Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tiên đề hình học không gian, một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi: ba điểm không thẳng hàng; một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó; hoặc hai đường thẳng cắt nhau. Xét các phương án: A sai vì bốn điểm phân biệt không xác định một mặt phẳng duy nhất; B sai vì ba điểm phân biệt có thể thẳng hàng (khi đó không xác định mặt phẳng); C sai vì điểm có thể nằm trên đường thẳng; D đúng vì hai đường thẳng cắt nhau luôn xác định một mặt phẳng duy nhất. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ không là hình thang nên $CD$ không song song với $AB$, do đó $CD$ cắt $AB$ tại một điểm $P$. Điểm $P$ thuộc $AB\subset (SAB)$ nên $P\in (SAB)$, đồng thời $P$ thuộc $CD$. Vậy giao điểm của $CD$ với mặt phẳng $(SAB)$ chính là giao điểm của $CD$ và $AB$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ không là hình thang nên $AB$ và $CD$ không song song; chúng cùng nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên cắt nhau tại một điểm $P$. Điểm $P$ thuộc $AB\subset (SAB)$ và thuộc đường thẳng $CD$, do đó $P$ chính là giao điểm của $CD$ với mặt phẳng $(SAB)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (mã đề 101, Phần II Câu 2).

a) ĐÚNG. Trong (SAB) có AB, trong (SCD) có CD, mà AB ∥ CD (hình bình hành). Vì AB ⊄ (SCD) nên AB ∥ (SCD). Mặt phẳng (SAB) chứa AB và cắt (SCD) theo giao tuyến d đi qua S (S chung của hai mặt phẳng). Theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng: d ∥ AB và d ∥ CD. Vậy giao tuyến là đường thẳng qua S song song với AB và CD.

b) ĐÚNG. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) có điểm chung S, và A thuộc cả hai mặt phẳng (A ∈ AB ⊂ (SAB), A ∈ AD ⊂ (SAD)). Vậy giao tuyến là đường thẳng SA.

c) SAI. SC nằm trong mặt phẳng (SAC), còn AB chỉ cắt mặt phẳng (SAC) tại A (AB ∩ (SAC) = A vì AB không nằm trong (SAC)). Do đó SC và AB không có điểm chung, chúng chéo nhau chứ không cắt nhau.

d) ĐÚNG. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, tức giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khi đó O ∈ BD và O ∈ AC ⊂ (SAC), nên O = BD ∩ (SAC). Vậy giao điểm của BD và (SAC) là tâm của hình bình hành ABCD.

So sánh với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 2): a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB ∥ CD nên AB ∥ (SCD); (SAB) qua AB cắt (SCD) theo giao tuyến qua S, nên giao tuyến song song với AB và CD.
b) (AI giải đề cho tôi)
(SAB) và (SAD) có hai điểm chung S và A, nên giao tuyến là SA.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB ∩ (SAC) = A, SC ⊂ (SAC) và SC không qua A, nên SC và AB chéo nhau, không cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm O của hình bình hành là giao điểm AC và BD; O ∈ BD và O ∈ AC ⊂ (SAC) nên O = BD ∩ (SAC).

a) $O\in (OMN)\cap (ABC)$ (1)
Trong $(SAC)$, $I=AC\cap MN$
$I\in AC,AC\subset (ABC)\Rightarrow I\in (ABC)$
$I\in MN,MN\subset (OMN)\Rightarrow I\in (OMN)$
$\Rightarrow I\in (OMN)\cap (ABC)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $OI=(OMN)\cap (ABC)$
b) Trong $(ABC)$, $E=OI\cap AB$
$E\in AB$
$E\in OI,OI\subset (OMN)\Rightarrow E\in (OMN)$
Vậy $E=AB\cap (OMN)$

