Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề: $S(t)=S(0)\cdot 2^t$. Sau 3 phút có 625 nghìn con nên $S(0)\cdot 2^3=625\Rightarrow S(0)=\frac{625}{8}=78,125$ nghìn con. Cần tìm $t$ để $S(t)=10$ triệu $=10000$ nghìn con: $78,125\cdot 2^t=10000\Rightarrow 2^t=\frac{10000}{78,125}=128=2^7\Rightarrow t=7$. Vậy sau 7 phút số lượng vi khuẩn là 10 triệu con, khớp với đáp án nguồn (7).

Lời giải (Đáp án CODE 101-103):

a) $3^{x^2+3x-10}=1$

$3^{x^2+3x-10}=1\iff x^2+3x-10=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-5\\ x=2\end{array}\right]$

[ĐIỂM: 0,5]

b) ${\log }_3^{2}x-{\log }_3(27x)+3=0$

Với điều kiện $x>0$ :

${\log }_3^{2}x-{\log }_3(27x)+3=0$

$\iff {\log }_3^{2}x-\left({\log }_{3}27+{\log }_{3}x\right)+3=0\iff {\log }_3^{2}x-{\log }_{3}x=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}{\log }_{3}x=0\\ {\log }_{3}x=1\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}\right]$ .

[ĐIỂM: 0,5]

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3^{x+2}=27=3^3$, suy ra $x+2=3$, tức $x=1$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3: D).

a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai. (Theo bảng đáp án mã đề 1112, trang 5.)

(AI giải đề cho tôi)
Đổi về cơ số 3: ${\log }_{3}a=\frac{1}{{\log }_{a}3}=\frac{1}{2}$, ${\log }_{3}b=\frac{1}{{\log }_{b}3}=3$. Vì $abc\ne 1$ nên ${\log }_{abc}3=\frac{2}{17}$ hợp lệ và ${\log }_3(abc)=\frac{1}{{\log }_{abc}3}=\frac{17}{2}$. Mặt khác ${\log }_3(abc)={\log }_{3}a+{\log }_{3}b+{\log }_{3}c=\frac{1}{2}+3+{\log }_{3}c$, suy ra ${\log }_{3}c=\frac{17}{2}-\frac{7}{2}=5$. Do đó ${\log }_{c}3=\frac{1}{{\log }_{3}c}=\frac{1}{5}=0,2$, khớp với đáp án đề cho (đề 1112, Phần III, câu 2 = 0,2).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2^x+2^{-x}>0$. Khi đó $t^2=4^x+4^{-x}+2=7+2=9$, suy ra $t=3$. Do đó $P=\frac{4-3}{9+3}=\frac{1}{12}$, phân số tối giản với $a=1$, $b=12$. Vậy $ab=12$, khớp với đáp án nguồn (đề 1112, Phần III câu 3 = 12).

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề 1112, Câu 3: Cho ${\log }_{a}b=2$ và ${\log }_{a}c=3$. Tính $P={\log }_a\left(b^2{c}^3\right)$.

Áp dụng tính chất logarit:
$$P={\log }_a\left(b^2{c}^3\right)={\log }_a{b}^2+{\log }_a{c}^3=2{\log }_{a}b+3{\log }_{a}c.$$

