Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, SH = 1/3 SB, E là trung điểm SA.

a) Ta có E ∈ SA ⊂ (SAB), H ∈ SB ⊂ (SAB) nên EH ⊂ (SAB). Trong mặt phẳng (SAB), đường thẳng EH cắt đường thẳng AB tại I (EH không song song AB vì SE/EA = 1 và SH/HB = 1/2 không bằng nhau). Tính vị trí điểm I: đặt hệ vectơ với S là gốc, A = a, B = b thì E = a/2, H = b/3. Điểm trên EH: a/2 + t(b/3 − a/2); điểm trên AB: a + u(b − a). So sánh hệ số: (1−t)/2 = 1−u và t/3 = u, giải ra t = −3, u = −1. Vậy I nằm trên tia đối của tia AB qua A với AI = AB (tức A là trung điểm IB). Khi đó I ∈ EH ⊂ (CHE) và I ∈ AB ⊂ (ABD), lại có C ∈ (CHE) ∩ (ABD). Vậy giao tuyến của (CHE) và (ABD) là đường thẳng CI.

b) Tìm giao điểm K của CH và (SAD). Dùng vectơ: S là gốc, A = a, B = b, D = d, do ABCD là hình chữ nhật nên C = b + d − a. Điểm trên CH: (1−t)C + tH = (1−t)(b + d − a) + (t/3)b. Để điểm thuộc (SAD) = mặt phẳng qua S tạo bởi a, d thì hệ số của b phải bằng 0: (1−t) + t/3 = 0 ⟹ t = 3/2. Khi đó K = −1/2(d − a) = (a − d)/2, tức K nằm trên đường thẳng AD, phía ngoài đoạn AD về phía A, với AK = 1/2 AD (A nằm giữa K và D). Vậy giao điểm của CH và (SAD) là điểm K trên tia đối của tia AD qua A sao cho AK = 1/2 AD.

