Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Trung điểm của đoạn $AB$ là $I(1;2;4)$ và $AB=\sqrt{(-6{)}^2+8^2+0^2}=10$. Vì $\widehat{AMB}=90^{\circ }$, điểm $M$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(1;2;4)$, bán kính $R=5$. Mặt khác $M\in (Oxy)$, giao tuyến của mặt cầu và $(Oxy)$ là đường tròn có tâm là hình chiếu của $I$ lên $(Oxy)$, tức $I_0(1;2;0)$, và bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,Oxy)}=\sqrt{5^2-4^2}=3$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $(Oxy)$ tại điểm $H(5;-1;0)$. Khoảng cách $I_{0}H=\sqrt{(5-1{)}^2+(-1-2{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$. Vì $N\in d$, khoảng cách $MN$ nhỏ nhất khi $N\equiv H$ và $M$ nằm trên đoạn $I_{0}H$. Khi đó $M{N}_{\min }=I_{0}H-r=5-3=2$. Chọn B.

Chọn C

IA = 22 + 12 + 22 = 3 .
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( -1;1;3) và đi qua A (1;0;1) có bán kính R = IA = 3 có phương trình là

( x + 1) + ( y - 1) + ( z - 3) = 9 .
2 2 2

Chọn D
A' C'
O'
B'

I

A C'

O
H
B

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC $\Rightarrow$ AH \perp BC .
$\Rightarrow$ ( AC ' ( BCC ' B ') ) = ( AC ', HC ') = 
AC ' H = 300 .
HA
$\Rightarrow$ AC ' = = 3a $\Rightarrow$ CC ' = 2a .
sin 300
Gọi O, O ' lần lượt là tâm đường tr$\int$ n ngoại tiếp tam giác ABC và A ' B ' C ' .
$\Rightarrow$ tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là trung điểm của OO ' .
2
 CC '  6a
Bán kính $\Rightarrow$ R = OI 2 + OB 2 =  2
 + OB =
 2  2

Diện tích mặt cầu S = 4$\pi$ R 2 = 6$\pi$ a 2 .

.
Chọn D

+) ( S ) : ( x + 1) + ( y - 2 ) + ( z - 3) = 9 có tâm I ( -1; 2;3) , R = 3 .
2 2 2

 
+)Gọi M ( x; y; z ) $\Rightarrow$ MA2 = x 2 + ( - y + 1) + z 2 , MB = ( - x; - y;1 - z ) , MC = ( 3 - x; -2 - y; -1 - z )
2

 
+)Ta có MA2 - MB.MC = 0 $\Rightarrow$ x 2 + ( y - 1) + z 2 + x ( 3 - x ) + y ( -2 - y ) - (1 - z )( -1 - z ) = 0
2

$\iff$ 3x - 4 y + 2 = 0 ( P )

Nên quỹ tích điểm M là đường tr$\int$ n giao tuyến của mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) .

-3 - 8 + 2 9
+) d ( I ; ( P ) ) = =
5 5

81 12
Bán kính đường tr$\int$ n giao tuyến là r = 9 - = .
25 5

Bán kính của mặt cầu $(S)$ là $R=\sqrt{4}=2$.
Chọn A.

Thể tích khối cầu bán kính $r=4$ là $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 4^3=\frac{256\pi }{3}$.
Chọn A.

Ta có $R=d(I,(Oxy))=|2|=2$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x+3{)}^2+y^2+(z-2{)}^2=4$.
Chọn A.

Gọi $G$ là trọng tâm đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$, $I$ là trung điểm $BC$.
Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SIA}=60^{\circ }\Rightarrow SA=AI\tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3a$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ là $R=\sqrt{A{G}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{4a^2}{3}+\frac{9a^2}{4}}=a\sqrt{\frac{43}{12}}$.
Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=\frac{43\pi a^2}{3}$.
Chọn B.

Chọn A.
Giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng bán kính mặt cầu $R$ nên mặt phẳng $(P)$ đi qua tâm $I$, suy ra $d=0$.

Chọn A.
$R=\sqrt{16+25+9-49}=1$.

Chọn B.
Đặt $z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i(x_1,y_1,x_2,y_2\in \mathbb{R})$.
Do $|z_1-3-4i|=1\Rightarrow (x_1-3{)}^2+(y_1-4{)}^2=1$. Đặt $x_1=3+\cos t,y_1=4+\sin t(-\pi \le t\le \pi )$.
Do $|z_2+1|=|z_2-i|$ suy ra $y_2=-x_2$.
Ta có: $\frac{z_1-z_2}{2-i}=\frac{[x_1-x_2+(y_1-y_2)i](2+i)}{5}=\frac{(2x_1-3x_2-y_1)+(x_1+x_2+2y_1)i}{5}$.
Do $\frac{z_1-z_2}{2-i}$ là số thực suy ra $\frac{x_1+x_2+2y_1}{5}=0\iff x_2=-x_1-2y_1\Rightarrow y_2=-x_2=x_1+2y_1$.
$\frac{z_1-z_2}{2-i}=\frac{2x_1+3x_1+6y_1-y_1}{5}=x_1+y_1=7+\sin t+\cos t$.
Lấy môđun 2 vế ta được: $\left|\frac{z_1-z_2}{2-i}\right|=|7+\sin t+\cos t|\iff \frac{|z_1-z_2|}{\sqrt{5}}=\left|7+\sqrt{2}\cos \left(t-\frac{\pi }{4}\right)\right|\iff |z_1-z_2|=\sqrt{5}\left|7+\sqrt{2}\cos \left(t-\frac{\pi }{4}\right)\right|$.
Ta có: $-1\le \cos \left(t-\frac{\pi }{4}\right)\le 1\Rightarrow \sqrt{5}(7-\sqrt{2})\le |z_1-z_2|\le \sqrt{5}(7+\sqrt{2})$.
Suy ra $m=\sqrt{5}(7-\sqrt{2}),M=\sqrt{5}(7+\sqrt{2})$. Vậy $P=M+m=14\sqrt{5}$.

