Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{x-3}={\log }_2(x-3)$, tập xác định $x>3$; và $g(x)={\log }_4(x-5{)}^2=\frac{1}{2}{\log }_2(x-5{)}^2={\log }_2|x-5|$, tập xác định $x\ne 5$.
a) Sai: vì $(x-5{)}^2>0$ với mọi $x\ne 5$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{5\}$, không phải $(5;+\infty )$.
b) Đúng: $f(5)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{2}={\log }_{\sqrt{2}}(\sqrt{2}{)}^1=1$, nên $A(5;1)$ thuộc đồ thị $f$.
c) Đúng: $f(x)=g(x)\iff {\log }_2(x-3)={\log }_2|x-5|\iff x-3=|x-5|$ (với $x>3$). Với $x\ge 5$: $x-3=x-5$ vô nghiệm; với $3<x<5$: $x-3=5-x\iff x=4$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có duy nhất nghiệm $x=4$.
d) Sai: $f(x)\ge g(x)\iff x-3\ge |x-5|$ (với $x>3$). Với $x\ge 5$ bất phương trình luôn đúng; với $3<x<5$: $x-3\ge 5-x\iff x\ge 4$. Tập nghiệm $[4;+\infty )$ có vô số nghiệm nguyên, không phải bốn nghiệm nguyên. Kết quả khớp đáp án chính thức: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(x-5{)}^2>0$ với mọi $x\ne 5$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{5\}\ne (5;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(5)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{2}=1$, nên $A(5;1)$ thuộc đồ thị.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_2(x-3)={\log }_2|x-5|\iff x-3=|x-5|\iff x=4$ (với $x>3$), duy nhất một nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm của $f(x)\ge g(x)$ là $[4;+\infty )$, có vô số nghiệm nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $N(1)=900$: $500e^r=900\Rightarrow r=\ln \left(\frac{9}{5}\right)\approx 0,5878$. Cần $500e^{rt}=1000000\Rightarrow e^{rt}=2000\Rightarrow t=\frac{\ln 2000}{\ln (9/5)}\approx \frac{7,6009}{0,5878}\approx 12,93$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $t\approx 13$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Với $L=80$ dB: $80=10\log \frac{I}{10^{-12}}\Rightarrow \log \frac{I}{10^{-12}}=8\Rightarrow I=10^{-4}$ W/m${}^2$. Cường độ trò chuyện bình thường là $10^{-7}$ W/m${}^2$. Tỉ số $\frac{10^{-4}}{10^{-7}}=10^3=1000$. Vậy cường độ âm ở 80 dB lớn gấp 1000 lần, khớp với đáp án nguồn (mã đề 3267, Phần III câu 4: 1000).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa của logarit: ${\log }_a{b}^2=2{\log }_{a}b=2\cdot 5=10$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án của đề (mã đề 3267, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{x-3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\ln (x-3)}{\ln \sqrt{2}}={\log }_2(x-3)$ với $x>3$; và $g(x)={\log }_4(x-5{)}^2={\log }_2|x-5|$ với $x\ne 5$.
a) Tập xác định của $g(x)$ là $\mathbb{R}\setminus \{5\}$, không phải $(5;+\infty )$ → Sai.
b) $f(5)={\log }_2(5-3)={\log }_{2}2=1$, nên $A(5;1)$ thuộc đồ thị $f$ → Đúng.
c) $f(x)=g(x)\iff {\log }_2(x-3)={\log }_2|x-5|$ với $x>3$, tức $x-3=|x-5|$. Với $x\ge 5$: $x-3=x-5$ vô nghiệm. Với $3<x<5$: $x-3=5-x\iff x=4$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có duy nhất nghiệm $x=4$ → Đúng.
d) $f(x)\ge g(x)\iff x-3\ge |x-5|$. Với $3<x<5$: $x-3\ge 5-x\iff x\ge 4$, cho $x\in [4;5)$. Với $x\ge 5$: $x-3\ge x-5$ luôn đúng, cho $x\in [5;+\infty )$. Vậy tập nghiệm là $[4;+\infty )$, có vô số nghiệm nguyên (4,5,6,...), không phải bốn nghiệm nguyên → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(x-5{)}^2>0$ với mọi $x\ne 5$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{5\}$, không phải $(5;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(5)={\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{2}={\log }_{\sqrt{2}}(\sqrt{2}{)}^1=1$, nên $A(5;1)$ thuộc đồ thị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>3$: $f(x)={\log }_2(x-3)$, $g(x)={\log }_2|x-5|$. Phương trình $x-3=|x-5|$ chỉ có nghiệm $x=4$ (trên $[5;+\infty )$ vô nghiệm, trên $(3;5)$ có $x=4$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình tương đương $x-3\ge |x-5|$ với $x>3$, tập nghiệm $[4;+\infty )$ có vô số nghiệm nguyên, không phải bốn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $N(1)=900$: $500e^r=900\Rightarrow r=\ln \left(\frac{900}{500}\right)=\ln (1,8)$. Cần $500e^{rt}=1000000\Rightarrow e^{rt}=2000\Rightarrow t=\frac{\ln 2000}{\ln 1,8}=\frac{7,6009}{0,5878}\approx 12,93$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $t\approx 13$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Với $L=80$: $80=10\log \frac{I}{10^{-12}}\Rightarrow \frac{I}{10^{-12}}=10^8\Rightarrow I=10^{-4}$ W/m${}^2$. So với cuộc trò chuyện $I=10^{-7}$ W/m${}^2$, tỉ số $\frac{10^{-4}}{10^{-7}}=10^3=1000$. Khớp đáp án nguồn (1000).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy logarit hai vế theo cơ số tùy ý: $2x\ln 3=(x+1)\ln 2\Rightarrow 2x\ln 3-x\ln 2=\ln 2\Rightarrow x(2\ln 3-\ln 2)=\ln 2\Rightarrow x\ln \frac{9}{2}=\ln 2\Rightarrow x={\log }_{\frac{9}{2}}2$. Cách khác: $3^{2x}=9^x=2\cdot 2^x\Rightarrow {\left(\frac{9}{2}\right)}^x=2\Rightarrow x={\log }_{\frac{9}{2}}2$. Thử lại: ${\left(\frac{9}{2}\right)}^{{\log }_{9/2}2}=2$ đúng. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1354, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa của logarit: ${\log }_a{b}^2=2{\log }_{a}b=2\cdot 5=10$. Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1354, câu 7 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2^x+2^{-x}=3$, bình phương hai vế: $(2^x+2^{-x}{)}^2=9\Rightarrow 4^x+2\cdot 2^x\cdot 2^{-x}+4^{-x}=9\Rightarrow 4^x+4^{-x}=9-2=7$. Khi đó $P={\log }_2\frac{5+4^x+4^{-x}}{3}={\log }_2\frac{5+7}{3}={\log }_{2}4=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).

