Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 bạn nam làm tổ trưởng: 5 cách. Chọn 1 bạn nữ làm tổ phó: 6 cách. Thư ký chọn từ 9 học sinh còn lại (đã loại tổ trưởng và tổ phó): 9 cách. Theo quy tắc nhân: $5\times 6\times 9=270$ cách. Khớp với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Một vectơ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối, hai điểm phải khác nhau (để vectơ khác vectơ không). Chọn điểm đầu: 15 cách; chọn điểm cuối khác điểm đầu: 14 cách. Vậy số vectơ là $A_{15}^2=15\cdot 14=210$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 528, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm 3 bạn có cả nam và nữ gồm hai trường hợp:
- 1 nam và 2 nữ: $C_5^1\cdot C_8^2=5\cdot 28=140$ cách.
- 2 nam và 1 nữ: $C_5^2\cdot C_8^1=10\cdot 8=80$ cách.
Tổng: $140+80=220$ cách.
Kiểm tra bằng phần bù: tổng cách chọn 3 bạn từ 13 bạn là $C_{13}^3=286$; trừ nhóm toàn nam $C_5^3=10$ và nhóm toàn nữ $C_8^3=56$, ta được $286-10-56=220$ cách, khớp với đáp án nguồn (mã đề 528, Phần III Câu 1 = 220).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng tin gồm 4 ô xếp liền nhau theo hàng ngang (ô 1, 2, 3, 4), hai ô liền kề phải khác màu, có 6 màu sơn.
- Ô 1: có 6 cách chọn màu.
- Ô 2: phải khác màu ô 1, nên có 5 cách.
- Ô 3: phải khác màu ô 2, nên có 5 cách.
- Ô 4: phải khác màu ô 3, nên có 5 cách.
Vậy tổng số cách sơn là $6\cdot 5\cdot 5\cdot 5=750$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 528, câu 3: 750).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn nhóm 3 bạn từ 11 người có cả nam và nữ. Tổng số cách chọn 3 từ 11 người là $C_{11}^3=165$. Số cách chọn cả 3 nam: $C_6^3=20$; số cách chọn cả 3 nữ: $C_5^3=10$. Vậy số cách chọn nhóm có cả nam và nữ là $165-20-10=135$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (135).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng tin gồm 4 ô xếp liên tiếp theo hàng ngang (ô 1, 2, 3, 4), mỗi ô liền kề phải khác màu, có 5 màu.
- Ô 1: 5 cách chọn màu.
- Ô 2: phải khác ô 1 nên có 4 cách.
- Ô 3: phải khác ô 2 nên có 4 cách.
- Ô 4: phải khác ô 3 nên có 4 cách.
Vậy tổng số cách sơn là $5\cdot 4\cdot 4\cdot 4=320$ cách, khớp với đáp án nguồn (mã đề 391, câu 18: 320).

(AI giải đề cho tôi)
Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai điểm phân biệt trong 12 điểm đã cho. Chọn điểm đầu có 12 cách, sau đó chọn điểm cuối khác điểm đầu có 11 cách. Vậy số vectơ là $12\cdot 11=132$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 391, Câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Các chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9 (5 chữ số). Số tự nhiên hai chữ số khác nhau, đều lẻ: chọn và sắp xếp 2 trong 5 chữ số theo thứ tự, tức là $A_5^2=5\cdot 4=20$ số. Điều này khớp với đáp án nguồn (mã đề 0003, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Một vectơ khác $\vec{0}$ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai điểm phân biệt trong 26 điểm đã cho, và thứ tự có ý nghĩa (điểm đầu khác điểm cuối). Do đó số vectơ là số chỉnh hợp $A_{26}^2=26\cdot 25=650$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (TLN câu 2, mã đề 0003: 650).

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi vectơ khác $\vec{0}$ được xác định bởi một cặp điểm (điểm đầu, điểm cuối) phân biệt, với điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 18 điểm đã cho. Số cách chọn điểm đầu là 18 cách, sau đó chọn điểm cuối khác điểm đầu là 17 cách. Vậy tổng số vectơ là $18\times 17=306$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (306).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 học sinh từ 15 học sinh, không xét thứ tự, nên số cách chọn là tổ hợp chập 5 của 15: $C_{15}^5=\frac{15!}{5!10!}=3003$ cách. Vậy đáp án B, khớp với đáp án của đề (mã đề 102, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gộp An và Bình thành một khối, cùng 4 bạn còn lại thành 5 đối tượng xếp thành hàng: $5!=120$ cách. Trong khối, An và Bình đổi chỗ cho nhau được $2!=2$ cách. Vậy tổng số cách là $5!\cdot 2!=120\cdot 2=240$... Tuy nhiên đáp án của đề (mã đề 102, Phần III Câu 3) là 48. Kiểm tra lại: nếu đề yêu cầu An và Bình đứng cạnh nhau thì kết quả chuẩn là $2\cdot 5!=240$, không phải 48. Số 48 tương ứng $2\cdot 4!=48$, tức chỉ tính 4 bạn còn lại xếp hàng (không tính đúng mô hình 6 người). Vì đáp án nguồn (48) mâu thuẫn với kết quả giải đúng theo lý thuyết tổ hợp (240), nhưng theo quy định không được ghi đè đáp án nguồn, ta ghi nhận đáp án nguồn là 48 và báo cáo mâu thuẫn này.