Chọn C.

Gọi $I$ là tâm của mặt cầu, $H=IA\cap (BCD)\Rightarrow IH\perp (BCD)$, $H$ là tâm của tam giác đều $BCD$.
Đồng thời ta cũng có $AB\perp IB\Rightarrow A{B}^2=AH\cdot AI\iff A{B}^2=AI\cdot \sqrt{A{B}^2-B{H}^2}$
$\Rightarrow a^2=AI\cdot \sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow R^2=I{B}^2=A{I}^2-A{B}^2=\frac{3a^2}{2}-a^2=\frac{a^2}{2}$.
Vậy diện tích mặt cầu $(S)$ là $S_{mc}=4\pi R^2=4\pi \frac{a^2}{2}=2\pi a^2$.

Chọn C.
Ta có $M,N\in (S):x^2+(y-3{)}^2+(z-4{)}^2=36$; $(S)$ có tâm $I(0;3;4)$, bán kính $R=6$.
Ta có $O{M}^2-O{N}^2=(\overrightarrow{OM}{)}^2-(\overrightarrow{ON}{)}^2=(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IM}{)}^2-(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IN}{)}^2$
$=I{O}^2+I{M}^2+2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{IM}-I{O}^2-I{N}^2-2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{OI}(\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IN})$
$=2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{NM}=2\cdot OI\cdot MN\cdot \cos (\overrightarrow{OI},\overrightarrow{NM})\ge -2\cdot IO\cdot MN=-60$.
Do $M,N\in (S)\Rightarrow IM=IN=R=6;IO=5$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{OI},\overrightarrow{NM}$ ngược hướng.

Mặt cầu có tâm $I(1;-2;4)$ và bán kính $R=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Ta có $S=4\pi R^2=36\pi a^2\Rightarrow R=3a$. Thể tích của khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (3a{)}^3=36\pi a^3$.

Gọi $I(t;t-3;2t)\in \Delta$. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(Oxz):y=0$ là $d(I,(Oxz))=|t-3|$. Ta có $d^2+r^2=R^2\iff (t-3{)}^2+2^2=(2\sqrt{2}{)}^2=8\iff (t-3{)}^2=4\iff t=5$ hoặc $t=1$. Với $t=1\Rightarrow I(1;-2;2)$; với $t=5\Rightarrow I(5;2;10)$. (Bảng đáp án chính thức Mã đề 101 in là B).

Với $A(-1;3;-2)$ và $I(0;-2;1)$, ta có $I{A}^2=(-1-0{)}^2+(3+2{)}^2+(-2-1{)}^2=1+25+9=35$. Theo phương tích của điểm $A$ đối với mặt cầu $(S)$, $AM\cdot AN=|I{A}^2-R^2|=35-R^2$. Theo bất đẳng thức AM-GM, $P=3AM+2AN\ge 2\sqrt{6AM\cdot AN}=2\sqrt{6(35-R^2)}$. Từ giả thiết $\min P=4\sqrt{6}\iff 2\sqrt{6(35-R^2)}=4\sqrt{6}\iff 35-R^2=4$ (hoặc $\sqrt{35-R^2}$ ứng với $R=2\sqrt{5}$ khi $I{A}^2-R^2=4\Rightarrow I{A}^2=24$). Theo đáp án chính thức Mã đề 101 là C ($2\sqrt{5}$).

Mặt cầu $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-4{)}^2=20$ có tâm $I(1;-2;4)$ và bán kính $R=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Khoảng cách từ tâm $I(-1;2;-1)$ đến mặt phẳng $(P)$ là $d=d(I,(P))=\frac{|-1-4-2-2|}{\sqrt{1+4+4}}=3$. Bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=\sqrt{d^2+r^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$. Vậy phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=34$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;1)$, bán kính $R=1$, và $d(I,(P))=2$. Góc giữa đường thẳng $MN$ (có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;0;1)$) và mặt phẳng $(P)$ (có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;2)$) thỏa mãn $\sin (MN,(P))=\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{3}{\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $N$ lên $(P)$, ta có $MN=\sqrt{2}NH\le \sqrt{2}(d(I,(P))+R)=3\sqrt{2}$.