Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên hai điểm phân biệt $E,F$ thuộc $(ABCD)$, suy ra đường thẳng $EF\subset (ABCD)$.
b) Đúng: Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung hai điểm phân biệt $A,B$ (vì $A,B\in (SAB)$ và $A,B\in (ABCD)$), nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $AB$.
c) Sai: Xét $(SAB)$ và $(SCD)$: chúng có điểm chung $S$; lại có $B\in (SAB)\cap (SCD)$? Không — thực hiện đúng: $(SAB)$ chứa $AB$, $(SCD)$ chứa $CD$, mà $AB\cap CD=E$, nên $E$ là điểm chung thứ hai, giao tuyến là $SE$ (không phải $SF$). Tương tự, $(SAC)$ chứa $AC$, $(SBD)$ chứa $BD$, với $AC\cap BD=F$ nên giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (không phải $SE$). Đề bài hoán đổi $SE$ và $SF$, do đó khẳng định sai.
d) Đúng: $(SEF)$ chứa $EF$, $(SAD)$ chứa $AD$; hai đường thẳng này cắt nhau tại $G=EF\cap AD$, nên $G$ là điểm chung. Ngoài ra $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến của $(SEF)$ và $(SAD)$ là $SG$.
Kết quả khớp bảng đáp án nguồn: D - D - S - D.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E,F$ thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên $EF\subset (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung $A,B$ nên giao tuyến là $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (vì $AB\cap CD=E$), còn giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (vì $AC\cap BD=F$). Đề hoán đổi nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S$ chung và $G=EF\cap AD$ chung, nên giao tuyến của $(SEF)$ và $(SAD)$ là $SG$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Gọi $O=AC\cap BD$ (tâm hình bình hành). Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$ và cùng chứa đường thẳng $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$ (vì $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$). Vậy giao tuyến là $SO$ với $O=BD\cap AC$.

b) Thiết lập hệ trục toạ độ: $A=(0;0;0)$, $B=(2;0;0)$, $D=(0;2;0)$, $C=(2;2;0)$, $S=(1;1;2)$, $O=(1;1;0)$. Khi đó $N$ trung điểm $SC$ là $N=(1,5;1,5;1)$, $M$ trung điểm $AB$ là $M=(1;0;0)$.

Mặt phẳng $(SBD)$: vectơ pháp tuyến từ $\overrightarrow{BD}=(-2;2;0)$ và $\overrightarrow{BS}=(-1;1;2)$ là $(4;4;0)$, nên $(SBD):x+y=2$.

Đường $AN$: $(1,5t;1,5t;t)$. Giao với $x+y=2$: $3t=2\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, suy ra $I=\left(1;1;\frac{2}{3}\right)$ (nằm trên $SO$ với $\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}$).

Đường $MN$: $(1;0;0)+t(0,5;1,5;1)$. Giao với $x+y=2$: $1+2t=2\Rightarrow t=\frac{1}{2}$, suy ra $J=\left(1,25;0,75;0,5\right)$.