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp có đáy là đa giác $n$ cạnh thì có $2n$ cạnh (gồm $n$ cạnh đáy và $n$ cạnh bên). Vì hình chóp có 16 cạnh nên $2n=16\Rightarrow n=8$, tức đáy là đa giác 8 cạnh. Số mặt của hình chóp bằng số mặt bên cộng mặt đáy: $n+1=8+1=9$ mặt. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất (định lý về cách xác định mặt phẳng). Ba điểm phân biệt chỉ xác định mặt phẳng khi không thẳng hàng; một điểm và một đường thẳng chỉ xác định mặt phẳng khi điểm không nằm trên đường thẳng; bốn điểm phân biệt không xác định mặt phẳng duy nhất. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 101: C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $D(8;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(6;b;0)$ (hình thang vuông tại $A$, $AD\parallel BC$, $AD=8$, $BC=6$), $S(0;0;6)$ vì $SA\perp (ABCD)$, $SA=6$. Trung điểm $M(0;\frac{b}{2};0)$. Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ và vuông góc với $AB$ (trục $Oy$) là mặt phẳng $y=\frac{b}{2}$, nên nó cắt mọi đoạn nối một điểm có $y=0$ với một điểm có $y=b$ tại trung điểm của đoạn đó. - Trên $(SAB)$: $(P)$ cắt $SB$ tại trung điểm $N(0;\frac{b}{2};3)$ và qua $M(0;\frac{b}{2};0)$. - Trên $(SBC)$: cắt $SC$ tại trung điểm $K(3;\frac{b}{2};3)$, được đoạn $NK$. - Trên $(SCD)$: cắt $DC$ tại trung điểm $L(7;\frac{b}{2};0)$, được đoạn $KL$. - Trên mặt đáy: đoạn $ML$ (từ $(0;\frac{b}{2};0)$ đến $(7;\frac{b}{2};0)$). - Mặt $(SAD)$ có $y=0$ song song với $(P)$ nên không bị cắt. Thiết diện là tứ giác $MNKL$ trong mặt phẳng $y=\frac{b}{2}$, với tọa độ $(x;z)$: $M(0;0)$, $N(0;3)$, $K(3;3)$, $L(7;0)$. Đây là hình thang có hai đáy song song $ML=7$ và $NK=3$, chiều cao $MN=3$ (khoảng cách giữa hai đường $z=0$ và $z=3$). Diện tích: $S=\frac{(7+3)\cdot 3}{2}=15$. Vậy đáp án D. (Kiểm tra lại bằng công thức shoelace cho $(0,0),(0,3),(3,3),(7,0)$: $\frac{1}{2}|0-9-21+0|=15$.)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A$ là gốc, $B=b$, $D=d$, $C=b+d$ (hình bình hành), $S=s$, $M=-b$ ($A$ là trung điểm $MB$), $O=(b+d)/2$, $N=(s+b+d)/2$.
a) Trong tam giác $SAC$: $N$ trung điểm $SC$, $O$ trung điểm $AC$ nên $NO$ là đường trung bình, do đó $NO\parallel SA$. $K=MO\cap AD$ nên $K\in (MON)\cap (SAD)$. Vì $NO\subset (MON)$ và $NO\parallel SA\subset (SAD)$ nên $NO\parallel (SAD)$. Vậy giao tuyến $d$ qua $K$ và song song $NO$ (đồng thời song song $SA$). Đúng.
b) $d\subset (SAD)$, $G=d\cap MN$ nên $G\in (SAD)$ và $G\in MN$; hơn nữa $G$ là điểm duy nhất vì $MN$ không song song $(SAD)$. Đúng.
c) Tính tọa độ: $K=MO\cap AD$ cho $t=2/3$, $K=d/3$. Đường $d$: $K+\mu s$. Đường $MN$: $M+\nu (N-M)=-b+\nu (s+3b+d)/2$. So sánh hệ số: $b$: $3\nu /2=1\Rightarrow \nu =2/3$; $d$: $\nu /2=1/3$ khớp; $s$: $\mu =1/3$. Vậy $G=M+(2/3)(N-M)$, tức $GM/GN=2$. Mặt khác $AM=AB$ và $AI=AB/2$ nên $AM/AI=2$. Đúng.
