Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (P) song song với (Q): $5x-3y+2z-10=0$ nên nhận cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(5;-3;2)$. Phương trình (P) có dạng $5x-3y+2z+c=0$. Thay điểm M(2; 3; -1): $5(2)-3(3)+2(-1)+c=0\Rightarrow 10-9-2+c=0\Rightarrow c=1$. Vậy $(P):5x-3y+2z+1=0$. Kiểm tra: M(2;3;-1) thỏa mãn $10-9-2+1=0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(1-3;3-5;6-(-2))=(-2;-2;8)$ nên mặt phẳng trung trực (P) có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(-2;-2;8)$. Trung điểm của AB là $I\left(\frac{3+1}{2};\frac{5+3}{2};\frac{-2+6}{2}\right)=(2;4;2)$. Phương trình (P) đi qua I với pháp tuyến $\vec{n}$: $-2(x-2)-2(y-4)+8(z-2)=0\iff -2x-2y+8z-4=0$. Kiểm tra: $-2(2)-2(4)+8(2)-4=0$, thỏa mãn. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-3;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;2;2)$. Vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-6+2;-(4-2);4-6)=(-4;-2;-2)\parallel (2;1;1)$. Mặt phẳng qua A(2;0;3): $2(x-2)+1(y-0)+1(z-3)=0\iff 2x+y+z-7=0$. Kiểm tra: B: $8-3+2-7=0$; C: $0+2+5-7=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua 3 điểm trên ba trục tại các giao điểm A(-3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;-2) có dạng đoạn chắn: $\frac{x}{-3}+\frac{y}{4}+\frac{z}{-2}=1$. Kiểm tra: thay A: $\frac{-3}{-3}=1$ ✓; thay B: $\frac{4}{4}=1$ ✓; thay C: $\frac{-2}{-2}=1$ ✓. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ M(-2; -4; 3) đến mặt phẳng (P): $2x-y+2z-3=0$ là $d(M,(P))=\frac{|2(-2)-(-4)+2(3)-3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|-4+4+6-3|}{3}=\frac{3}{3}=1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của $d$: $\vec{n}=(1;-3;2)$. Mặt phẳng đi qua $A(2;-1;1)$ nên có phương trình: $1(x-2)-3(y+1)+2(z-1)=0\Rightarrow x-3y+2z-2-3-2=0\Rightarrow x-3y+2z-7=0$. Kiểm tra: thay $A(2;-1;1)$: $2+3+2-7=0$ đúng. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-z-2=0$ có VTPT ${\vec{n}}_0=(1;2;-1)$. a) $\vec{n}=(-2;-4;2)=-2{\vec{n}}_0$ nên là VTPT của $(\alpha )$ → đúng. b) Thay $B(3;-3;-5)$: $3+2(-3)-(-5)-2=3-6+5-2=0$ nên $B\in (\alpha )$, khẳng định 'không thuộc' → sai. c) $d(A,(\alpha ))=\frac{|-7+2(-1)-(-4)-2|}{\sqrt{1+4+1}}=\frac{|-7|}{\sqrt{6}}=\frac{7\sqrt{6}}{6}$ → đúng. d) ${\vec{n}}_R=(3;-3;-5)$, $\cos \phi =\frac{|3-6+5|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{43}}=\frac{2}{\sqrt{258}}\approx 0,1245$ nên $\phi \approx 82,85^{\circ }\approx 82,8^{\circ }$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=(-2;-4;2)=-2(1;2;-1)$ cùng phương với VTPT $(1;2;-1)$ của $(\alpha )$ nên là một VTPT của $(\alpha )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ $B(3;-3;-5)$ vào PT: $3+2(-3)-(-5)-2=0$, nên $B$ thuộc $(\alpha )$; khẳng định 'không thuộc' là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(\alpha ))=\frac{|-7+2(-1)-(-4)-2|}{\sqrt{6}}=\frac{7}{\sqrt{6}}=\frac{7\sqrt{6}}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \phi =\frac{|1\cdot 3+2\cdot (-3)+(-1)(-5)|}{\sqrt{6}\sqrt{43}}=\frac{2}{\sqrt{258}}\approx 0,1245\Rightarrow \phi \approx 82,8^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cần tìm song song với $(\alpha ):2x-y-1=0$ nên có vectơ pháp tuyến cùng phương với ${\vec{n}}_{\alpha }=(2;-1;0)$. Vì mặt phẳng có dạng $-x+by+cz+d=0$ với pháp tuyến $(-1;b;c)$, ta có $(-1;b;c)=k(2;-1;0)$. Từ $-1=2k\Rightarrow k=-\frac{1}{2}$, suy ra $b=\frac{1}{2}$, $c=0$. Mặt phẳng: $-x+\frac{1}{2}y+d=0$. Đi qua $M(1;0;0)$: $-1+d=0\Rightarrow d=1$. Vậy $b+c-3d=\frac{1}{2}+0-3=-\frac{5}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-(-1);1-0;0-1)=(3;1;-1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$. Mặt phẳng đi qua $A(-1;0;1)$: $3(x+1)+1(y-0)-1(z-1)=0\iff 3x+y-z+4=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng (Q): x+3y+z-1=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;3;1). b) Sai: từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là u=(2;1;-5), không phải (1;3;4). c) Sai: trung điểm AB là I(1;-2;1), bán kính R=AB/2=2/2=1 nên phương trình mặt cầu là (x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=1, không phải =4. d) Sai: trục tung có vectơ chỉ phương k=(0;0;1), u=(2;1;-5) nên cosα=|-5|/√30=5/√30=√30/6 ≈ 0,9129, khác √30/30.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (Q): x+3y+z-1=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;3;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là u=(2;1;-5), không phải (1;3;4).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm AB là I(1;-2;1), R=AB/2=1 nên phương trình mặt cầu là (x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=1, không phải =4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trục tung có vectơ chỉ phương k=(0;0;1), cosα=|-5|/√30=√30/6, khác √30/30.