Tính độ dài:
$$I{B}^2=(2-1{)}^2+(0-1{)}^2+{\left(0-\frac{2}{3}\right)}^2=1+1+\frac{4}{9}=\frac{22}{9},$$
$$I{J}^2={\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}=\frac{11}{72}.$$
Vậy $\frac{IB}{IJ}=\sqrt{\frac{22/9}{11/72}}=\sqrt{16}=4$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) $SO$, $O=BD\cap AC$; b) $\frac{IB}{IJ}=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tiên đề về mặt phẳng, hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất. A sai vì ba điểm phân biệt có thể thẳng hàng; B sai vì điểm có thể nằm trên đường thẳng (không xác định mặt phẳng duy nhất); D sai vì bốn điểm phân biệt không xác định mặt phẳng. Đáp án khớp với key nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$; mặt khác $O=AC\cap BD$ nên $O\in (SAC)\cap (SBD)$. Giao tuyến là đường thẳng qua hai điểm chung phân biệt $S$ và $O$, tức $SO$. b) Đúng: $O\in BD$ và $O\in AC\subset (SAC)$, nên giao điểm của $BD$ và $(SAC)$ là $O$. c) Sai: Trong tam giác $SAC$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel AC$ và $MN\subset (SAC)$. Giao điểm của $MN$ với $(SBD)$ phải nằm trên giao tuyến $SO$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, $SO$ là đường trung tuyến kẻ từ $S$, còn $MN$ là đường trung bình; chúng cắt nhau tại trọng tâm $G$ của tam giác $SAC$ với $SG=\frac{2}{3}SO$, không phải trung điểm của $SO$. d) Sai: Hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(MCD)$ có điểm chung $C$ (vì $C\in (SBC)$, $C\in (MCD)$). Nhưng $M\in SA$ không thuộc $(SBC)$, nên giao tuyến không thể là $SC$ (vì nếu giao tuyến là $SC$ thì $(MCD)$ phải chứa cả $S$, vô lý). Giao tuyến thực tế là đường thẳng đi qua $C$ và giao điểm của $MD$ (hoặc đường thẳng khác trong $(MCD)$) với $(SBC)$, khác $SC$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAC)$ và $(SBD)$ có hai điểm chung phân biệt $S$ và $O$ (vì $O=AC\cap BD$), nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$O\in BD$ và $O\in AC\subset (SAC)$, nên $BD\cap (SAC)=\{O\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình tam giác $SAC$, cắt đường trung tuyến $SO$ tại trọng tâm $G$ với $SG=\frac{2}{3}SO$, không phải trung điểm của $SO$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng chỉ có điểm chung $C$; vì $M\notin (SBC)$ nên giao tuyến không thể là $SC$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp có đáy là ngũ giác: mặt đáy là 1 ngũ giác có 5 cạnh và 5 đỉnh, cộng thêm đỉnh S của chóp. Số mặt = 1 mặt đáy + 5 mặt bên = 6 mặt. Số cạnh = 5 cạnh đáy + 5 cạnh bên = 10 cạnh. Vậy đáp án là 6 mặt, 10 cạnh, khớp với key C trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SMB)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Xét trong mặt đáy: $BM\subset (SMB)$ và $AC\subset (SAC)$; gọi $I=AC\cap BM$ thì $I\in BM\subset (SMB)$ và $I\in AC\subset (SAC)$. Vậy $I$ là điểm chung thứ hai, giao tuyến là $SI$. Chọn C, khớp với đáp án nguồn (Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$.
a) Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$; mặt đáy có $AC\cap BD=O$ (hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại tâm $O$). Cả $S$ và $O$ đều thuộc hai mặt phẳng nên giao tuyến là đường thẳng $SO$. Đúng.
b) Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng chứa điểm $S$ và điểm $A$ (vì $A\in AB\subset (SAB)$, $A\in AD\subset (SAD)$), nên giao tuyến là $SA$. Đúng.
c) $SC$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, còn $AB$ nằm trong mặt đáy. Giả sử $SC$ và $AB$ cắt nhau tại $I$ thì $I\in AB\subset (SAC)$ và $I\in SC\subset (SAC)$, do đó $AB\subset (SAC)$, suy ra $C\in (SAC)$ và $B\in (SAC)$, tức $BC\subset (SAC)$, mâu thuẫn vì $B,C$ không thuộc đường chéo $AC$ (hình bình hành không suy biến). Thực tế $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$, do đó $AB$ không cắt $SC$. Vậy $SC$ và $AB$ chéo nhau, khẳng định sai.
d) $BD\cap AC=O$ với $O$ là tâm hình bình hành. Vì $O\in AC\subset (SAC)$ nên $O=BD\cap (SAC)$. Đúng.
Khớp với đáp án nguồn: D - D - S - D.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$ và $O=AC\cap BD$, nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(SAD)$ cùng chứa $S$ và $A$, giao tuyến là $SA$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$, do đó $AB$ không cắt $SC$; hai đường thẳng chéo nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$O=AC\cap BD$ là tâm hình bình hành, $O\in (SAC)$ nên $O=BD\cap (SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong mặt phẳng đáy, $AC\cap BD=O$. Ta có $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$; rõ ràng $S\in (SAC)\cap (SBD)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$ với $O=AC\cap BD$.

b) Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $B=(3;0;0)$, $D=(0;2;0)$, $C=(3;2;0)$, $S=(p;q;h)$ với $h\ne 0$.
- $M$ là trung điểm $CD$ nên $M=\left(\frac{3}{2};2;0\right)$. Đường thẳng $AM$: $y=\frac{4}{3}x$; đường thẳng $BD$: $y=-\frac{2}{3}x+2$. Giải hệ được $E=(1;\frac{4}{3};0)$.
- $AB=3AF\Rightarrow AF=1\Rightarrow F=(1;0;0)$.
- $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$: $G=\left(\frac{p+3}{3};\frac{q+4}{3};\frac{h}{3}\right)$.