d) Vì $AD\parallel BC$, $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SCB)$ nên giao tuyến của $(SAD)$ và $(SCB)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ (và $BC$). $SO$ có phương $O-S=(b+d)/2-s$, không nói chung song song với $AD$, nên giao tuyến không phải $SO$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$NO$ là đường trung bình tam giác $SAC$ nên $NO\parallel SA$; $K$ thuộc cả hai mặt phẳng, nên giao tuyến $d$ qua $K$ và song song $NO$, $SA$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d\subset (SAD)$ và $G=d\cap MN$ nên $G$ là giao điểm của $MN$ với $(SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính tọa độ cho $G=M+(2/3)(N-M)$ nên $GM/GN=2$; đồng thời $AM=AB$, $AI=AB/2$ nên $AM/AI=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SCB)$ là đường qua $S$ song song $AD$ (vì $AD\parallel BC$), không phải $SO$ nói chung.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần III): a) Vì K∈AB nên mặt phẳng (AHK) chứa đường thẳng AB, do đó chứa B. Trong tam giác SAD, H là trọng tâm nên H nằm trên trung tuyến kẻ từ A đi qua trung điểm của SD; mà trung điểm SD chính là G, suyận G∈AH⊂(AHK). Mặt khác G∈SD⊂(SBD) và B∈(SBD). Vậy giao tuyến của (AHK) và (SBD) là đường thẳng BG. b) Đặt hệ toạ độ: D là gốc, A=(2,0,0) (coi BC=1, AD=2), B=(p,h,0), C=(p−1,h,0) (do BC∥AD, BC=AD/2), S=(x,y,z) với z≠0. Vì AD=2BC, tam giác OBC đồng dạng ODA nên DO/OB=AO/OC=AD/BC=2, suy ra O=(2/3)B (thuộc BD). K thuộc AB với AK=2KB nên K=(A+2B)/3; H là trọng tâm tam giác SAD nên H=(S+A+D)/3=(S+A)/3; G=S/2. Nhận xét: K−O=A/3 nên KO∥AD. Gọi L=λS (L∈SD). L∈(KOH) nên 3λS=2B+αA+β(S+A−2B). So sánh hệ số theo hệ độc lập {A,B,S}: β=3λ, 2−2β=0⇒β=1, α+β=0⇒α=−1, do đó 3λ=1, λ=1/3, tức L=S/3. Suy ra DL=DG·(DL/DG)=(|S|/3)/(|S|/2)·DG, tức DL/DG=(1/3)/(1/2)=2/3. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng phân biệt có thể chéo nhau (không đồng phẳng) hoặc song song... song song thì có mặt phẳng, chéo thì không có mặt phẳng nào chứa cả hai. C sai vì ba điểm phân biệt nhưng thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua. D sai vì đường thẳng đi qua điểm đó thì điểm nằm trên đường thẳng, có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng đó. B đúng: tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng, ví dụ 4 đỉnh của một hình chóp (4 đỉnh A, B, C, S của tứ diện), chúng không đồng phẳng. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
A sai vì hai đường thẳng phân biệt chéo nhau hoặc song song không xác định mặt phẳng duy nhất (hai đường chéo nhau không cùng thuộc mặt phẳng nào). B đúng: tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng, ví dụ 4 đỉnh của một hình chóp (không đồng phẳng). C sai vì ba điểm phân biệt nhưng thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua. D sai vì một đường thẳng đi qua điểm đã cho: nếu xét mặt phẳng chứa đường thẳng đó thì luôn chứa điểm đó, nhưng nếu điểm nằm trên đường thẳng thì có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng; mệnh đề nói 'một điểm và một đường thẳng đi qua điểm đó' — khi điểm thuộc đường thẳng thì không xác định mặt phẳng duy nhất. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ là trung điểm $SA$, $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$, suy ra $MN\parallel AD\parallel BC$. Mặt phẳng $(OMN)$ chứa đường thẳng $MN$ song song với $AD$, mà $AD\subset (ABC)$, nên theo tính chất giao tuyến, $(OMN)\cap (ABC)$ là đường thẳng đi qua $O$ (điểm chung của hai mặt phẳng) và song song với $AD$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=\vec{0}$, $B=\vec{b}$, $D=\vec{d}$, $C=\vec{b}+\vec{d}$ (hình bình hành), $M=-\vec{b}$ (đối xứng $B$ qua $A$), $O=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$, $N=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{2}$ với $S=\vec{s}$.