(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;6;5)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;8;9)$ nên $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(14;-14;14)\sim (1;-1;1)$. a) $(1;-1;-1)$ không vuông góc với $\overrightarrow{AB}$ ($1-6-5=-10\ne 0$) → Sai. b) Mặt phẳng qua $A$: $x-y+z-4=0$, kiểm tra $B$: $2-7+9-4=0$, $C$: $0-9+13-4=0$ → Đúng. c) $\overrightarrow{BC}=(-2;2;4)\sim (-1;1;2)$, mặt phẳng qua $A$: $-(x-1)+(y-1)+2(z-4)=0\iff x-y-2z+8=0$, khác $x-y-2z-8=0$ → Sai. d) $D(1;3;-3)$: $1-3-3-4=-9\ne 0$ nên $D$ không thuộc $(Q)$ → Sai. Khớp đáp án nguồn SDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=1-6-5=-10\ne 0$ nên $\vec{n}$ không vuông góc $\overrightarrow{AB}$, không là pháp tuyến của $(Q)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $(1;-1;1)$, qua $A(1;1;4)$: $x-y+z-4=0$; $B$ và $C$ thỏa mãn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(-2;2;4)$, mặt phẳng qua $A$: $x-y-2z+8=0$, không phải $x-y-2z-8=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $D(1;3;-3)$ vào $x-y+z-4=0$ được $-9\ne 0$, $D$ không thuộc mặt phẳng.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua ba điểm trên ba trục tọa độ: A(0;1;0) trên trục Oy, B(3;0;0) trên trục Ox, C(0;0;-2) trên trục Oz nên có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$. Kiểm tra: thay A: $0+1+0=1$; thay B: $1+0+0=1$; thay C: $0+0+1=1$. Đáp án khớp với mã đề 211, câu 4 là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}=(1;1;-2)\times (1;0;3)=(1\cdot 3-(-2)\cdot 0;(-2)\cdot 1-1\cdot 3;1\cdot 0-1\cdot 1)=(3;-5;-1)$. Mặt phẳng qua $M(0;-2;1)$: $3(x-0)-5(y+2)-(z-1)=0\iff 3x-5y-z-9=0$. Thử lại: thay $M(0;-2;1)$: $0+10-1-9=0$ đúng; $\vec{n}\cdot \vec{a}=3-5+1=-1\ne 0$... kiểm tra lại: $\vec{n}\cdot \vec{a}=3\cdot 1+(-5)\cdot 1+(-1)(-2)=3-5+2=0$ đúng; $\vec{n}\cdot \vec{b}=3+0-3=0$ đúng. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 211, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua ba điểm trên ba trục tọa độ: A(0;1;0) trên trục Oy, B(3;0;0) trên trục Ox, C(0;0;-2) trên trục Oz nên có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$. Kiểm tra: thay A: $0+1+0=1$; thay B: $1+0+0=1$; thay C: $0+0+1=1$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 12: A).

a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -2\\ 1& 0& 3\end{array}\right|=(1\cdot 3-(-2)\cdot 0;(-2)\cdot 1-1\cdot 3;1\cdot 0-1\cdot 1)=(3;-5;-1)$. Mặt phẳng qua $M(0;-2;1)$: $3x-5y-z+d=0$. Thay $M$: $0+10-1+d=0\Rightarrow d=-9$. Vậy $(P):3x-5y-z-9=0$, trùng với đáp án D trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(ABC)$ cắt các trục tọa độ tại $A(-2;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;-1)$, nên phương trình theo đoạn cắt có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $a=-2$, $b=3$, $c=-1$. Vậy $(ABC)$: $\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{-1}=1$. Kiểm tra: thay $A(-2;0;0)$ được $\frac{-2}{-2}=1$ ✓; thay $B(0;3;0)$ được $\frac{3}{3}=1$ ✓; thay $C(0;0;-1)$ được $\frac{-1}{-1}=1$ ✓. Phương án B sai dấu ở $y$ và $z$ (không đi qua $B$, $C$); C sai dấu ở $x$ (đi qua $(2;0;0)$ thay vì $A$); D có vế phải bằng 0 nên không đi qua $A$, $B$, $C$. Đáp án đúng là A. (Bảng đáp án in trong đề có thể lệch cột mã đề, nhưng về mặt toán học chỉ phương án A thỏa mãn.)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;-3;1)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+2z-5=0$ là $d=\frac{|1-2(-3)+2(1)-5|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{|1+6+2-5|}{3}=\frac{4}{3}$. Vậy $a=4,b=3$, $T=2a+b=8+3=11$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (11).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt các trục tại M(2;0;0), N(0;-1;0), P(0;0;2) nên có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1$. Kiểm tra: thay $M(2;0;0)$: $\frac{2}{2}=1$; thay $N(0;-1;0)$: $\frac{-1}{-1}=1$; thay $P(0;0;2)$: $\frac{2}{2}=1$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 12: A).