HD chấm (1,0 điểm): Chọn 1 thủ môn có: 3 cách (0,25 điểm). Chọn 2 hậu vệ có: $C_7^2$ cách (0,25 điểm). Chọn 4 tiền vệ có: $C_8^4$ cách. Chọn 4 tiền đạo có $C_5^4$ cách (0,25 điểm). Vậy có tất cả: $3.C_7^2.C_8^4.C_5^4=22.050$ cách (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 học sinh từ 15 học sinh, không kể thứ tự, nên số cách chọn là tổ hợp chập 4 của 15: $C_{15}^4=\frac{15!}{4!11!}=1365$ cách. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gộp An và Bình thành một khối, cùng 5 bạn còn lại thành 6 đối tượng xếp hàng: $6!=720$. Trong khối, An và Bình đổi chỗ cho nhau: $2!=2$ cách. Tổng: $6!\cdot 2!=720\cdot 2=1440$... Tuy nhiên đáp án nguồn là 240, tương ứng $5!\cdot 2=240$ (xếp 5 bạn còn lại rồi chèn khối vào 6 vị trí: $5!\cdot 2\cdot 6=1440$, không khớp). Kiểm tra lại: cách đúng chuẩn là $6!\cdot 2=1440$, nhưng đáp án nguồn ghi 240. Vì đề yêu cầu không ghi đè đáp án nguồn khi xung đột, trả về solved=false.

HD chấm (1,0 điểm): Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 là $\overline{abcd}$ (0,25 điểm). TH1: $d=0$. Có $\mathrm{1.6.5.4}=120$ số (0,25 điểm). TH2: $d=5$. Có $\mathrm{1.5.5.4}=100$ số (0,25 điểm). Có tất cả $120+100=220$ (số) (0,25 điểm).

HD chấm (1,0 điểm): Chọn 1 thủ môn có: 3 cách (0,25 điểm). Chọn 2 hậu vệ có: $C_8^2$ cách (0,25 điểm). Chọn 4 tiền vệ có: $C_7^4$ cách. Chọn 4 tiền đạo có $C_5^4$ cách (0,25 điểm). Vậy có tất cả: $3.C_8^3.C_7^4.C_5^4=14.700$ cách (0,25 điểm).

a) Sai: số có 3 chữ số phải có chữ số hàng trăm khác 0, nên chỉ có $5\cdot 6\cdot 6=180$ số. b) Sai: số có 3 chữ số khác nhau từ $B$ là $5\cdot 5\cdot 4=100$ số. c) Sai: số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là $20+16=36$ số. d) Đúng: số tự nhiên lẻ có 3 chữ số từ $B$ là $5\cdot 6\cdot 3=90$ số. (Đáp án theo bảng đáp án chính thức, mã đề 1002: SSSD.)
a) Số có 3 chữ số phải có chữ số hàng trăm khác 0, nên có $5\cdot 6\cdot 6=180$ số, không phải 216. Khẳng định Sai.
b) Số có 3 chữ số khác nhau từ $B$: hàng trăm có 5 cách (khác 0), hàng chục có 5 cách, hàng đơn vị có 4 cách, tức $5\cdot 5\cdot 4=100$ số, không phải 180. Khẳng định Sai.
c) Chữ số cuối là 0: $5\cdot 4=20$ số; chữ số cuối là 5: hàng trăm khác 0 và khác 5 nên có 4 cách, hàng chục có 4 cách, tức 16 số; tổng cộng $20+16=36$ số, không phải 60. Khẳng định Sai.
d) Chữ số lẻ ở hàng đơn vị có 3 cách (1; 3; 5), hàng trăm có 5 cách (khác 0), hàng chục có 6 cách, tức $5\cdot 6\cdot 3=90$ số. Khẳng định Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trường hợp 1: đúng 2 bi trắng và 1 bi đen: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=15\cdot 4=60$ cách. Trường hợp 2: đúng 3 bi trắng: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ cách. Tổng: $60+20=80$ cách, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 4 = 80).

(AI giải đề cho tôi)
Tập $A=\{1;2;3;4\}$ có 4 chữ số. a) Số chẵn có 2 chữ số khác nhau: chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 4 (2 cách), chữ số hàng chục chọn từ 3 chữ số còn lại → $2\times 3=6$ số, không phải 8 → Sai. b) Số có 2 chữ số (cho phép trùng): $4\times 4=16$ số → Đúng. c) Số lẻ có 2 chữ số: hàng đơn vị là 1 hoặc 3 (2 cách), hàng chục có 4 cách → $2\times 4=8$ số → Đúng. d) Số có 2 chữ số khác nhau: $4\times 3=12$ số, không phải 16 → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức SDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có 2 chữ số khác nhau: hàng đơn vị là 2 hoặc 4 (2 cách), hàng chục chọn từ 3 chữ số còn lại → 2×3=6 số, không phải 8.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số có 2 chữ số (cho phép trùng): 4×4=16 số.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số lẻ có 2 chữ số: hàng đơn vị là 1 hoặc 3 (2 cách), hàng chục có 4 cách → 2×4=8 số.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số có 2 chữ số khác nhau: 4×3=12 số, không phải 16.