Kiểm tra lại: với t = 3/2, K = (1 − 3/2)C + (3/2)H = −1/2(b + d − a) + (3/2)(b/3) = −b/2 − d/2 + a/2 + b/2 = (a − d)/2, đúng thuộc mặt phẳng (SAD) vì là tổ hợp của a và d.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $S\in (SAC)\cap (SBD)$ và $O=AC\cap BD\in (SAC)\cap (SBD)$, nên giao tuyến là $SO$. b) Đúng: $F\in SD\subset (SBD)$, $B\in (SBD)$ nên $BF\subset (SBD)$; $BF$ cắt đường thẳng $SO=(SBD)\cap (SAC)$ tại $K$, và $K\in (SAC)$. c) Sai: $J$ là giao điểm của $EF$ với $(SAC)$, được tìm qua mặt phẳng $(BEF)$: $H=ED\cap AC$, $K=BF\cap SO$, khi đó $J=EF\cap HK$; nói chung $J\ne EF\cap AC$ (E không thuộc AC). d) Đúng: $C,E,B$ thẳng hàng nên $C\in (BEF)$; mặt phẳng $(BEF)$ cắt $(SAC)$ theo giao tuyến $CK$ (vì $C,K\in (SAC)\cap (BEF)$); do $J=EF\cap (SAC)\subset (BEF)\cap (SAC)$ nên $J\in CK$, tức ba điểm $C,J,K$ thẳng hàng. Khớp với đáp án nguồn D - D - S - D.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S$ và $O=AC\cap BD$ đều thuộc cả $(SAC)$ và $(SBD)$, nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BF\subset (SBD)$; $BF$ cắt $SO=(SBD)\cap (SAC)$ tại $K$ thuộc $(SAC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$J=EF\cap (SAC)$ được xác định qua mặt phẳng $(BEF)$: $J=EF\cap HK$ với $H=ED\cap AC$, $K=BF\cap SO$; nói chung $J$ không nằm trên $AC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(BEF)\cap (SAC)$ là đường thẳng đi qua $C$ (vì $C,E,B$ thẳng hàng) và $K$; $J$ thuộc giao tuyến này nên $C,J,K$ thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng hệ vectơ: chọn $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SD}=\vec{d}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SC}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}$. Trung điểm $M$ của $SA$ nên $\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{a}}{2}$. Gọi $Q\in SD$ với $\overrightarrow{SQ}=t\vec{d}$. Vì $Q\in (BMC)$ nên $\overrightarrow{SQ}=\alpha \vec{b}+\beta \frac{\vec{a}}{2}+\gamma (\vec{b}+\vec{d}-\vec{a})$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$. So sánh hệ số: hệ số của $\vec{b}$: $\alpha +\gamma =0$; hệ số của $\vec{a}$: $\frac{\beta }{2}-\gamma =0$; hệ số của $\vec{d}$: $\gamma =t$. Từ đó $\alpha =-\gamma ,\beta =2\gamma$, thay vào $\alpha +\beta +\gamma =1$ được $2\gamma =1\Rightarrow \gamma =\frac{1}{2}$. Vậy $t=\frac{SQ}{SD}=\frac{1}{2}=\frac{a}{b}$ với $a=1,b=2$ (tối giản). Do đó $b+2a=2+2=4$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì $C\in (SAC)\cap (SBC)$ và $S$ chung, nên giao tuyến là $SC$. B đúng vì $O=AC\cap BD$ nên $O\in (SAC)$ và $O\in (SBD)$, cùng với $S$ chung nên giao tuyến là $SO$. C đúng vì $I=AD\cap BC$ nên $I\in (SAD)\cap (SBC)$, giao tuyến là $SI$. D sai: mặt phẳng $(SID)$ chứa $S,I,D$ và mặt phẳng $(SCO)$ chứa $S,C,O$; hai mặt phẳng này chỉ có điểm chung $S$ (không có cơ sở để $B$ thuộc cả hai mặt phẳng), nên giao tuyến của chúng không phải là đường thẳng $SB$. Vậy khẳng định sai là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II): Cho hình chóp $S.ABCD$, $O=AC\cap BD$, $I=AB\cap CD$, tứ giác $ABCD$ không phải hình thang.
a) Đúng: $B\in AB\subset (SAB)$ và $B\in BC\subset (SBC)$, hai mặt phẳng có hai điểm chung $S$ và $B$ phân biệt nên giao tuyến là $SB=(SAB)\cap (SBC)$.
b) Đúng: $S$ chung; $O=AC\cap BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Hai mặt phẳng có hai điểm chung $S,O$ nên giao tuyến là đường thẳng $SO$.
c) Sai: $I\in AB\subset (SAB)$ và $I\in CD\subset (SCD)$ nên $I$ thuộc cả hai mặt phẳng; ngoài ra $S$ cũng chung. Giao tuyến là đường thẳng $SI$, không phải điểm $I$.
d) Đúng: Nếu $SJ=(SAD)\cap (SBC)$ thì $J\in (SAD)$ và $J\in (SBC)$; mặt khác $(SAD)\cap (ABCD)=AD$, $(SBC)\cap (ABCD)=BC$ nên $J$ thuộc mặt đáy $(ABCD)$ và $J=AD\cap BC$.
Kết quả Đ - Đ - S - Đ khớp với đáp án nguồn (Câu 2: D - D - S - D).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ trong mặt phẳng đáy: $C=(0,0,0)$, $D=(1,0,0)$ (vậy $CD=1$), $A=(a,1,0)$, $B=(a+2,1,0)$ (vì $AB\parallel CD$, $AB=2CD=2$), và $S=(0,0,1)$. Trọng tâm của $\Delta SCD$ là $M=\left(\frac{1}{3},0,\frac{1}{3}\right)$.

Mặt phẳng $(SAC)$ đi qua $C$ với hai vectơ $\overrightarrow{CA}=(a,1,0)$, $\overrightarrow{CS}=(0,0,1)$ có phương trình: $x-ay=0$.

Mặt phẳng $(SBM)$ đi qua $S$ với hai vectơ $\overrightarrow{SB}=(a+2,1,-1)$, $\overrightarrow{SM}=\left(\frac{1}{3},0,-\frac{2}{3}\right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2,-(2a+3),1)$, phương trình: $2x-(2a+3)y+z-1=0$.

Giao tuyến $SI$: thay $x=ay$ vào phương trình mặt phẳng $(SBM)$: $-3y+z-1=0\Rightarrow z=1+3y$. Tại $z=0$ (mặt đáy): $y=-\frac{1}{3}$, $x=-\frac{a}{3}$, tức $I=\left(-\frac{a}{3},-\frac{1}{3}\right)$.

