Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ thuộc trung tuyến $AJ$, tức $A,G,J$ thẳng hàng. Mặt khác $G\in (ABC)$ và $G\in (AJD)$ (vì $G\in AJ$), $A$ thuộc cả hai mặt phẳng. Hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(AJD)$ có hai điểm chung $A,G$ phân biệt nên giao tuyến là $AG$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $AJ$, do đó $G\in (AJD)$ và $G\in (ABC)$. Hai mặt phẳng có chung hai điểm phân biệt $A,G$ nên giao tuyến là $AG$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$I$ là trung điểm $AD$ nên $I\in (JAD)$ và $I\in (IBC)$; $J$ là trung điểm $BC$ nên $J\in (IBC)$ và $J\in (JAD)$. Vậy hai mặt phẳng $(IBC)$ và $(JAD)$ có hai điểm chung phân biệt $I,J$, giao tuyến là $IJ$ chứ không phải $IG$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $G\in AJ$ nên $I,G$ đều thuộc mặt phẳng $(AJD)$, suy ra $IG\subset (AJD)$; cũng có $IG\subset (IBC)$. Giao điểm $N=IG\cap (BCD)$: do $IG\subset (AJD)$ nên $N\in (AJD)\cap (BCD)=JD$. Vậy $N$ thuộc đường thẳng $JD$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A,G,J$ thẳng hàng nên đường thẳng $AG$ chính là đường thẳng $AJ$, đi qua $J$. Mà $J$ là trung điểm $BC$ nên $J\in BC$, và $J\in JD$. Ba đường thẳng $AG$, $BC$, $JD$ cùng đi qua điểm $J$, tức đồng quy. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ cùng chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Trong mặt đáy, $AD$ và $BC$ là hai đường thẳng không song song (vì $AB=2CD$ nên hình thang không phải hình bình hành), chúng cắt nhau tại $E$. Khi đó $E$ thuộc $AD$ nên $E\in (SAD)$, $E$ thuộc $BC$ nên $E\in (SBC)$. Vậy $(SAD)\cap (SBC)=SE$. Với $(SAB)$ và $(SCD)$: cả hai đều chứa $S$. Trong mặt đáy, $AB\parallel CD$ (hai đáy của hình thang), do đó giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$ (cũng song song với $CD$), gọi là $Sx$. Vậy $(SAB)\cap (SCD)=Sx$ với $Sx\parallel AB\parallel CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I\in BD$ nên $I$ thuộc mặt phẳng $(BCD)$ và $(ABD)$. Vì $I\in MN$ nên $I$ thuộc mặt phẳng $(CMN)$. Do $A,B,C,D$ không cùng thuộc một mặt phẳng, nếu $I\in (ACD)$ thì $I$ là giao điểm của $BD$ với $(ACD)$, suy ra $I$ phải nằm trên giao tuyến của $(ABD)$ và $(ACD)$ là $AD$; nhưng $I\in BD$ và $I\notin AD$ (vì $BD$ cắt $AD$ chỉ tại $D$, còn $I$ là giao của $MN$ với $BD$ với $M\in AB,N\in AD$ nên $I\ne D$). Vậy $I$ không thuộc $(ACD)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A) Sai — nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số điểm chung và vô số đường thẳng chung, không có đường thẳng chung duy nhất (thiếu điều kiện 'phân biệt'). B) Đúng — hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì giao của chúng là một đường thẳng duy nhất đi qua điểm đó (hệ thức chứa giao tuyến). C) Đúng — nếu hai mặt phẳng có một điểm chung mà không trùng nhau thì giao tuyến là một đường thẳng chứa vô số điểm chung; nếu trùng nhau thì cũng có vô số điểm chung. D) Đúng — ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì cùng thuộc giao tuyến của chúng, nên ba điểm đó thẳng hàng. Vậy khẳng định sai là A, trùng với đáp án nguồn (key A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên đường thẳng $EF\subset (ABCD)$. b) Đúng: Hai mặt phẳng $(SEF)$ và $(SAD)$ có điểm chung $S$; $G=EF\cap AD$ thuộc cả $EF\subset (SEF)$ lẫn $AD\subset (SAD)$, nên giao tuyến là $SG$. c) Sai: Xét $(SAB)$ và $(SCD)$: chúng có điểm chung $S$ và $E=AB\cap CD$ (vì $E\in AB\subset (SAB)$, $E\in CD\subset (SCD)$), nên giao tuyến là $SE$, không phải $SF$ ($F$ không thuộc $(SAB)$ hay $(SCD)$). Tương tự, $(SAC)$ và $(SBD)$ có điểm chung $S$ và $F=AC\cap BD$, nên giao tuyến là $SF$, không phải $SE$. Khẳng định c hoán đổi vai trò của $SE$ và $SF$ nên sai. d) Đúng: $(SAB)$ và $(ABCD)$ có hai điểm chung là $A$ và $B$, nên giao tuyến là $AB$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D - D - S - D.