Thay t = 6, ta có: $12000=5000.a^6\Rightarrow a=\sqrt[6]{2,4}$
$N(t)\ge 100000\iff 5000.{\left(\sqrt[6]{2,4}\right)}^t\ge 100000$ vậy sau 21 tháng thì ứng dụng có ít nhất 100.000 người dùng
$\iff t\ge 20,54$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $27=3^3$, nên $3^{x^2-2x-5}=27\iff x^2-2x-5=3\iff x^2-2x-8=0$. Phương trình có hai nghiệm $x=4$ và $x=-2$ (kiểm tra: $16-8-8=0$; $4+4-8=0$). Theo định lý Vi-ét, tổng các nghiệm bằng $2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 3, Phần III: 2).

Gợi ý làm bài (theo hướng dẫn chấm, nguồn trang 10–11):

Ta có $a={\log }_{2}7\Rightarrow {\log }_{7}2=\frac{1}{a}$ và $b={\log }_{3}7\Rightarrow {\log }_{7}3=\frac{1}{b}$. (0.25)

Nên: ${\log }_{6}343=\frac{{\log }_7{7}^3}{{\log }_{7}6}=\frac{3}{{\log }_7(2.3)}=\frac{3}{{\log }_{7}2+{\log }_{7}3}=\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{3ab}{a+b}$. (0.25)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2^{x^2-3x}=2^{x-3}$ có cùng cơ số 2 nên suy ra $x^2-3x=x-3$, tức $x^2-4x+3=0$. Phương trình này có hai nghiệm $x=1$ và $x=3$ (vì tổng nghiệm $=4$, tích nghiệm $=3$). Vậy tổng hai nghiệm bằng $1+3=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $600=2^3\cdot 3\cdot 5^2$ và $24=2^3\cdot 3$. Đổi tất cả về cơ số 2: ${\log }_{2}5=a$, và $b={\log }_{3}5=\frac{{\log }_{2}5}{{\log }_{2}3}\Rightarrow {\log }_{2}3=\frac{a}{b}$. Khi đó: ${\log }_{24}600=\frac{{\log }_{2}600}{{\log }_{2}24}=\frac{3+2a+{\log }_{2}3}{3+{\log }_{2}3}=\frac{3+2a+\frac{a}{b}}{3+\frac{a}{b}}=\frac{3b+2ab+a}{3b+a}$. Kiểm tra số: $a\approx 2,3219$, $b\approx 1,4650$, biểu thức $\approx \frac{4,395+6,803+2,322}{4,395+2,322}=\frac{13,520}{6,717}\approx 2,013$, đúng bằng ${\log }_{24}600\approx 2,013$. Vậy ${\log }_{24}600=\frac{a+3b+2ab}{a+3b}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình ${\log }_{2}x=3$ có điều kiện $x>0$. Theo định nghĩa logarit: $x=2^3=8$. Thử lại: ${\log }_{2}8=3$ đúng. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án của đề (mã đề 0002, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình ${\log }_{2}x=3$ có điều kiện $x>0$. Áp dụng định nghĩa logarit: $x=2^3=8$. Vậy $x=8$, khớp với đáp án A (đáp án nguồn: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarithm: ${\log }_a(b.c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c=2+5=7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Phần III, Câu 2: 7).

Điều kiện $\{\begin{array}{l}x>1\\ x>\frac{5}{3}\end{array}\iff x>\frac{5}{3}$.
${\log }_4(3x-5)={\log }_4(x-1)\iff 3x-5=x-1$.
$x=2$ đối chiếu điều kiện thỏa mãn.
Vậy $S=\{2\}$.

Điều kiện $\{\begin{array}{l}x>1\\ x>\frac{5}{3}\end{array}\iff x>\frac{5}{3}$.
${\log }_4(3x-5)={\log }_4(x-1)\iff 3x-5=x-1$.
$x=2$ đối chiếu điều kiện thỏa mãn.
Vậy $S=\{2\}$.