Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=4={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$, suy ra $x=-2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1101, câu 1: C).

Điều kiện: $x>0$ .
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với ${\log }_3[x(x+1)]={\log }_3(5x+12)\iff x^2+x=5x+12\iff x^2-4x-12=0$.
$\iff x=-2$ (loại) hoặc $x=6$ (nhận).
Vậy phương trình có nghiệm là $x=6$ .

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa của logarit: ${\log }_a(a^3)=3{\log }_{a}a=3\cdot 1=3$ (với $a>0,a\ne 1$). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1101, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$. Phương trình ${\log }_3(x-1)=2\iff x-1=3^2=9\iff x=10$ (thỏa điều kiện). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2}=3^{-x^2}$. Phương trình trở thành $3^{2x+1}=3^{-x^2}$, suy ra $2x+1=-x^2$, tức $x^2+2x+1=0\iff (x+1{)}^2=0\iff x=-1$. Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{-1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>0$ và $3x+4>0$, tức $x>0$. Phương trình $2{\log }_{2025}x={\log }_{2025}(3x+4)$ tương đương ${\log }_{2025}{x}^2={\log }_{2025}(3x+4)$, suy ra $x^2=3x+4$, tức $x^2-3x-4=0$. Phân tích: $(x-4)(x+1)=0$ nên $x=4$ hoặc $x=-1$. Vì $x>0$ nên chỉ nhận $x=4$. Thử lại: $2{\log }_{2025}4={\log }_{2025}16={\log }_{2025}(3\cdot 4+4)$. Vậy $x=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số: ${\log }_{a^2}{b}^3=\frac{{\log }_a{b}^3}{{\log }_a{a}^2}=\frac{3{\log }_{a}b}{2}=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 1a)** $11^{x+1}-3\cdot 11^x=8$

Đặt $11^x=t>0$. Phương trình trở thành $11t-3t=8\iff 8t=8\iff t=1$.

Suy ra $11^x=1\iff x=0$. Thử lại: $11^1-3\cdot 11^0=11-3=8$ (thỏa mãn).

Vậy $x=0$.

**Bài 1b)** ${\log }_{12}(4x-7)={\log }_{12}(x+1)$

Điều kiện: $4x-7>0$ và $x+1>0\iff x>\frac{7}{4}$.

Khi đó: $4x-7=x+1\iff 3x=8\iff x=\frac{8}{3}$.

Vì $\frac{8}{3}>\frac{7}{4}$ nên $x=\frac{8}{3}$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy $x=\frac{8}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1:
a) $3\cdot 2^{x+1}=1\Rightarrow 2^{x+1}=\frac{1}{3}=2^{-{\log }_{2}3}\Rightarrow x+1=-{\log }_{2}3\Rightarrow x=-1-{\log }_{2}3$. Vậy $x=-1-{\log }_{2}3$.

b) Điều kiện: $x>0$ và $x-3>0$, tức $x>3$. Khi đó $\ln x+\ln (x-3)=\ln 5x\iff \ln (x(x-3))=\ln (5x)\iff x(x-3)=5x$. Vì $x>3>0$, chia hai vế cho $x$: $x-3=5\Rightarrow x=8$ (thỏa mãn điều kiện). Vậy $x=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1:

a) $2\cdot 5^{2x+1}=3\iff 5^{2x+1}=\frac{3}{2}\iff 2x+1={\log }_5\frac{3}{2}\iff x=\frac{{\log }_5\frac{3}{2}-1}{2}=\frac{1}{2}{\log }_5\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$.

Vậy $x=\frac{{\log }_5(3/2)-1}{2}\approx -0.2542$.

b) Điều kiện: $x^2-3x+2>0$ và $2x-4>0\iff x>2$.

Với $x>2$, phương trình tương đương $x^2-3x+2=2x-4\iff x^2-5x+6=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=3</td></tr></tbody></table>$.

So với điều kiện $x>2$: $x=2$ bị loại (khi đó $2x-4=0$ không hợp lệ), $x=3$ thỏa mãn (kiểm tra: $x^2-3x+2=2$, $2x-4=2$).

Vậy $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2+4x>0$ và $2x+3>0$, tức $x>0$ (vì $x>\frac{-3}{2}$ kết hợp $x>0$ hoặc $x<-4$).

Ta có ${\log }_{\frac{1}{3}}(2x+3)=-{\log }_3(2x+3)$, nên phương trình trở thành:
$${\log }_3(x^2+4x)-{\log }_3(2x+3)=0⟺x^2+4x=2x+3$$
$$⟺x^2+2x-3=0⟺(x-1)(x+3)=0⟺x=1\text{ hoặc }x=-3.$$

So với điều kiện $x>0$: loại $x=-3$, giữ $x=1$.

Thử lại: $x=1$: ${\log }_{3}5+{\log }_{1/3}5={\log }_{3}5-{\log }_{3}5=0$ (thỏa).

Vậy $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{2025}(2025a)={\log }_{2025}2025+{\log }_{2025}a=1+{\log }_{2025}a$ (với $a>0$). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P={\log }_{5}125-{\log }_5{a}^4=3-4\cdot 40=3-160=-157$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án được tô trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P_0=9000$. Sau 2 giờ: $9000\cdot 10^{-2\alpha }=6000\Rightarrow 10^{-2\alpha }=\frac{2}{3}\Rightarrow 2\alpha =\log \frac{3}{2}$. Cần tìm $t$ sao cho $9000\cdot 10^{-\alpha t}=1000\Rightarrow 10^{-\alpha t}=\frac{1}{9}\Rightarrow \alpha t=\log 9$. Suy ra $t=\frac{2\log 9}{\log (3/2)}=\frac{2\cdot 0,95424}{0,17609}\approx 10,84\approx 10,8$ giờ. Kết quả khớp với đáp số nguồn 10,8.