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, do đó $EF\subset (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SEF)$ và $(SAD)$ chung điểm $S$; $G=EF\cap AD$ với $G\in EF\subset (SEF)$ và $G\in AD\subset (SAD)$, nên giao tuyến là $SG$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (vì chung $S$ và $E=AB\cap CD$), còn giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (vì chung $S$ và $F=AC\cap BD$). Khẳng định hoán đổi $SE$ và $SF$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(ABCD)$ có hai điểm chung $A,B$ nên giao tuyến là $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong mặt phẳng $(BCD)$: $N$ là trung điểm $BC$, $P\in BD$ với $BP=2PD$. Hai đường thẳng $NP$ và $CD$ không song song (vì $\frac{BN}{NC}=1\ne \frac{BP}{PD}=2$), nên chúng cắt nhau tại $I$. Khi đó $I=CD\cap (MNP)$ vì $I\in NP\subset (MNP)$ và $I\in CD$. Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $B(0;0),D(3;0),C(0;1)$ thì $N(0;0,5),P(2;0)$; đường $NP$: $y=0,5-0,25x$; đường $CD$: $y=1-\frac{x}{3}$; giải hệ được $I(6;-1)$, nằm trên tia đối của tia $DC$ với $DI=DC$ (tức $D$ là trung điểm $CI$). Vậy $I=CD\cap (MNP)=CD\cap NP$.

b) Xét hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP)$:
- $M\in AC\subset (ACD)$ và $M\in (MNP)$.
- $I\in CD\subset (ACD)$ và $I\in (MNP)$ (theo câu a).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua hai điểm chung $M$ và $I$, tức là $MI=(ACD)\cap (MNP)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: $I=CD\cap (MNP)=CD\cap NP$; giao tuyến là $MI$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$. Trong tam giác $SAC$, $E$ là trung điểm của $SA$ và $O$ là trung điểm của $AC$, do đó đường thẳng $OE$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$. Vậy mặt phẳng chứa $OE$ là $(SAC)$, khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $S$ và điểm $B$ (vì $B\in AB\subset (SAB)$ và $B\in BC\subset (SBC)$). Theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng, giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung phân biệt, tức là $SB$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: hình chóp tứ giác S.ABCD có 5 mặt (1 đáy + 4 mặt bên) và 8 cạnh, không phải 4 mặt. b) Đúng: (SAC) chứa S, A, C; (SBD) chứa S, B, D. Cả hai đều chứa S và O (vì O ∈ AC ⊂ (SAC) và O ∈ BD ⊂ (SBD)), nên giao tuyến là đường thẳng SO. c) Đúng: I là giao của AM với (SBD). Vì I ∈ AM ⊂ (SAC) và I ∈ (SBD), nên I thuộc giao tuyến của (SAC) và (SBD), tức I ∈ SO. Mặt khác I ∈ AM nên I = AM ∩ SO. d) Đúng: Xét (ABM) và (SBD): B là điểm chung; A, M, S, C đồng phẳng (vì M ∈ SC) nên giao tuyến của (ABM) và (SAC) là AM, chứa I. Do đó (ABM) ∩ (SBD) = BI. Giao điểm của SD với (ABM) nằm trên SD ⊂ (SBD) và trên (ABM), nên thuộc giao tuyến BI. Khớp đáp án nguồn S - Đ - Đ - Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác có 5 mặt và 8 cạnh, không phải 4 mặt.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng cùng chứa S và O (O ∈ AC, O ∈ BD) nên giao tuyến là SO.
c) (AI giải đề cho tôi)
I ∈ AM ⊂ (SAC) và I ∈ (SBD) nên I ∈ (SAC) ∩ (SBD) = SO, do đó I = AM ∩ SO.