a) $K=MO\cap AD$: $-\vec{b}+t\frac{3\vec{b}+\vec{d}}{2}=\lambda \vec{d}\Rightarrow t=\frac{2}{3},\lambda =\frac{1}{3}$, tức $K=\frac{\vec{d}}{3}$. Trong tam giác $SAC$, $N$ trung điểm $SC$, $O$ trung điểm $AC$ nên $NO\parallel SA$. Xét điểm $K+\mu \vec{s}$: phân tích được $\alpha M+\beta O+\gamma N$ với $\alpha =\frac{1}{3},\beta +\gamma =\frac{2}{3}$, nên đường thẳng qua $K$ song song $SA$ (đồng thời song song $NO$) nằm trong cả $(MON)$ lẫn $(SAD)$. Vậy giao tuyến là $d$ qua $K$ song song $NO,SA$ → đúng.

b) Vì $d\subset (SAD)$ và $G=d\cap MN$ nên $G\in (SAD)\cap MN$, tức $G$ là giao điểm của $MN$ với $(SAD)$ → đúng.

c) Điểm trên $MN$: $M+u(N-M)=-\vec{b}+u\frac{\vec{s}+3\vec{b}+\vec{d}}{2}$. Cho bằng $\frac{\vec{d}}{3}+\mu \vec{s}$: hệ số $\vec{b}$ cho $-1+\frac{3u}{2}=0\Rightarrow u=\frac{2}{3}$ (hệ số $\vec{d}$: $\frac{u}{3}=\frac{1}{3}$ thỏa). Vậy $\frac{MG}{MN}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{GM}{GN}=2$. Mặt khác $AM=AB$, $AI=\frac{AB}{2}$ nên $\frac{AM}{AI}=2$. Tỉ số đúng là $2$, không phải $3$ → sai.

d) Vì $AD\parallel BC$, $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SCB)$ nên giao tuyến của $(SAD)$ và $(SCB)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ (và $BC$). Điểm $O$ không thuộc mặt phẳng $(SAD)$ (và $(SCB)$) nói chung, nên giao tuyến không thể là $SO$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $NO$ là đường trung bình nên $NO\parallel SA$. Đường thẳng qua $K$ song song $SA$ nằm trong $(SAD)$; kiểm tra bằng tọa độ thấy nó cũng nằm trong $(MON)$ (với $K=\frac{\vec{d}}{3}$, điểm $K+\mu \vec{s}$ phân tích được qua $M,O,N$). Vậy giao tuyến là $d$ qua $K$ song song $NO,SA$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d$ nằm trong $(SAD)$ nên $G=d\cap MN\in (SAD)$; do đó $G$ là giao điểm của $MN$ với $(SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính tọa độ cho $\frac{MG}{MN}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{GM}{GN}=2$; cũng $\frac{AM}{AI}=\frac{AB}{AB/2}=2$. Tỉ số đúng là $2$, không phải $3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$ nên giao tuyến của $(SAD)$ và $(SCB)$ là đường thẳng qua $S$ song song $AD\parallel BC$, không phải $SO$ (vì $O$ không thuộc hai mặt phẳng đó).

(AI giải đề cho tôi)
CHÚ Ý: Đáp án dưới đây do AI lập (đề bài PDF không có lời giải chi tiết).

Chuẩn bị: Vì $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$ nên trong tam giác $BDC$ (kéo dài) ta có $\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}=2$, tức $O$ thuộc đoạn $AC$ với $AO=2OC$ và $O$ thuộc đoạn $BD$ với $DO=2OB$.

a. Tìm giao tuyến của $(AHK)$ và $(SBD)$

- Vì $K\in AB$ nên $A,K,B$ thẳng hàng, do đó $B\in (AHK)$; hiển nhiên $B\in (SBD)$. Vậy $B$ là một điểm chung.
- Xét mặt phẳng $(SAD)$: đường thẳng $AH$ nằm trong $(SAD)$, cắt đường thẳng $SD$ (cũng nằm trong $(SAD)$) tại $P$. Khi đó $P\in AH\subset (AHK)$ và $P\in SD\subset (SBD)$, tức $P$ là điểm chung thứ hai.
- Vậy giao tuyến của $(AHK)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $BP$.
- Nhận xét (kiểm tra bằng vectơ): Chọn $B$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{BC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{BA}=\vec{a}$ thì $\overrightarrow{BD}=\vec{a}+2\vec{c}$ (vì $AD=2BC$ cùng hướng). Với $\overrightarrow{BS}=\vec{s}$:
$$K=\frac{1}{3}\vec{a},H=\frac{\vec{s}+\vec{a}+\vec{d}}{3}\Rightarrow \overrightarrow{KH}=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{3},$$
trong đó $\vec{d}=\overrightarrow{BD}$. Gọi $P$ là trung điểm $SD$ thì $\overrightarrow{BP}=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{2}\parallel \overrightarrow{KH}$. Thật vậy, ta kiểm tra $AH\cap SD$ chính là trung điểm $SD$: vì $H=\frac{\vec{s}+2\vec{M}}{3}$ với $M$ trung điểm $AD$, đường $AH$ cắt $SD$ tại điểm với tỉ số $\lambda =\frac{3}{2}$ trên $AH$ ứng với $\nu =\frac{1}{2}$ trên $SD$, tức $P$ là trung điểm $SD$.
Kết luận: giao tuyến là đường thẳng $BP$ với $P$ là trung điểm $SD$ (và $BP\parallel HK$).

b. Chứng minh $\frac{DL}{DG}=\frac{2}{3}$

Chọn $B$ làm gốc vectơ, đặt $\overrightarrow{BA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{BC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{BS}=\vec{s}$; khi đó $\overrightarrow{BD}=\vec{d}=\vec{a}+2\vec{c}$.