Vectơ $\overrightarrow{FE}=(0;\frac{4}{3};0)$, $\overrightarrow{FG}=\left(\frac{p}{3};\frac{q+4}{3};\frac{h}{3}\right)$ nên vectơ pháp tuyến của $(EFG)$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{FE}\times \overrightarrow{FG}=\left(\frac{4h}{9};0;-\frac{4p}{9}\right).$$
Mặt phẳng $(EFG)$ qua $F(1;0;0)$ có phương trình: $h(x-1)-pz=0$.

Điểm $K$ trên $SC$ có dạng $K=S+t(C-S)=(p+t(3-p);q+t(2-q);h(1-t))$. Thay vào phương trình mặt phẳng:
$$h(p+t(3-p)-1)-ph(1-t)=0\Rightarrow -1+3t=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}.$$
Vậy $K$ nằm giữa $S$ và $C$ với $KS=\frac{1}{3}SC$, $KC=\frac{2}{3}SC$, suy ra $\frac{KS}{KC}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}=0,5$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: a) giao tuyến là $SO$, $O=AC\cap BD$; b) $\frac{KS}{KC}=0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M=AC\cap BD$, nên $M\in AC\subset (SAC)$ và $M\in BD\subset (SBD)$. Ngoài ra $S$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung $S$ và $M$, do đó giao tuyến là đường thẳng $SM$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy hình thang: $AB\parallel CD$ với $AB<CD$; $O=AC\cap BD$.

a) $O=AC\cap BD$ với $AC\subset (SAC)$, $BD\subset (SBD)$, và $S$ chung, nên giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SO$. → Đúng.

b) Kiểm tra bằng tọa độ: lấy $A=(0;0)$, $B=(1;0)$, $C=(3;1)$, $D=(0;1)$, $S=(0;0;2)$. Khi đó $J=(0,5;0;0)$, trọng tâm $G$ tam giác $SDB$ là $G=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$. Đường thẳng $JG$ có phương trình $(x;y;z)=\left(\frac{1}{2}-\frac{t}{6};\frac{t}{3};\frac{2t}{3}\right)$; đường thẳng $SC$: $(3u;u;2-2u)$. So sánh hệ thức dẫn đến $t=3/19$ từ hệ $(x,y)$ nhưng $t=3/4$ từ hệ $(z)$ — mâu thuẫn, vậy $JG$ và $SC$ chéo nhau, không có giao điểm $H=JG\cap SC$. Thật vậy, mặt phẳng $(IJG)$ (với $I$ trung điểm $AD$) cắt $SC$ tại điểm $H$ với tham số $u=2/9$, tức $H=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{9};\frac{14}{9}\right)$, không nằm trên $JG$. → Sai.

c) Vì $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ cắt nhau theo đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ (đồng thời song song $CD$). Mệnh đề phủ nhận điều này nên sai. → Sai.

d) Trong tam giác $ABD$, $I$ trung điểm $AD$, $J$ trung điểm $AB$ nên $IJ\parallel BD$, và $IJ$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$. Đường thẳng $SD$ cũng nằm trong $(ABD)$ và cắt $BD$ tại $D$, không song song với $BD$, nên $SD$ không song song với $IJ$; hai đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng $(ABD)$ và không song song nên cắt nhau. → Đúng.

Kết luận: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$O=AC\cap BD$ thuộc cả $(SAC)$ lẫn $(SBD)$, hai mặt phẳng còn chung điểm $S$, nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A=(0;0)$, $B=(1;0)$, $C=(3;1)$, $D=(0;1)$, $S=(0;0;2)$: $JG$ và $SC$ chéo nhau (hệ phương trình cho $t=3/19$ và $t=3/4$ mâu thuẫn). Mặt phẳng $(IJG)$ cắt $SC$ tại $H$ ứng với $u=2/9$ trên $SC$, không trùng giao điểm $JG\cap SC$ (không tồn tại).
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ chính là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$; mệnh đề nói 'không phải' nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$IJ$ là đường trung bình tam giác $ABD$ nên $IJ\parallel BD$ và $IJ\subset (ABD)$; $SD\subset (ABD)$ cắt $BD$ tại $D$ nên không song song $IJ$. Hai đường thẳng cùng phẳng và không song song nên cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD,AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$, suy ra $IJ\parallel CD$ và $IJ=\frac{1}{2}CD$.

