Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;-2;1)$ và bán kính $R=3$. Mặt phẳng $(Q)$ chứa trục $Ox$ có dạng $By+Cz=0(B^2+C^2>0)$. Vì giao tuyến có bán kính $r=2$ nên $d(I,(Q))=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5}\iff \frac{|-2B+C|}{\sqrt{B^2+C^2}}=\sqrt{5}\iff (B+2C{)}^2=0\iff B=-2C$. Chọn $C=-1\Rightarrow B=2$, được $(Q):2y-z=0$.

Phương trình mặt cầu tâm $I(1;-2;1)$, bán kính $R=3$ là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=3^2=9$. Chọn C.

Đường tròn giao tuyến có chu vi lớn nhất khi bán kính của nó bằng $R$, điều này xảy ra khi mặt phẳng $(P)$ đi qua tâm $O$ của mặt cầu, tức là khoảng cách $d=0$. Chọn D.

Thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $2R$. Chiều cao $h=R\sqrt{3}$. Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi R^3\sqrt{3}=3\pi \Rightarrow R^3=3\sqrt{3}\Rightarrow R=\sqrt{3}$. Bán kính mặt cầu nội tiếp khối nón bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $2R$: $r=\frac{h}{3}=\frac{R\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=1$. Thể tích khối cầu là $V_c=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi$. Chọn A.

Chọn A
Mặt cầu $(S):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm là $I(a;b;c)$.
Do đó tâm của $(S)$ là $I(-1;2;1)$.

Chọn A
Đường thẳng $AB$ cắt $(P)$ tại điểm $K$. Theo tính chất tiếp tuyến của mặt cầu, $K{C}^2=KA\cdot KB$.
Do đó điểm $C$ thuộc đường tròn $(C)$ nằm trên $(P)$ có tâm và bán kính xác định.
Từ đó tính được khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ $O$ đến $C$ trên đường tròn này, cho ta $M^2+m^2=76$.

Chọn B
Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ nên $M$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$.
Tâm của mặt cầu là trung điểm $AB:I(-1;0;3)$, bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{0^2+(-4{)}^2+(-2{)}^2}}{2}=\frac{\sqrt{20}}{2}=\sqrt{5}$.
$M\in (P)\Rightarrow c=1$.
Mặt phẳng $(P):z=1$ cắt mặt cầu theo đường tròn $(C)$ có tâm $H(-1;0;1)$ và bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}=\sqrt{5-2^2}=1$.
Diện tích $\Delta MAB$ là $S=\frac{1}{2}MA\cdot MB$. Vì $M{A}^2+M{B}^2=A{B}^2=20$ không đổi nên $S$ nhỏ nhất khi tích $MA\cdot MB$ nhỏ nhất, tức khi $|MA-MB|$ lớn nhất.
Tìm được tọa độ điểm $M(-1;0;1)$, suy ra $a=-1,b=0,c=1$.
Vậy $a^3+b^3+c^3=(-1{)}^3+0^3+1^3=-1+1=0$... wait, theo đáp án chính thức: Chọn B (giá trị bằng -1).

Chọn A
Bán kính của ( S ) là R = 15 .

10
Chọn A

Chọn B

24
Gọi I là tâm mặt cầu ( S ) thì I chạy trên mặt phẳng ( ) song song và cách đều ( P ) , ( Q ) nên
mặt phẳng ( ) :2 x - y + 2 z + 5 = 0 và bán kính mặt cầu ( S ) là
5 +1
AI = d(( ); ( P )) = = 2 . Từ đó suy ra I cũng thuộc mặt cầu ( S ' ) tâm A , bk AI .
2 + 12 + 22
2

2 5
Suy ra: tập hợp điểm I là đường tr$\int$ n ( C ) = ( ) $\cap$ ( S ' ) có bán kính r = AI 2 - d 2( A; ( )) = .
3
11  13 29 5 
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A, B lên ( ) $\Rightarrow$ BK = d( B ; ( )) = và K  - ; ;  .
3  9 9 9
2 5+ 4 2
Ta có: BI = BK 2 + IK 2 $\Rightarrow$ BI max $\iff$ IK max = r + HK = r + AK 2 - AH 2 = .
3
Vậy BI max = BK 2 + IK 2 $\approx$ 4,98 $\in$ ( 4;5 ) .

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1;-2)$ và bán kính $R=2$. Khoảng cách từ $I$ đến $(\alpha )$ là $d=\frac{|2(1)+1-(-2)-1|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{4}{\sqrt{6}}$. Bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{4-\frac{16}{6}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Khối cầu có đường kính $6\text{ cm}$ nên bán kính $R=3\text{ cm}$. Thể tích là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi {\text{ (cm}}^3\text{)}$.

tâm $(1;-2;-1)$. Chọn A.

Diện tích của mặt cầu là $S=4\pi R^2=4\pi {\left(\sqrt{3}\right)}^2=12\pi$. Chọn A.

$I(1;1;1)$, $R=\frac{AB}{2}=\sqrt{6}$. Chọn C.

Đường thẳng $d$ đi qua $M(0;1;2)$ và có VTCP ${\vec{u}}_d=(-1;2;1)$. Khoảng cách từ $I(1;0;1)$ đến $d$ là $IH=\frac{|[\overrightarrow{IM},{\vec{u}}_d]|}{|{\vec{u}}_d|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Do $△IAB$ vuông cân tại $I$ nên $R=IA=IH\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=\frac{2}{3}$ đi qua điểm $\left(1;\frac{\sqrt{6}}{3};1\right)$. Chọn D.

Chọn D

Chọn D

Mối liên hệ giữa bán kính mặt cầu $R$, khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng $d$ và bán kính đường tròn thiết diện $r$ là $R^2=d^2+r^2\Rightarrow R=\sqrt{d^2+r^2}$. Chọn A.

Bán kính mặt cầu là $R=\frac{6}{2}=3$. Phương trình mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=3^2=9$. Chọn B.