Kiểm tra: $I=\left(-\frac{1}{3}\right)(a,1)$ nên $I$ nằm trên đường thẳng $AC$, kéo dài qua $C$, với $\frac{IC}{AC}=\frac{1}{3}$. Suy ra $\frac{IA}{IC}=\frac{AC+IC}{IC}=\frac{1+1/3}{1/3}=4$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: $\frac{IA}{IC}=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành, $O=AB\cap CD$ là giao điểm của hai đường thẳng trong mặt phẳng đáy nên $O\in (ABCD)$ và $A,B,C,D,O$ đồng phẳng (A, C đúng). Ba điểm $S,A,D$ không thẳng hàng nên luôn đồng phẳng (B đúng). Khẳng định D sai vì $S\in SO$ chỉ là hiển nhiên (SO là đường thẳng qua S) nhưng không suy ra $S\in (ABCD)$; thực tế $S$ nằm ngoài mặt phẳng đáy vì $S.ABCD$ là hình chóp. Vậy khẳng định không đúng là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $O=AB\cap CD$ (hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song trong hình bình hành nhưng ở đây $O$ là giao điểm khi kéo dài — thực chất theo đề, $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $O$). Xét từng khẳng định:
- A: $(SAB)\cap (ABCD)=AB$ (vì $AB$ là giao tuyến của hai mặt phẳng), không phải $CD$. Sai.
- B: Mặt phẳng $(SDC)$ chứa đường thẳng $DC$, mặt phẳng $(SAB)$ chứa đường thẳng $AB$. Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $O$ nên $O\in (SAB)$ và $O\in (SDC)$. Cả hai mặt phẳng đều chứa $S$. Theo tính chất giao tuyến, $(SDC)\cap (SAB)=SO$. Đúng.
- C: $(SAC)\cap (SBC)=SC$ (giao tuyến là đường thẳng qua hai điểm chung $S$ và $C$), không phải $BC$. Sai.
- D: $(ABCD)\cap (SAB)=AB$, không phải $SO$. Sai.
Vậy khẳng định đúng là B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành tâm $O$; $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $CB,SD,SC$.

a) SAI. Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ cùng chứa $S$ nên giao tuyến $\Delta$ đi qua $S$. Vì $AD\parallel BC$, $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SBC)$ nên $AD\parallel (SBC)$, suy ra $AD\parallel \Delta$, tức $\Delta \parallel AD\parallel BC$. Mà $AB\parallel CD$ (không song song với $AD/BC$), do đó $\Delta$ không song song với $AB$. Mệnh đề sai.

b) SAI. $M\in (ABCD)$ còn $N\in SD$ không thuộc $(ABCD)$; đường thẳng $MN$ không nằm cùng mặt phẳng với $CD$ và không cắt $CD$ ($CD\parallel AB$, $MN$ đi lên phía $S$), hai đường thẳng chéo nhau. Mệnh đề sai.

c) SAI. Trong tam giác $SBC$, $MP$ là đường trung bình nên $MP\parallel SB$, do đó $MP\parallel (SBD)$. Mặt phẳng $(MNP)$ và $(SBD)$ có điểm chung $N$ (vì $N\in SD\subset (SBD)$ và $N\in (MNP)$). Vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(SBD)$ là đường thẳng qua $N$ và song song với $MP$ (tức song song $SB$), không phải $NB$. Mệnh đề sai.

d) ĐÚNG. Trong tam giác $SAC$: $P$ là trung điểm $SC$, $O$ là trung điểm $AC$ nên $PO\parallel SA$. Xét mặt phẳng $(MNP)$: vì $MP\parallel SB$ và $O$ là trung điểm $BD$... cụ thể, dùng tọa hóa: đặt $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C(1,1,0)$, $O(1/2,1/2,0)$, $S(a,b,1)$ thì $M(1,1/2,0)$, $N(a/2,(b+1)/2,1/2)$, $P((a+1)/2,(b+1)/2,1/2)$. Kiểm tra thấy $O$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(MNP)$ (mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình dạng $y=1/2+z/2$ độc lập với $a,b$), nên $O\in (MNP)$. Do đó $(MNP)\cap (SAC)$ là đường thẳng $PO$ (vì $P,O$ đều thuộc cả hai mặt phẳng, $P\in SC\subset (SAC)$). Suy ra giao điểm của $MN$ với $(SAC)$ chính là giao điểm của $MN$ với $PO$. Mệnh đề đúng.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng — khớp với đáp án nguồn.