d) (AI giải đề cho tôi)
(ABM) ∩ (SBD) = BI (chung B và I), nên giao điểm của SD với (ABM) thuộc BI.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BF$. Xét mặt phẳng $(ABF)$: $E$ nằm trên $AB$ nên $E\in (ABF)$; $G$ nằm trên $BF$ nên $G\in (ABF)$. Do đó đường thẳng $EG$ nằm trong mặt phẳng $(ABF)$. Mặt khác, $A\in (ACD)$ và $F\in CD\subset (ACD)$ nên $AF$ là giao tuyến của $(ABF)$ và $(ACD)$. Vậy giao điểm $H$ của $EG$ với $(ACD)$ chính là giao điểm của $EG$ với $AF$: $EG\cap (ACD)=EG\cap AF$. Kết quả trùng với đáp án tham khảo của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M\in BC\subset (BCD)$. Mặt khác $M\in AM$, tức $M$ là điểm chung của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(BCD)$. Trong tứ diện $ABCD$, điểm $A$ không thuộc $(BCD)$ nên đường thẳng $AM$ không nằm trong $(BCD)$, do đó giao điểm của $AM$ và $(BCD)$ là duy nhất và chính là $M$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I\in BD$ nên $I$ thuộc mặt phẳng $(ABD)$ và $(BCD)$. Lại có $I\in MN$ với $M\in (CMN)$, $N\in (CMN)$ nên $MN\subset (CMN)$, suy ra $I$ thuộc $(CMN)$. Mặt phẳng $(ACD)$ chỉ chứa $A,C,D$; điểm $I$ nằm trên $BD$ với $I\notin \{B,D\}$ (do $MN$ cắt $BD$ tại điểm trong), nên $I$ không thuộc $(ACD)$ vì nếu $I\in (ACD)$ thì $I$ nằm trên giao tuyến $BD$ của $(ABD)$ và $(ACD)$... thực chất $I$ thuộc đường thẳng $BD$ nhưng không trùng $D$, còn $(ACD)$ cắt đường thẳng $BD$ chỉ tại $D$ (vì $B\notin (ACD)$). Vậy $I$ không thuộc $(ACD)$. Đáp án khớp với key nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: định lý — qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. b) Sai: nếu điểm nằm trên đường thẳng thì qua chúng có vô số mặt phẳng; chỉ khi điểm không thuộc đường thẳng mới có duy nhất một mặt phẳng. c) Đúng: hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai. d) Đúng: nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có đúng một đường thẳng chung — giao tuyến (hệ thức về giao tuyến). Kết quả khớp đáp án nguồn: D - S - D - D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định lý: ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai: nếu điểm nằm trên đường thẳng thì có vô số mặt phẳng qua chúng; chỉ đúng khi điểm không thuộc đường thẳng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có duy nhất một đường thẳng chung, gọi là giao tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $ABC$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$ nên $MN\parallel AB$. Do đó $MN\parallel (ABD)$ (vì $MN$ không nằm trong $(ABD)$). Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABD)$ có điểm chung $P$ (vì $P\in BD\subset (ABD)$). Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $d$ đi qua $P$ và song song với $MN$ (đồng thời song song với $AB$ theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng). Vậy giao tuyến là đường thẳng qua $P$ song song với $AB$ (và $MN$).

b) Xét mặt phẳng $(BCD)$: ta có $N\in BC\subset (BCD)$, $P\in BD\subset (BCD)$ nên $NP\subset (BCD)$. Trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $CD$ cắt đường thẳng $NP$ tại một điểm $Q$ (vì $NP$ không song song với $CD$: $N$ là trung điểm $BC$, $P$ thỏa $BP=2PD$ nên $\frac{BN}{NC}=1\ne \frac{BP}{PD}=2$). Khi đó $Q=CD\cap NP\in (MNP)$ và $Q\in CD$, suy ra $Q$ chính là giao điểm của $CD$ và $(MNP)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) giao tuyến là đường qua $P$ song song, $AB\parallel MN$; b) $CD\cap (MNP)=CD\cap NP$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ thuộc mặt phẳng $(ABCD)$. Đường thẳng $SO$ đi qua $O$, do đó giao điểm của $SO$ và $(ABCD)$ chính là $O$ (vì $S\notin (ABCD)$). Vậy chọn đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M\in AC$ nên $MD\subset (ACD)$; tương tự $AN\subset (ACD)$. Trong mặt phẳng $(ACD)$, $MD$ và $AN$ không song song (vì $M$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $CD$ nên chúng cắt nhau), gọi giao điểm là $P=MD\cap AN$. Khi đó $P\in MD\subset (MBD)$ và $P\in AN\subset (ABN)$. Ngoài ra $B$ thuộc cả hai mặt phẳng $(MBD)$ và $(ABN)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung $B$ và $P$, suy ra giao tuyến là đường thẳng $BP$. Đáp án khớp với key nguồn là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, M là trung điểm SD.
