Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{6}45=\frac{{\log }_{3}45}{{\log }_{3}6}=\frac{1+2{\log }_{3}5}{{\log }_{3}2+1}$. Vì $a={\log }_{2}3\Rightarrow {\log }_{3}2=\frac{1}{a}$; $b={\log }_{5}3\Rightarrow {\log }_{3}5=\frac{1}{b}$. Do đó ${\log }_{6}45=\frac{1+\frac{2}{b}}{\frac{1}{a}+1}=\frac{\frac{b+2}{b}}{\frac{1+a}{a}}=\frac{a(b+2)}{b(1+a)}=\frac{a(1+2b)}{b(a+1)}$. Vậy $m=1,n=2,p=1\Rightarrow m+n+p=4$. Khớp đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,577<\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$. Vì $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}>a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ với số mũ nhỏ hơn mà lũy thừa lớn hơn nên hàm $a^x$ nghịch biến, suy ra $0<a<1$. b) Đúng: ${\log }_{a^2}{b}^6=\frac{6}{2}{\log }_{a}b=3{\log }_{a}b$, nên $Q={\log }_a{b}^3+3{\log }_{a}b=3{\log }_{a}b+3{\log }_{a}b=6{\log }_{a}b$. c) Đúng: Hàm số xác định khi $|x-1|>0$ (tức $x\ne 1$) và $\ln |x-1|\ne 0$ (tức $|x-1|\ne 1$, tức $x\ne 0$ và $x\ne 2$). Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{0;1;2\}$. d) Sai: Điều kiện $x>1$. Phương trình ${\log }_3(x+6)={\log }_3(x-1)+1\iff x+6=3(x-1)\iff x=\frac{9}{2}$. Giao điểm của $d_1:2x-y-8=0$ với $d_2:y=0$ có hoành độ $2x-8=0\iff x=4\ne \frac{9}{2}$. Do đó mệnh đề sai (khớp đáp án a)Đ - b)Đ - c)Đ - d)S của mã đề 288).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\sqrt{3}}{3}<\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}>a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ nên hàm số $a^x$ nghịch biến, suy ra $0<a<1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{a^2}{b}^6=\frac{6}{2}{\log }_{a}b=3{\log }_{a}b$, do đó $Q=3{\log }_{a}b+3{\log }_{a}b=6{\log }_{a}b$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần $|x-1|>0\Rightarrow x\ne 1$ và $\ln |x-1|\ne 0\Rightarrow |x-1|\ne 1\Rightarrow x\ne 0,x\ne 2$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{0;1;2\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, phương trình cho $x+6=3(x-1)\Rightarrow x=\frac{9}{2}$. Hoành độ giao điểm của $d_1$ với $d_2:y=0$ là $x=4\ne \frac{9}{2}$, nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{2}12={\log }_2(4\cdot 3)={\log }_{2}4+{\log }_{2}3=2+{\log }_{2}3$. So sánh với ${\log }_{2}12=2+a{\log }_{2}3$ suy ra $a=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 288, Phần III Câu 2: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Ban đầu $f(0)=C=300$, nên $C=300$. Sau 1 giờ: $705=300e^k\Rightarrow k=\ln \frac{705}{300}=\ln 2,35\approx 0,854$. Cần $300e^{kx}>10000\Rightarrow e^{kx}>\frac{100}{3}\Rightarrow x>\frac{\ln (100/3)}{\ln 2,35}$. Với các giá trị làm tròn trung gian $\ln (100/3)\approx 3,51$ và $\ln 2,35\approx 0,854$ ta được $x\approx \frac{3,51}{0,854}\approx 4,11$ giờ, khớp với đáp án chính thức của đề (Mã đề 288, Phần III, Câu 3): 4,11. (Tính chính xác không làm tròn trung gian cho $x\approx 4,104$, sai lệch nhỏ chỉ do làm tròn số trung gian.)

Ta có ${\log }_a\sqrt[3]{a}={\log }_a{a}^{\frac{1}{3}}$.

$=\frac{1}{3}{\log }_{a}a=\frac{1}{3}$

Đk: $\{\begin{array}{l}{x}^2+4x>0\\ 2x+3>0\end{array}\iff x>0$.

$pt\Rightarrow {\log }_3\left(x^2+4x\right)-{\log }_3(2x+3)=0$

$\iff {\log }_3\left(x^2+4x\right)={\log }_3(2x+3)$

$\iff x^2+4x=2x+3\iff x^2+2x-3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1(t/m)\\ x=-3(l)\end{array}\right]$

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $0,1^{2x}=100\iff 10^{-2x}=10^2\iff -2x=2\iff x=-1$. Vậy phương trình có nghiệm $x=-1$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 288, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Vì $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,577<\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$. Với $a>0$, so sánh $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}>a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ với hai số mũ khác nhau: nếu $a>1$ thì hàm số mũ đồng biến nên phải có $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}<a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ (mâu thuẫn); do đó phải có $0<a<1$. Mệnh đề đúng.

b) Đúng. ${\log }_a{b}^3=3{\log }_{a}b$; ${\log }_{a^2}{b}^6=\frac{6{\log }_{a}b}{{\log }_a{a}^2}=\frac{6{\log }_{a}b}{2}=3{\log }_{a}b$. Vậy $Q=3{\log }_{a}b+3{\log }_{a}b=6{\log }_{a}b$. Mệnh đề đúng.