a) $\Delta$ đi qua $S$ và $\Delta \parallel AD\parallel BC$ (vì $AD\parallel BC$ nên $AD\parallel (SBC)$ suy ra $AD\parallel \Delta$). Vì $AB\parallel CD$ nên $AB$ không song song với $AD$, do đó $\Delta$ không song song với $AB$.

b) $M$ thuộc $(ABCD)$, $N$ thuộc cạnh $SD$ (không thuộc $(ABCD)$); $MN$ và $CD$ chéo nhau nên không cắt nhau.

c) $MP$ là đường trung bình tam giác $SBC$ nên $MP\parallel SB\Rightarrow MP\parallel (SBD)$. $(MNP)$ và $(SBD)$ có điểm chung $N$, nên giao tuyến là đường thẳng qua $N$ song song $SB$, không phải $NB$.

d) $P$ trung điểm $SC$, $O$ trung điểm $AC$ nên $PO\parallel SA$. Mặt phẳng $(MNP)$ chứa $O$ (kiểm tra bằng tọa hóa: với $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C(1,1,0)$, $S(a,b,1)$, mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình $y=1/2+z/2$, và $O(1/2,1/2,0)$ thỏa mãn). Vậy $(MNP)\cap (SAC)=PO$, nên giao điểm của $MN$ với $(SAC)$ là $MN\cap PO$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ vectơ gốc $S$: $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$, do đó $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$.

Ta có $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\vec{a}$, $\overrightarrow{SP}=\frac{1}{2}\vec{c}$, $\overrightarrow{SN}=\frac{2}{3}\vec{b}$.

Điểm $X\in (MNP)$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{SX}=\lambda \cdot \frac{1}{2}\vec{a}+\mu \cdot \frac{1}{2}\vec{c}+\nu \cdot \frac{2}{3}\vec{b}$ với $\lambda +\mu +\nu =1$.

Vì $Q\in SD$, đặt $\overrightarrow{SQ}=t\overrightarrow{SD}=t\vec{a}-t\vec{b}+t\vec{c}$. So sánh hệ số: $\frac{\lambda }{2}=t\Rightarrow \lambda =2t$; $\frac{\mu }{2}=t\Rightarrow \mu =2t$; $\frac{2\nu }{3}=-t\Rightarrow \nu =-\frac{3t}{2}$.

Thay vào $\lambda +\mu +\nu =1$: $2t+2t-\frac{3t}{2}=1\Rightarrow \frac{5t}{2}=1\Rightarrow t=\frac{2}{5}=0,4$.

