
Gọi $J,N$ lần lượt là hình chiếu của $I,M$ trên $AH$. Ta có $MK\le MN\le MJ\le IM+IJ=R+d(I,AH)$.
Ta có $\overrightarrow{AI}=(-1;-1;5),\overrightarrow{AH}=(-2;0;2)\Rightarrow [\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AH}]=(-2;-8;-2)\Rightarrow d(I,AH)=\frac{|[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AH}]|}{|\overrightarrow{AH}|}=3$.
Suy ra $V_{M.ABCD}\le \frac{16}{3}(1+3)=\frac{64}{3}$.
Chọn D.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1276, trang 5), Câu 4 (Phần II): a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Đơn vị trên trục là mét nên $R=4000\text{ m}⟹R^2=16000000\ne 16$ (a sai). Khoảng cách $ID=\sqrt{5100^2+623^2+50^2}\approx 5138\text{ m}>4000\text{ m}$ (b sai). Bán kính vùng phủ sáng trên mặt biển là $r=\sqrt{4000^2-50^2}\approx 3999,7\text{ m}$ (c đúng). Quãng đường người đi biển cần đi để chạm ranh giới vùng sáng là $\sqrt{5100^2+623^2}-r\approx 1138,22\text{ m}$, thời gian là $\frac{1138,22}{7\cdot 1852}\cdot 60\approx 5,27$ phút (d đúng).

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2;0;-5)$, bán kính $R=2\sqrt{6}$. Hình chiếu của $I$ lên $(P)$ là $H(-3;-1;-5)$, bán kính đường tròn $(C)$ là $r=\sqrt{R^2-I{H}^2}=\sqrt{24-2}=\sqrt{22}$. Hình chiếu của $A(4;-12;1)$ lên $(P)$ là $K(6;-10;1)$. Điểm $M\in (C)$ gần $A$ nhất nằm trên tia $HK$ thuộc $(P)$ cách $H$ đoạn $r=\sqrt{22}$, tìm được tọa độ $M(0;-4;-3)$, có tung độ bằng $-4$. Chọn B.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$. Chọn A.

Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ theo thiết diện là một đường tròn khi và chỉ khi $d<R$. Chọn A.

Khoảng cách từ tâm $O$ đến mặt phẳng $(P)$ là $d(O,(P))=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$. Chọn A.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+3^2+11}=5$. Với điểm $M(3;1;2)$, ta có $IM=\sqrt{(3-1{)}^2+(1+2{)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{14}<5=R$, nên $(3;1;2)$ nằm bên trong mặt cầu $(S)$ (khớp bảng đáp án chính thức trang 49 cho Mã đề 101: 21A; lưu ý lời giải chi tiết trang 55 xét điểm $A(1;2;0)$ có $IA=5=R$ nằm trên mặt cầu và ghi Chọn B).

Mặt cầu có đường kính $2r$ nên có bán kính bằng $r$. Diện tích mặt cầu là $S=4\pi r^2$. Chọn A.

Ba điểm $A(4;1;2),B(1;4;2),C(1;1;5)$ đều thuộc cả mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$ nên thuộc đường tròn giao tuyến $(C)$, đồng thời $AB=BC=CA=3\sqrt{2}$ nên $△ABC$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn $(C)$ có tâm $H$ là trọng tâm $△ABC$. Với điểm $M\in (C)$, theo định lí Ptolemy trong tứ giác nội tiếp, $MA+MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất khi $M$ lần lượt là các điểm $M_1,M_2,M_3$ đối xứng với $A,B,C$ qua tâm $H$ của đường tròn $(C)$. Khi đó trọng tâm của $△M_1{M}_2{M}_3$ cũng là $H$, suy ra $x_{M_1}+x_{M_2}+x_{M_3}=x_A+x_B+x_C=4+1+1=6$. Chọn B.

Diện tích của mặt cầu bán kính $R$ là $S=4\pi R^2$.