(AI giải đề cho tôi)
Với $M=\log \frac{I}{I_0}$, ta có $I=I_0\cdot 10^M$.

a) Nếu cường độ tăng gấp đôi: $I^{\prime }=2I\Rightarrow M^{\prime }=\log \frac{2I}{I_0}=M+\log 2\approx M+0,301$. Lượng tăng $\log 2$ là hằng số, không phụ thuộc $M$ ban đầu. → Đúng.

b) Chênh lệch 1{,}5 độ: $\frac{I_1}{I_2}=10^{1,5}\approx 31,62$ lần. → Đúng.

c) $I=100I_0\Rightarrow M=\log 100=2$ độ Richter, không phải 3. → Sai.

d) $\frac{I_7}{I_4}=10^{7-4}=10^3=1000$ lần. → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án mã đề 0005: Đ, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$M^{\prime }=M+\log 2$, lượng tăng cố định $\log 2\approx 0,301$ không phụ thuộc độ lớn ban đầu.
b) (AI giải đề cho tôi)
$10^{1,5}\approx 31,6$ lần.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M=\log 100=2$ độ Richter, không phải 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
$10^{7-4}=1000$ lần.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức $M=\log \left(\frac{I}{I_0}\right)$, hiệu độ lớn giữa hai trận động đất là $M_1-M_2=\log \left(\frac{I_1}{I_2}\right)$, suy ra $\frac{I_1}{I_2}=10^{M_1-M_2}$. a) Chênh lệch $7-4=3$ độ nên tỉ số cường độ là $10^3=1000$ lần → Đúng. b) Chênh lệch $1,5$ độ nên tỉ số cường độ là $10^{1,5}\approx 31,6$ lần → Đúng. c) Cường độ gấp 100 lần chuẩn: $M=\log 100=2$ độ Richter, không phải 3 độ → Sai. d) Để cường độ tăng gấp đôi cần $\Delta M=\log 2\approx 0,301$ độ, một hằng số không phụ thuộc độ lớn ban đầu → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{I_1}{I_2}=10^{7-4}=10^3=1000$ lần, nên cường độ trận 7 độ gấp 1000 lần trận 4 độ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{I_1}{I_2}=10^{1,5}\approx 31,6$ lần.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M=\log 100=2$ độ Richter, không phải 3 độ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $\Delta M=\log 2\approx 0,301$ độ, cố định với mọi độ lớn ban đầu.

Trả lời: 8. Theo giả thiết số lượng một loại vi khuẩn tuân theo công thức: $S=A{e}^{rt}$. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 300 con và sau hai giờ là 1500 con nên ta có: $1500=300e^{2r}\iff e^{2r}=5\iff r=\frac{\ln 5}{2}$. Khi đó $625A=A.e^{\frac{\ln 5}{2}n}\iff e^{\frac{\ln 5}{2}n}=625\iff \frac{\ln 5}{2}.n=\ln 625\Rightarrow n=\frac{2\ln 625}{\ln 5}=8$.

Trả lời: 3162. Xét trận động đất 8,5 độ Richter, ta có $$8,5=\log A_1-\log A_0\iff 8,5=\log \frac{A_1}{A_0}\iff \frac{A_1}{A_0}=10^{8,5}\iff A_1=A_0.10^{8,5}$$ Xét trận động đất 5,0 độ Richter, ta có $$5,0=\log A_2-\log A_0\iff 5=\log \frac{A_2}{A_0}\iff \frac{A_2}{A_0}=10^5\iff A_2=A_0.10^5$$ Khi đó: $\frac{A_1}{A_2}=\frac{A_0.10^{8,5}}{A_0.10^5}=10^{3,5}\simeq 3162$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x\ne 0$. Phương trình ${\log }_4{x}^2-{\log }_{2}3=1$ suy ra ${\log }_4{x}^2=1+{\log }_{2}3={\log }_{2}2+{\log }_{2}3={\log }_{2}6$. Do đó $x^2=4^1\cdot 6=36$ (vì ${\log }_4{x}^2=\frac{1}{2}{\log }_2{x}^2$, nên ${\log }_2{x}^2=2{\log }_{2}6={\log }_{2}36$). Vậy $x=\pm 6$, hai nghiệm là $x=6$ và $x=-6$, tổng $6+(-6)=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: chọn D.

a) ${\log }_{3}27x=3+{\log }_{3}x$, đặt $t={\log }_{3}x$ ta có phương trình

$(3+t{)}^2-6\left(\frac{t}{2}-2\right)+mt+3m-23=0$ (0,5 điểm)

$\iff t^2+(3+m)t+3m-2=0$, phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2$ với mọi m vì $\Delta =(m-3{)}^2+8>0\forall m$. (0,5 điểm)

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm $x_1=3^{t_1},x_2=3^{t_2}$

$x_1{x}_2\le 81\iff 3^{t_1+t_2}\le 3^4\iff t_1+t_2\le 4\iff m\ge -7$ (0,5 điểm)

Tìm được $m=-7;-6;...;10$ (0,5 điểm)

b) Ta có $H(x;0),M(x;x^2)\Rightarrow OM=|x|\sqrt{1+x^2},HM=x^2$ (0,5 điểm)

${\lim }_{x\to +\infty }OM-MH={\lim }_{x\to +\infty }x\sqrt{1+x^2}-x={\lim }_{x\to +\infty }\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}+x}\right)$ (0,5+0,5 điểm)

$={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}+1}=\frac{1}{2}$ (0,5 điểm)