Thay ${\log }_{a}b=2$ và ${\log }_{a}c=3$:
$$P=2\cdot 2+3\cdot 3=4+9=13.$$

Vậy $P=13$, tương ứng phương án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (đề 1112, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Đặt $\sqrt[5]{a}=\sqrt[6]{b}=\sqrt[8]{c}=2^k$ thì ${\log }_{2}a=5k,{\log }_{2}b=6k,{\log }_{2}c=8k$. Suy ra ${\log }_{32}a=\frac{5k}{5}=k$, ${\log }_{8}b=\frac{6k}{3}=2k$, ${\log }_{2}c=8k$. Tổng: $k+2k+8k=11k=22\Rightarrow k=2$. Vậy ${\log }_2(abc)=5k+6k+8k=19k=38$. Đúng.
b) ${\log }_a\sqrt{a^3}={\log }_a{a}^{3/2}=\frac{3}{2}$ (với $a>1$). Đúng.
c) ${\log }_a{b}^2\cdot {\log }_{\sqrt{b}}{a}^3=2{\log }_{a}b\cdot \frac{3{\log }_a^{}a}{\frac{1}{2}{\log }_{a}b}=2{\log }_{a}b\cdot 6\cdot \frac{1}{{\log }_{a}b}=12\ne 2$. Sai.
d) ${\log }_{3}70=\frac{\log 70}{\log 3}=\frac{\log 7+\log 10}{\log 3}=\frac{n+1}{m}$. Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1111: 1a Đ, 1b Đ, 1c S, 1d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $\sqrt[5]{a}=\sqrt[6]{b}=\sqrt[8]{c}=2^k$ thì ${\log }_{2}a=5k,{\log }_{2}b=6k,{\log }_{2}c=8k$, nên ${\log }_{32}a=k,{\log }_{8}b=2k,{\log }_{2}c=8k$. Từ $11k=22\Rightarrow k=2$, suy ra ${\log }_2(abc)=19k=38$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a\sqrt{a^3}={\log }_a{a}^{3/2}=\frac{3}{2}$ với $a>1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a{b}^2\cdot {\log }_{\sqrt{b}}{a}^3=2{\log }_{a}b\cdot \frac{3}{\frac{1}{2}{\log }_{a}b}=12\ne 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{3}70=\frac{\log 70}{\log 3}=\frac{\log 7+\log 10}{\log 3}=\frac{n+1}{m}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2^x+2^{-x}>0$. Khi đó $t^2=4^x+2+4^{-x}=7+2=9$, suy ra $t=3$. Do đó $P=\frac{4-3}{9+3}=\frac{1}{12}$, với $a=1$, $b=12$, phân số tối giản. Vậy $ab=1\cdot 12=12$, khớp với đáp án nguồn (đề 1111, Phần III câu 3 = 12).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x={\log }_{c}3$. Ta có ${\log }_{a}3=2\Rightarrow \frac{1}{{\log }_{a}3}=\frac{1}{2}$; ${\log }_{b}3=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{{\log }_{b}3}=3$. Theo tính chất đổi cơ số: ${\log }_{abc}3=\frac{1}{{\log }_3(abc)}=\frac{1}{{\log }_{3}a+{\log }_{3}b+{\log }_{3}c}=\frac{1}{\frac{1}{{\log }_{a}3}+\frac{1}{{\log }_{b}3}+\frac{1}{{\log }_{c}3}}$. Suy ra $\frac{1}{2}+3+\frac{1}{x}=\frac{1}{2/17}=\frac{17}{2}$, nên $\frac{1}{x}=\frac{17}{2}-\frac{7}{2}=5$, tức $x=\frac{1}{5}=0,2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,2$.

a) (0,75 điểm) Tính giá trị của biểu thức $A={\log }_{3}15-{\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{5}$.

$A={\log }_{3}15-{\log }_{3}5$ (0,25 điểm)

$={\log }_3\frac{15}{5}$ (0,25 điểm)

$={\log }_{3}3=1$ (0,25 điểm)

b) (0,75 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\ln \left(x^2+2(m-1)x+m+5\right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Hàm số $y=\ln \left(x^2+2(m-1)x+m+5\right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ (0,25 điểm)

$\iff x^2+2(m-1)x+m+5>0\forall x\in \mathbb{R}$

$\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\prime }<0\end{array}\iff m^2-3m-4<0$ (0,25 điểm)