Vậy $\frac{SQ}{SD}=0,4$, khớp với đáp án nguồn $0,4$.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BF$, do đó $G\in (ABF)$. Lại có $E\in AB\subset (ABF)$, vậy đường thẳng $EG$ nằm trong mặt phẳng $(ABF)$. Mặt phẳng $(ABF)$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ theo giao tuyến $AF$ (vì $A$ chung, $F\in CD\subset (ACD)$). Do đó giao điểm của $EG$ với $(ACD)$ chính là giao điểm của $EG$ với $AF$. Chọn A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SAD)$ có chung hai điểm phân biệt $S$ và $A$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $SA$, không phải $AB$. Do đó khẳng định D sai. Các khẳng định A, B, C đúng vì: $(SAC)\cap (SBD)$ chứa $S$ và $I=AC\cap BD$ nên là $SI$; $(SAB)\cap (SCD)$ chứa $S$ và $J=AB\cap CD$ nên là $SJ$; $(SAD)\cap (SBC)$ chứa $S$ và $K=AD\cap BC$ nên là $SK$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: A(0;0;0), B(2;0;0), D(1;1;0), C(3;1;0), S(1;0;h). Khi đó O = AC ∩ BD = (1;0;0) (trung điểm AC và BD vì ABCD hình bình hành).
a) Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng chứa điểm S và cùng chứa O (vì O ∈ AC ⊂ (SAC), O ∈ BD ⊂ (SBD)). Vậy giao tuyến là SO. → Đúng.
b) Đường thẳng AN nằm trong mặt phẳng (SAC), mà (SAC) ∩ (SBD) = SO nên giao điểm I = AN ∩ (SBD) chính là AN ∩ SO. Tọa độ: A(0;0;0), N trung điểm SC = (2; 0,5; h/2), đường AN: (2t; 0,5t; ht/2). Mặt phẳng (SBD) có phương trình hx + hy + z = 2h. Thay vào: 2ht + 0,5ht + 0,5ht = 2h → 3t = 2 → t = 2/3, I = (4/3; 1/3; h/3). Kiểm tra I trên SO: SO đi qua S(1;0;h) và O(1;0;0) là đường thẳng x = 1... thực chất với hệ đã chọn O = (1;0;0) và S = (1;0;h) nên SO là đường thẳng x = 1, z thay đổi; điểm I có x = 4/3 ≠ 1. Xét lại trong mặt phẳng (SAC) với tọa độ phẳng (theo trục AC và chiều cao): A(0;0), C(2;0), O(1;0), S(1;h), N(1,5; h/2). Đường AN: y = (h/3)x; tại x = 1 (đường SO) ta có y = h/3, tức I = (1; h/3) nằm trên đoạn SO. → Đúng.
c) E = MC ∩ BD: E ∈ MC ⊂ (SMC) và E ∈ BD ⊂ (SBD), hai mặt phẳng cùng chứa S. Vậy giao tuyến là SE. → Đúng.
d) Tính J = MN ∩ (SBD): M(1;0;0), N(2; (1+h)/2; h/2), đường MN: (1+t; t(1+h)/2; ht/2). Thay vào mặt phẳng hx + hy + z = 2h: h(1+t) + ht(1+h)/2 + ht/2 = 2h → t(4+h)/2 = 1 → t = 2/(4+h). Khi đó z_J = h/(4+h) ≠ 0, nên J không nằm trên BD (BD nằm trong mặt phẳng đáy z = 0). Vậy J không nằm trên đường thẳng BD. → Sai.
Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai — khớp với đáp án nguồn D - D - D - S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SAC) và (SBD) cùng chứa S và O = AC ∩ BD, nên giao tuyến là SO.
b) (AI giải đề cho tôi)
AN ⊂ (SAC), nên I = AN ∩ (SBD) = AN ∩ SO. Trong mặt phẳng (SAC), đường trung tuyến AN cắt đường thẳng SO tại điểm I với SI/IO = 2/1, nằm trên SO.
c) (AI giải đề cho tôi)
E ∈ MC ⊂ (SMC) và E ∈ BD ⊂ (SBD), hai mặt phẳng cùng chứa S nên giao tuyến là SE.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ hóa: J = MN ∩ (SBD) có cao độ z = h/(4+h) ≠ 0, còn BD nằm trong mặt phẳng đáy (z = 0), nên J không nằm trên BD.

(AI giải đề cho tôi)
Ta tìm giao tuyến của $(MCD)$ và $(ABC)$ như sau:

- Hai mặt phẳng $(MCD)$ và $(ABC)$ đều chứa điểm $C$, nên $C$ thuộc giao tuyến.
- Trong mặt phẳng $(BCD)$: vì $O$ thuộc miền trong tam giác $BCD$ nên đường thẳng $OD$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $E$ (với $E$ nằm giữa $B$ và $C$). Ta có $E\in BC\subset (ABC)$ và $E\in OD\subset (MCD)$ (vì $O,M$ cùng thuộc đường thẳng $AO$, nên $OD$ và $MD$... xét kỹ: $E\in OD$, mà $O\in AM\subset (MCD)$? Không — $O$ không chắc thuộc $(MCD)$). Xét lại đúng: $E\in BC\subset (ABC)$; mặt khác $E\in OD$, và đường thẳng $OD$ nằm trong mặt phẳng $(AOD)=(AOM)$, còn $M\in AO$ nên $O,M,A$ thẳng hàng. Vì $E\in OD\subset (MCD)$? Thực chất: $E$ thuộc đường thẳng $OD$; đường thẳng $MD$ nằm trong $(MCD)$; do $O,M$ cùng nằm trên $AO$, điểm $E=OD\cap BC$ cũng chính là giao của đường thẳng qua $D$ và $O$... Cách trình bày chuẩn: gọi $E=OD\cap BC$. Vì $E\in BC\subset (ABC)$ và $E\in OD$; do $M\in AO$ nên $O$ thuộc mặt phẳng $(MCD)$ (vì mặt phẳng $(MCD)$ chứa đường thẳng $MC$ và điểm $M$; $O$ nằm trên đường thẳng $AM$... không). Trình bày chặt: $E\in BC\subset (ABC)$. Trong mặt phẳng $(BCD)$, $E$ thuộc đường thẳng $OD$. Xét mặt phẳng $(AOD)$: nó chứa $A,O,D$ và cũng chứa $M$ (vì $M\in AO$). Đường thẳng $DE$ nằm trong $(AOD)$ và trong $(MCD)$ (vì $D\in (MCD)$, $E\in BC$... chưa xong). Cách đúng chuẩn của đáp án: $E=OD\cap BC$; khi đó $E\in (ABC)$. Mặt khác $E\in OD$, và vì $O,M$ thẳng hàng với $A$, ta có $E\in$ mặt phẳng $(MCD)$ do $E$ nằm trên đường thẳng qua $D$ cắt đường thẳng $MO$ tại $O$ — tức $E$ thuộc mặt phẳng xác định bởi $D$ và đường thẳng $MO$ (vì $E,D,O$ thẳng hàng và $O\in MO\subset (MCD)$). Thật vậy $O\in MO$, và $MO\subset (MCD)$, nên $O\in (MCD)$; đường thẳng $OD$ có hai điểm $O,D$ thuộc $(MCD)$ nên $OD\subset (MCD)$, suy ra $E\in (MCD)$. Vậy $E$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng.
- Gọi $F=MD\cap AE$. Vì $MD\subset (MCD)$ và $AE\subset (ABC)$, điểm $F$ (nếu tồn tại, tức $MD$ cắt $AE$) thuộc cả hai mặt phẳng. Thực tế trong mặt phẳng $(ADE)$: $M\in AO$ với $O$ trong tam giác $BDE$... nói chung $MD$ và $AE$ cắt nhau tại $F$ (khi $M$ không trùng $A$ và các vị trí đặc biệt).
- Vậy giao tuyến là đường thẳng $EF$ (đi qua điểm chung $C$? Lưu ý: giao tuyến phải đi qua $C$ và $E$? Không — $C$ và $E$ đều thuộc cả hai mặt phẳng, nên giao tuyến là đường thẳng $CE$! Tuy nhiên đáp án của đề cho $EF$; thực tế khi $F=MD\cap AE$, ba điểm $C,E,F$ thẳng hàng (định lý Menelaus trong tam giác với đường thẳng), nên $EF$ chính là đường thẳng $CE$ — giao tuyến qua $C$ và $E$). Kiểm tra: trong tam giác $ABC$... xét tam giác $AEC$ với đường thẳng $DMF$? Chuỗi thẳng hàng: $E=OD\cap BC$, $F=MD\cap AE$, và giao tuyến qua $C$: ba điểm $E,F,C$ thẳng hàng theo tính chất giao tuyến (vì giao tuyến của $(MCD)$ và $(ABC)$ là đường thẳng qua $C$ và $E$, nên $F$ phải nằm trên đó). Vậy $(MCD)\cap (ABC)=EF=CE$.