- $AK=2KB\Rightarrow \overrightarrow{BK}=\frac{1}{3}\vec{a}$, tức $K=\frac{a}{3}$.
- $O$ trên $AC$ với $AO=2OC\Rightarrow \overrightarrow{BO}=\frac{\vec{a}+2\vec{c}}{3}=\frac{\vec{d}}{3}$.
- $H$ trọng tâm $△SAD$: $\overrightarrow{BH}=\frac{\vec{s}+\vec{a}+\vec{d}}{3}$.
- $G$ trung điểm $SD$: $\overrightarrow{BG}=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{2}$.

Gọi $L^{\ast }$ là điểm trên $SD$ sao cho $\overrightarrow{B{L}^{\ast }}=\frac{\vec{s}+2\vec{d}}{3}$ (tức $S{L}^{\ast }:L^{\ast }D=2:1$). Ta chứng minh $L^{\ast }\in (KOH)$:
$$\overrightarrow{B{L}^{\ast }}=-\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BH}.$$
Kiểm tra: $-\frac{a}{3}+\frac{d}{3}+\frac{s+a+d}{3}=\frac{s+2d}{3}$ ✓, và hệ số $-1+1+1=1$ nên $L^{\ast }$ là tổ hợp affine của $K,O,H$, suy ra $L^{\ast }\in (KOH)$.

Mặt khác $L^{\ast }\in SD$ nên $L^{\ast }$ chính là giao điểm $L$ của $(KOH)$ với $SD$. Vì $\overrightarrow{BL}=\frac{\vec{s}+2\vec{d}}{3}=\frac{1}{3}\vec{s}+\frac{2}{3}\vec{d}$, điểm $L$ chia đoạn $SD$ theo tỉ số $\frac{SL}{LD}=\frac{2}{1}$, suy ra $LD=\frac{1}{3}SD$.

Vì $G$ là trung điểm $SD$ nên $DG=\frac{1}{2}SD$. Do đó:
$$\frac{DL}{DG}=\frac{\frac{1}{3}SD}{\frac{1}{2}SD}=\frac{2}{3}.■$$

(AI giải đề cho tôi)
A sai vì hai đường thẳng phân biệt có thể chéo nhau hoặc song song thì không xác định mặt phẳng duy nhất (hai đường cắt nhau hoặc trùng nhau mới được). B đúng vì tồn tại 4 điểm không đồng phẳng, ví dụ 4 đỉnh của một hình chóp (như các điểm không cùng thuộc một mặt phẳng nào). C sai vì ba điểm phân biệt phải thẳng hàng mới không xác định mặt phẳng; nếu thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua. D sai vì một đường thẳng đi qua điểm đó: đường thẳng và điểm nằm trên đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ là trung điểm của $SA$, $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$, suy ra $MN\parallel AD$. Mà $AD\subset (ABC)$ nên $MN\parallel (ABC)$. Mặt phẳng $(OMN)$ chứa $MN$ và cắt $(ABC)$ theo giao tuyến $d$ đi qua điểm chung $O$ (vì $O\in (ABC)$ và $O\in (OMN)$). Theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng, $d\parallel MN$, do đó $d\parallel AD$ và đi qua $O$. Vậy giao tuyến là đường thẳng đi qua $O$ và song song với $AD$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Chọn hệ vectơ: A=0, B=b, D=d, C=b+d, S=s; khi đó M=-b, O=(b+d)/2, N=(s+b+d)/2.
a) (SAD) chứa S và AD; (SCB) chứa S và BC, mà AD∥BC nên hai mặt phẳng cắt nhau theo đường thẳng qua S song song với AD (và BC), không phải SO. Sai.
b) NO có vectơ chỉ phương N−O=s/2 ∥ SA. K=MO∩AD: giải −b+t(3b+d)/2=λd cho t=2/3, λ=1/3, tức K=d/3 thuộc AD. Kiểm tra K∈(MON): d/3=(1/3)(−b)+(2/3)(b+d)/2+0·N nên K thuộc (MON); mặt (MON) chứa vectơ s vì (N−M)−(O−M)=s/2. Vậy đường thẳng d qua K song song NO (đồng thời song song SA) nằm trong cả hai mặt phẳng, là giao tuyến. Đúng.
c) Vì d⊂(SAD) và G=d∩MN nên G∈(SAD)∩MN, và MN không nằm trong (SAD), do đó G chính là giao điểm của MN với (SAD). Đúng.
d) Điểm trên MN: M+u(N−M)=−b+u(s+3b+d)/2. Thuộc (SAD) (dạng λd+μs) khi hệ số của b bằng 0: −1+3u/2=0, u=2/3. Suy ra GM/GN=u/(1−u)=2. Mặt khác M đối xứng B qua A nên AM=AB, I trung điểm AB nên AI=AB/2, do đó AM/AI=2. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AD∥BC nên (SAD)∩(SCB) là đường thẳng qua S song song với AD, không phải SO.
b) (AI giải đề cho tôi)
NO∥SA (vectơ N−O=s/2). K=MO∩AD với K=d/3 thuộc cả (MON) và (SAD); đường qua K song song NO nằm trong cả hai mặt phẳng nên là giao tuyến d.
c) (AI giải đề cho tôi)
d⊂(SAD), G=d∩MN nên G∈(SAD)∩MN và MN⊄(SAD), vậy G là giao điểm của MN với (SAD).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tham số u=2/3 tại G trên MN nên GM/GN=2; đồng thời AM=AB, AI=AB/2 nên AM/AI=2.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần III): Hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình thap $AD\parallel BC$, $AD=2BC$; $O=AC\cap BD$; $K\in AB$ với $AK=2KB$; $G$ trung điểm $SD$; $H$ trọng tâm tam giác $SAD$.