Xét hai mặt phẳng $(GIJ)$ và $(BCD)$: cả hai đều chứa điểm $G$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua $G$, chính là $MN$ (vì $M\in BC\subset (BCD)$, $N\in BD\subset (BCD)$ và $M,N\in (GIJ)$).

Ta có $IJ\subset (GIJ)$, $IJ\parallel CD$ với $CD\subset (BCD)$, và $IJ$ không nằm trong $(BCD)$. Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, giao tuyến $MN$ của $(GIJ)$ với $(BCD)$ phải song song với $CD$: $MN\parallel CD$.

Trong tam giác $BCD$, đường thẳng qua trọng tâm $G$ song song với $CD$ cắt $BC,BD$ tại $M,N$. Gọi $K$ là trung điểm của $CD$, thì $B,G,K$ thẳng hàng với $BG=\frac{2}{3}BK$. Tam giác $BMN$ đồng dạng tam giác $BCD$ với tỉ số $\frac{BM}{BC}=\frac{BG}{BK}=\frac{2}{3}$.

Vậy $MN=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\cdot 2IJ=\frac{4}{3}IJ$, suy ra $x=\frac{4}{3}\approx 1,33$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $NP$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ vì $N$ thuộc $BC$ và $P$ thuộc $BD$. Mặt phẳng $(BCD)$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ theo giao tuyến $CD$. Do đó giao điểm của $NP$ với $(ACD)$ chính là giao điểm của $NP$ với $CD$ (trong tam giác $BCD$, đường thẳng qua hai điểm nằm trên hai cạnh $BC$ và $BD$ cắt cạnh thứ ba $CD$). Vậy đáp án là $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Gọi $O=AC\cap BD$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$. Khi đó $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$, đồng thời $S$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

Câu b) Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;h)$ với $h>0$.
- $M$ trung điểm $SA$: $M\left(0;0;\frac{h}{2}\right)$.
- $N$ trung điểm $SB$: $N\left(\frac{1}{2};0;\frac{h}{2}\right)$.
- $P\in BC$ với $BP=3PC$ tức $P=B+\frac{3}{4}(C-B)$: $P\left(1;\frac{3}{4};0\right)$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{1}{2};0;0\right)$, $\overrightarrow{MP}=\left(1;\frac{3}{4};-\frac{h}{2}\right)$. Vectơ pháp tuyến của $(MNP)$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=\left(0;\frac{h}{4};\frac{3}{8}\right).$$
Phương trình mặt phẳng $(MNP)$ qua $M$:
$$\frac{h}{4}y+\frac{3}{8}\left(z-\frac{h}{2}\right)=0⟺4hy+6z-3h=0.$$

Điểm $Q$ trên đường thẳng $SD$: $Q=S+t(D-S)=(0;t;h(1-t))$. Thay vào phương trình mặt phẳng:
$$4ht+6h(1-t)-3h=0⟺4t+6-6t-3=0⟺t=\frac{3}{2}.$$
Vậy $Q$ nằm ngoài đoạn $SD$, phía sau $D$, với $\overrightarrow{SQ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{SD}$, suy ra $SQ=\frac{3}{2}SD$ và $QD=\frac{1}{2}SD$.
$$\frac{QS}{QD}=\frac{\frac{3}{2}SD}{\frac{1}{2}SD}=3.$$