Kết luận: Gọi $E=OD\cap BC$, $F=MD\cap AE$; khi đó giao tuyến là $(MCD)\cap (ABC)=EF$ (đường thẳng đi qua $C$). Kết quả trùng với đáp án tham khảo của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N\in BC$ và $P\in BD$ nên cả $N,P$ đều thuộc mặt phẳng $(BCD)$, do đó đường thẳng $NP$ nằm trong $(BCD)$. Xét mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(BCD)$: chúng có chung hai điểm $N$ và $P$, nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng $NP$. Đường thẳng $CD$ nằm trong $(BCD)$ và cắt giao tuyến $NP$ tại một điểm $Q$ (vì $NP$ không song song với $CD$ do $P$ chia $BD$ theo tỉ số $BP=2PD$ khác vị trí trung điểm). Khi đó $Q=CD\cap NP\in (MNP)$, tức $Q$ là giao điểm của $CD$ với mặt phẳng $(MNP)$. Vậy giao điểm của $CD$ và $(MNP)$ là giao điểm của $CD$ và $NP$. Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trong tam giác $SAB$ nên đường thẳng $SM$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $E$ (do $S$ và $M$ thuộc mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng $SM$ nằm trong $(SAB)$ và cắt $AB$). Khi đó $E\in SM\subset (SMN)$ và $E\in AB\subset (ABC)$, tức $E$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SMN)$ và $(ABC)$. Ngoài ra $N\in BC\subset (ABC)$ và $N\in (SMN)$ cũng là điểm chung. Vậy giao tuyến của $(SMN)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $NE$ với $E=SM\cap AB$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $S$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$; $O=AC\cap BD$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là $SO$ → Đúng.
b) $M,N$ là trung điểm $SB,SD$ nên $MN\parallel BD$, với $MN\subset (SBD)$. Trong mặt phẳng $(SBD)$, $SO$ cắt $BD$ tại $O$ nên $SO$ cắt $MN$ tại một điểm $E$ (vì $MN\parallel BD$ và $SO$ không song song $BD$). Khi đó $E\in MN\subset (MNP)$ và $E\in SO$, nên $E=SO\cap (MNP)$ → Đúng.
c) $P\in SC\subset (SAC)$ và $P\in (MNP)$; $E\in SO\subset (SAC)$ và $E\in (MNP)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(MNP)$ là $PE$, không phải $PA$ → Sai.
d) $PE\subset (MNP)$ và $PE\subset (SAC)$ (vì $P,E$ đều thuộc $(SAC)$). Trong mặt phẳng $(SAC)$, $PE$ cắt $SA$ tại $Q$ (do $P$ không là trung điểm $SC$ nên $PE$ không song song $SA$). Vậy $Q=SA\cap (MNP)$ là giao điểm của $PE$ và $SA$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S$ và $O=AC\cap BD$ cùng thuộc $(SAC)$ và $(SBD)$ nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ nên $MN\parallel BD$, $MN\subset (SBD)$. Trong $(SBD)$, $SO$ cắt $MN$ tại $E$; vì $E\in MN\subset (MNP)$ và $E\in SO$ nên $E=SO\cap (MNP)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P$ và $E$ cùng thuộc cả $(SAC)$ và $(MNP)$ nên giao tuyến là $PE$, không phải $PA$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$PE\subset (MNP)\cap (SAC)$; trong $(SAC)$, $PE$ cắt $SA$ tại $Q$ (vì $P$ không là trung điểm $SC$ nên $PE$ không song song $SA$). Vậy $Q=SA\cap (MNP)$ là giao điểm của $PE$ và $SA$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F=MN\cap DB$ nên $F\in (OMN)$ (vì $M,N\in (OMN)$ nên đường thẳng $MN\subset (OMN)$). Xét hai mặt phẳng: $(OMN)$ và $(BCD)$. Ta có $O\in (BCD)$ (do $O$ thuộc tam giác $BCD$) và $F\in DB\subset (BCD)$, đồng thời $O,F\in (OMN)$, suy ra $OF$ chính là giao tuyến của $(OMN)$ và $(BCD)$. Đường thẳng $BC$ nằm trong $(BCD)$, nên giao điểm của $BC$ với $(OMN)$ chính là giao điểm của $BC$ với giao tuyến $OF$: $BC\cap (OMN)=BC\cap OF$. Kết quả trùng với đáp án tham khảo của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cắt nhau luôn xác định duy nhất một mặt phẳng (tiên đề), nên A đúng. B sai vì ba điểm phân biệt phải không thẳng hàng mới xác định một mặt phẳng. C sai vì điểm phải không nằm trên đường thẳng. D sai vì hai đường thẳng chéo nhau không cùng thuộc một mặt phẳng nào. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d\subset (P)$ nên nếu $M\in d$ thì $M\in (P)$: mệnh đề (I) đúng. Mệnh đề (II) sai vì một điểm thuộc $(P)$ chưa chắc thuộc $d$ (mặt phẳng $(P)$ chứa vô số điểm không nằm trên $d$). Mệnh đề (III) sai vì nó là đảo của (I); thực tế $M\notin d$ vẫn có thể $M\in (P)$ (lấy $M$ bất kỳ trong $(P)$ ngoài $d$), khi đó tiền đề đúng nhưng kết luận sai. Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng, chọn đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 12: A).