c) Đúng. Hàm số $y=\frac{e^x}{\ln |x-1|}$ xác định khi $|x-1|>0$ (tức $x\ne 1$) và $\ln |x-1|\ne 0$ (tức $|x-1|\ne 1$, tức $x\ne 0$ và $x\ne 2$). Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{0;1;2\}$. Mệnh đề đúng.

d) Sai. Điều kiện $x>1$. Phương trình ${\log }_3(x+6)={\log }_3(x-1)+1\iff x+6=3(x-1)\iff 2x=9\iff x=\frac{9}{2}=4,5$ (thỏa mãn điều kiện). Trong khi đó giao điểm của $d_1:2x-y-8=0$ với $d_2:y=0$ là $2x-8=0\iff x=4\ne 4,5$. Mệnh đề sai.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\sqrt{3}}{3}<\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}>a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ nên hàm mũ phải nghịch biến, tức $0<a<1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a{b}^3=3{\log }_{a}b$ và ${\log }_{a^2}{b}^6=\frac{6}{2}{\log }_{a}b=3{\log }_{a}b$, tổng bằng $6{\log }_{a}b$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần $x\ne 1$ và $\ln |x-1|\ne 0\iff x\ne 0,x\ne 2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{0;1;2\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình cho $x=\frac{9}{2}=4,5$, còn giao điểm của $d_1$ với $d_2:y=0$ có hoành độ $x=4\ne 4,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ban đầu $f(0)=C=300$. Sau 1 giờ: $300e^k=705\Rightarrow k=\ln \frac{705}{300}=\ln 2,35\approx 0,8544$. Cần $300e^{kx}>10000\Rightarrow e^{kx}>\frac{100}{3}\Rightarrow x>\frac{\ln (100/3)}{\ln 2,35}\approx \frac{3,5066}{0,8544}\approx 4,1043$ giờ. Vì yêu cầu 'sau ít nhất bao lâu số vi khuẩn sẽ vượt 10000', làm tròn đến phần trăm phải làm tròn lên để đảm bảo vượt mốc 10000 (làm tròn xuống 4,10 sẽ chỉ được khoảng 9966 con), vậy kết quả là $4,11$ giờ, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{2}12={\log }_2(4\cdot 3)={\log }_{2}4+{\log }_{2}3=2+{\log }_{2}3$. So sánh với ${\log }_{2}12=2+a{\log }_{2}3$ suy ra $a=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 119: 1).

Ta có ${\log }_a\sqrt[3]{a}={\log }_a{a}^{\frac{1}{3}}$.

$=\frac{1}{3}{\log }_{a}a=\frac{1}{3}$

Đk: $\{\begin{array}{l}{x}^2+4x>0\\ 2x+3>0\end{array}\iff x>0$.

$pt\Rightarrow {\log }_3\left(x^2+4x\right)-{\log }_3(2x+3)=0$

$\iff {\log }_3\left(x^2+4x\right)={\log }_3(2x+3)$

$\iff x^2+4x=2x+3\iff x^2+2x-3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1(t/m)\\ x=-3(l)\end{array}\right]$

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $0,1^{2x}=100\iff 10^{-2x}=10^2\iff -2x=2\iff x=-1$. Vậy phương trình có nghiệm $x=-1$, tương ứng phương án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Mã đề 119, Câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{6}45=\frac{\log 45}{\log 6}=\frac{\log 9+\log 5}{\log 2+\log 3}$. Với $a={\log }_{2}3$ thì $\log 2=\frac{\log 3}{a}$, nên $\log 2+\log 3=\log 3\left(\frac{1}{a}+1\right)=\frac{\log 3(1+a)}{a}$. Với $b={\log }_{5}3$ thì $\log 5=\frac{\log 3}{b}$. Do đó $\log 45=2\log 3+\frac{\log 3}{b}=\log 3\cdot \frac{2b+1}{b}$. Vậy ${\log }_{6}45=\frac{\log 3\cdot \frac{2b+1}{b}}{\log 3\cdot \frac{1+a}{a}}=\frac{a(1+2b)}{b(1+a)}$. So sánh với $\frac{a(m+nb)}{b(a+p)}$ ta được $m=1,n=2,p=1$, suy ra $m+n+p=4$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 119, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2^{x^2+2x}=8^{2-x}=2^{3(2-x)}=2^{6-3x}$. Suy ra $x^2+2x=6-3x\iff x^2+5x-6=0\iff (x-1)(x+6)=0$, nên $x=1$ hoặc $x=-6$. Tổng các nghiệm: $1+(-6)=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+1>0\iff x>-1$. Phương trình ${\log }_2(x+1)=3\iff x+1=2^3=8\iff x=7$ (thỏa điều kiện). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $81=3^4$, nên phương trình $3^{3x-4}=81$ tương đương $3^{3x-4}=3^4$, suy ra $3x-4=4$, tức $3x=8$, vậy $x=\frac{8}{3}$. Thử lại: $3^{3\cdot \frac{8}{3}-4}=3^{8-4}=3^4=81$ đúng. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=4=2^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$, suy ra $x=-2$. Đáp án khớp với bảng đáp án của đề 1102 (Câu 12: B).

Điều kiện: $x>0$.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với ${\log }_3[x(x+1)]={\log }_3(5x+12)\iff x^2+x=5x+12\iff x^2-4x-12=0$.
$\iff x=-2$ (loại) hoặc $x=6$ (nhận).
Vậy phương trình có nghiệm là $x=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa của logarit: ${\log }_a(a^3)=3{\log }_{a}a=3\cdot 1=3$ (với $a>0,a\ne 1$). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 4: A).