a) Ta có $H$ là trọng tâm tam giác $SAD$ nên $AH$ là đường trung tuyến, do đó $AH$ đi qua trung điểm của $SD$, tức là đi qua $G$. Suy ra $G\in (AHK)$. Mặt khác $G\in SD\subset (SBD)$. Ngoài ra $B\in AK\subset (AHK)$ (vì $K\in AB$) và $B\in (SBD)$. Vậy hai mặt phẳng $(AHK)$ và $(SBD)$ có hai điểm chung $B$, $G$, nên giao tuyến là đường thẳng $BG$.

b) Xét tam giác $ABD$: vì $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$ nên các đường chéo cắt nhau tại $O$ với $DO:OB=AD:BC=2:1$, tức $BO/BD=1/3$. Lại có $BK/BA=KB/AB=1/3$ (vì $AK=2KB$). Suy ra $BK/BA=BO/BD=1/3$, theo định lý Thales ta có $KO\parallel AD$.
Mặt khác $AD\subset (SAD)$, do đó mặt phẳng $(KOH)$ cắt mặt phẳng $(SAD)$ theo giao tuyến $d$ đi qua $H$ và song song với $AD$. Trong tam giác $SAD$, $H$ là trọng tâm nên đường thẳng qua $H$ song song với $AD$ cắt $SD$ tại $L$ với $SL/SD=2/3$ (đường thẳng qua trọng tâm song song với cạnh cắt hai cạnh bên theo tỉ số $2/3$ tính từ đỉnh). Suy ra $DL/SD=1/3$.
Vì $G$ là trung điểm $SD$ nên $DG/SD=1/2$. Do đó $DL/DG=(1/3)/(1/2)=2/3$. Đpcm.

Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $B=0$, $A=a$, $C=c$, $D=a+2c$; $K=a/3$, $O=(a+2c)/3$, $H=(S+2a+2c)/3$. $L=(1/3)S+(2/3)D=(S+2a+4c)/3$ thuộc mặt phẳng $(KOH)$ (biểu diễn được $L=-K+O+H$... chính xác $L=-K+O+H$ với hệ số tổng bằng 1 sau khi chuẩn hóa), và $DL/DG=2/3$. Kết quả khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng phân biệt có thể chéo nhau (không đồng phẳng) hoặc song song; chỉ khi chúng cắt nhau hoặc song song thì mới xác định một mặt phẳng. B đúng vì tồn tại 4 điểm không đồng phẳng, ví dụ 4 đỉnh của một hình chóp (như đỉnh S và ba đỉnh A, B, C của đáy), đây là một trong các tiên đề về mặt phẳng. C sai vì ba điểm phân biệt chỉ xác định một mặt phẳng khi ba điểm đó không thẳng hàng; nếu ba điểm thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua chúng. D sai vì một đường thẳng đi qua điểm đã cho: có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng đó và đều chứa điểm đó, nên không xác định duy nhất một mặt phẳng. Vậy mệnh đề đúng là B.