Kết luận: a) Giao tuyến là $SO$ với $O=AC\cap BD$; b) $\frac{QS}{QD}=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp có đáy là ngũ giác: số mặt = 5 mặt bên + 1 mặt đáy = 6 mặt; số cạnh = 5 cạnh đáy + 5 cạnh bên = 10 cạnh. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng (tiên đề cơ bản của hình học không gian). Ba điểm phân biệt có thể thẳng hàng; một điểm và một đường thẳng có thể điểm nằm trên đường thẳng; bốn điểm phân biệt không xác định mặt phẳng duy nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$. Ngoài ra, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt $S$ và $O$, do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng $SO$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BF$. Khi đó $E\in AB$ và $G\in BF$, suy ra đường thẳng $EG$ nằm trong mặt phẳng $(ABF)$. Mặt phẳng $(ABF)$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ theo giao tuyến $AF$ (vì $A$ chung, $F\in CD\subset (ACD)$ và $F\in (ABF)$). Vậy giao điểm của $EG$ với $(ACD)$ chính là giao điểm của $EG$ với $AF$. Trong mặt phẳng $(ABF)$, xét tam giác $ABF$: $E$ là trung điểm $AB$, $G$ trên $BF$ với $BG=2GF$, đường thẳng $EG$ cắt $AF$ tại một điểm xác định (không song song). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên đường thẳng $EF\subset (ABCD)$. b) Đúng: Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung hai điểm phân biệt $A$ và $B$ (vì $A,B\in AB\subset (SAB)$ và $A,B\in (ABCD)$), nên giao tuyến là $AB$. c) Sai: $(SAB)$ và $(SCD)$ có chung điểm $S$; điểm thứ hai là $E=AB\cap CD$ (vì $E\in AB\subset (SAB)$, $E\in CD\subset (SCD)$), nên giao tuyến là $SE$, không phải $SF$. Tương tự $(SAC)$ và $(SBD)$ có chung $S$ và $F=AC\cap BD$, nên giao tuyến là $SF$, không phải $SE$. Phát biểu hoán đổi sai. d) Đúng: $(SEF)$ và $(SAD)$ có chung điểm $S$; trong mặt phẳng đáy, $EF\cap AD=G$ với $G\in EF\subset (SEF)$ và $G\in AD\subset (SAD)$, nên giao tuyến là $SG$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E,F\in (ABCD)$ nên $EF\subset (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung $A,B$ nên giao tuyến là $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (qua $S$ và $E=AB\cap CD$); giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (qua $S$ và $F=AC\cap BD$). Phát biểu hoán đổi $E,F$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(SEF)$ và $(SAD)$ chung $S$; $G=EF\cap AD$ thuộc cả hai mặt phẳng nên giao tuyến là $SG$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ kiểm chứng: $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),C(1;1;0),S(0;0;1)$. Khi đó $O(0,5;0,5;0)$, $I$ trung điểm $SB=(0,5;0;0,5)$, $K$ trung điểm $SD=(0;0,5;0,5)$.

a) $(SAC)$ chứa $S,A,C$; $(SBD)$ chứa $S,B,D$. Cả hai mặt phẳng đều chứa $S$ và đều chứa $O$ (vì $O=AC\cap BD$ nằm trong mặt phẳng đáy). Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo giao tuyến đi qua hai điểm chung $S$ và $O$, tức $SO$. → Đúng.

b) Tìm $J=SA\cap (CKB)$. Mặt phẳng $(CKB)$ qua $C(1;1;0),K(0;0,5;0,5),B(1;0;0)$ có phương trình $x+2z=1$. Đường thẳng $SA$: $(0;0;t)$, suy ra $2t=1\Rightarrow t=0,5$, tức $J(0;0;0,5)$ là trung điểm $SA$. Mặt khác, $(CKB)\cap (SAD)$ là đường thẳng qua $K$ song song với $AD$ (phương trình $x=0,z=0,5$), chứ không song song với $DC$ (vì $DC\parallel AB$, hướng $(1;0;0)$, còn đường giao tuyến có hướng $(0;1;0)$). Điểm $J(0;0;0,5)$ không nằm trên đường qua $K(0;0,5;0,5)$ song song $DC$. → Sai (đường thẳng đúng phải song song với $AD$).

c) $(OIA)$: qua $A,O,I$ có phương trình $x-y-z=0$. $(SCD)$: qua $S,C,D$ có phương trình $y+z=1$. Giao tuyến: $x=1,y+z=1$, đi qua $C(1;1;0)$ và có chỉ phương $(0;1;-1)$ cùng phương với $\overrightarrow{DS}=(0;-1;1)$, tức song song với $SD$. → Đúng.

d) $I(0,5;0;0,5)$, $J(0;0;0,5)$ nên $\overrightarrow{IJ}=(-0,5;0;0)$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$. Mà $AB\parallel DC$ (hình bình hành), suy ra $CD\parallel IJ$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$ và cùng chứa $O=AC\cap BD$, nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$J$ là trung điểm $SA$. Giao tuyến $(CKB)\cap (SAD)$ là đường qua $K$ song song với $AD$ (vì $AD\parallel BC$, $BC\subset (CKB)$... chính xác: hai mặt phẳng cắt theo đường qua $K$ có chỉ phương của $AD$), không song song với $DC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ, giao tuyến của $(OIA):x-y-z=0$ và $(SCD):y+z=1$ là đường $x=1,y+z=1$, đi qua $C$ và song song với $SD$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$I,J$ cùng có tung độ $z=0,5$ và hoành $y=0$, nên $IJ\parallel AB\parallel CD$.