a) Đúng: (SAC) chứa S, A, C; (SBD) chứa S, B, D. Cả hai mặt phẳng đều chứa S và đường chéo đi qua tâm O (AC ⊂ (SAC), BD ⊂ (SBD), O = AC ∩ BD ∈ cả hai mặt phẳng). Vậy hai mặt phẳng có chung hai điểm phân biệt S và O, giao tuyến là SO.
b) Sai: (SAB) và (SAD) có chung hai điểm phân biệt S và A (A ∈ cả hai mặt phẳng vì A ∈ AB và A ∈ AD), nên giao tuyến là SA, không phải SB.
c) Đúng: Xét tam giác SBD, O là trung điểm BD, M là trung điểm SD nên MO là đường trung bình, suy ra MO ∥ BD. Xét tam giác SBD với đường thẳng BM cắt SO tại điểm P (BM và SO cùng nằm trong mặt phẳng (SBD) và không song song vì O là trung điểm BD, M là trung điểm SD nên BM và SO cắt nhau). Điểm P ∈ BM và P ∈ SO ⊂ (SAC), hơn nữa P là điểm duy nhất của BM nằm trong (SAC) (vì B ∉ (SAC)). Vậy BM cắt (SAC) tại giao điểm của BM và SO.
d) Sai: M là trung điểm SD, M ∈ (SBD). Nếu M ∈ (SAC) thì đường thẳng SD có hai điểm S, M thuộc (SAC), suy ra D ∈ (SAC), khi đó cả bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng — mâu thuẫn với ABCD là đáy hình chóp (không phẳng). Vậy M ∉ (SAC). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SAC) và (SBD) cùng chứa S và O (O = AC ∩ BD), nên giao tuyến là SO.
b) (AI giải đề cho tôi)
(SAB) và (SAD) cùng chứa S và A, giao tuyến là SA chứ không phải SB.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong (SBD), BM cắt SO (O trung điểm BD, M trung điểm SD); giao điểm thuộc SO ⊂ (SAC) và là điểm duy nhất của BM trong (SAC) vì B ∉ (SAC).
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu M ∈ (SAC) thì S, M ∈ (SAC) kéo theo D ∈ (SAC), suy ra A, B, C, D đồng phẳng, mâu thuẫn. Vậy M ∉ (SAC).

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $AB\parallel CD$, $CD\subset (SCD)$ và $AB\not\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$. Mặt phẳng $(SAB)$ đi qua $AB$ và chứa điểm chung $S$ với $(SCD)$, nên giao tuyến $d$ của $(SAB)$ và $(SCD)$ đi qua $S$ và $d\parallel AB$ (định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng). Vì $AB$ không song song với $SC$, đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ cắt $SC$ tại một điểm $x$. Khi đó $x\in SC\subset (SCD)$ và $x\in (SAB)$ (vì $(SAB)$ chứa đường thẳng qua $S$ song song với $AB$). Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $Sx$ với $Sx\parallel AB\parallel CD$.
b) Gọi $O=AC\cap BD$ (hai đường chéo của hình thang cắt nhau tại $O$). Ta có $S\in (SAC)\cap (SBD)$; $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$, suy ra $(SAC)\cap (SBD)=SO$. Đường thẳng $CM$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ vì $C\in AC$ và $M\in SA$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, $CM$ cắt $SO$ tại điểm $I$ (hai đường thẳng này không song song vì cùng đi qua vùng tam giác $SAC$). Khi đó $I\in CM$ và $I\in SO\subset (SBD)$, tức $I=CM\cap (SBD)$. Vậy $CM\cap (SBD)=CM\cap SO$ với $O=AC\cap BD$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) $Sx\parallel AB\parallel CD$; b) $CM\cap (SBD)=CM\cap SO$, $O=AC\cap BD$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, điểm $G$ nằm trong tam giác $ACD$ (mặt bên của tứ diện, có đoạn nối từ $A$ tới $G$ và $G$ nằm gần cạnh $CD$, phía trong mặt phẳng $(ACD)$). Do đó $G$ thuộc mặt phẳng $(ACD)$, không thuộc các mặt phẳng $(BCD)$, $(ABC)$ hay $(ABD)$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tiên đề Euclid về mặt phẳng: qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng bất kỳ có duy nhất một mặt phẳng. A sai vì 4 điểm có thể không đồng phẳng; B sai vì qua 2 điểm có vô số mặt phẳng; D sai vì 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì không xác định duy nhất một mặt phẳng. Vậy đáp án C, khớp với key nguồn (Câu 12: C).