$\iff -1<m<4$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: $P={\log }_a(b^2{c}^3)={\log }_a{b}^2+{\log }_a{c}^3=2{\log }_{a}b+3{\log }_{a}c=2\cdot 2+3\cdot 3=4+9=13$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1111, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng theo tính chất logarit của một tích: với $a>0,a\ne 1,M>0,N>0$ thì ${\log }_a(M.N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$. b) Hàm số $y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{1}{4}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$ — đúng. c) ${\log }_{\sqrt{5}}(a^4.b)=\frac{{\log }_5(a^{4}b)}{{\log }_5\sqrt{5}}=\frac{4{\log }_{5}a+{\log }_{5}b}{1/2}=8{\log }_{5}a+2{\log }_{5}b$ — đúng. d) $(0,2{)}^{x^2-3x}=25\iff 5^{-(x^2-3x)}=5^2\iff -x^2+3x=2\iff x^2-3x+2=0\iff x=1$ hoặc $x=2$. Vậy tập nghiệm là $T=\{1;2\}\ne \{2\}$ — ý d sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất logarit của tích: ${\log }_a(M.N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$ với $a>0,a\ne 1,M,N>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $0<\frac{1}{4}<1$ nên hàm số $y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{\sqrt{5}}(a^4.b)=\frac{4{\log }_{5}a+{\log }_{5}b}{\frac{1}{2}}=8{\log }_{5}a+2{\log }_{5}b$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(0,2{)}^{x^2-3x}=25\iff -x^2+3x=2\iff x^2-3x+2=0\iff x=1$ hoặc $x=2$, nên $T=\{1;2\}$, không phải $\{2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x_A,x_B$ lần lượt là nồng độ ion $H^{+}$ của dung dịch A và B. Theo đề: $p{H}_B=p{H}_A+0,6$, tức $-\log x_B=-\log x_A+0,6$. Suy ra $\log x_A-\log x_B=0,6$, hay $\log \frac{x_A}{x_B}=0,6$. Vậy $\frac{x_A}{x_B}=10^{0,6}\approx 3,981\approx 4$. Dung dịch A có nồng độ ion $H^{+}$ gấp khoảng 4 lần dung dịch B, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, Câu 3: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$. Phương trình ${\log }_3(x-1)=2\iff x-1=3^2=9\iff x=10$ (thỏa điều kiện). Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: $2={\log }_{a}M\iff a^2=M$ (với $a>0$, $a\ne 1$, $M>0$). Vậy khẳng định đúng là $a^2=M$, trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng theo tính chất logarit của thương: với a>0, a≠1, M,N>0 thì ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$. b) Sai vì hàm $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên R. c) Sai vì ${\log }_{\sqrt{3}}(a^{3}b)=\frac{{\log }_3(a^{3}b)}{{\log }_3\sqrt{3}}=\frac{3{\log }_{3}a+{\log }_{3}b}{1/2}=6{\log }_{3}a+2{\log }_{3}b$, khác $6{\log }_{3}a+{\log }_{3}b$. d) Sai vì $(0,5{)}^{x^2-4x}=8\iff 2^{-x^2+4x}=2^3\iff -x^2+4x=3\iff x^2-4x-3=0\iff x=2\pm \sqrt{7}$, nên tập nghiệm là $\{2-\sqrt{7};2+\sqrt{7}\}$, không phải $\{1\}$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: DSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất logarit của thương: ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$ với a>0, a≠1, M,N>0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $0<\frac{1}{3}<1$ nên hàm số nghịch biến trên R, không đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{\sqrt{3}}(a^{3}b)=2(3{\log }_{3}a+{\log }_{3}b)=6{\log }_{3}a+2{\log }_{3}b$, khác $6{\log }_{3}a+{\log }_{3}b$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(0,5{)}^{x^2-4x}=8\iff -x^2+4x=3\iff x=2\pm \sqrt{7}$, tập nghiệm không phải $\{1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x_A,x_B$ là nồng độ ion $H^{+}$ của dung dịch A và B. Theo đề: $p{H}_B=p{H}_A+0,5$, tức $-\log x_B=-\log x_A+0,5$. Suy ra $\log x_A-\log x_B=0,5$, nên $\log \frac{x_A}{x_B}=0,5\Rightarrow \frac{x_A}{x_B}=10^{0,5}=\sqrt{10}\approx 3,162$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 3: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+1>0\iff x>-1$. Phương trình ${\log }_2(x+1)=3\iff x+1=2^3=8\iff x=7$ (thỏa mãn điều kiện). Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy logarit hai vế: $2x\ln 3=(x+1)\ln 2\Rightarrow x(2\ln 3-\ln 2)=\ln 2\Rightarrow x=\frac{\ln 2}{\ln 9-\ln 2}={\log }_{\frac{9}{2}}2$. Cách khác: $3^{2x}=9^x=2\cdot 2^x\Rightarrow {\left(\frac{9}{2}\right)}^x=2\Rightarrow x={\log }_{\frac{9}{2}}2$. Kết quả khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 3267, câu 11: C).