Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đáy ABC là tam giác đều cạnh a nên $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Cạnh bên $A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}$ và lăng trụ đứng nên chiều cao $h=a\sqrt{3}$. Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{3a^3}{4}$.

b) Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, do đó $A{A}^{\prime }\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Khoảng cách từ $A{A}^{\prime }$ đến $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, cũng bằng khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$ (vì $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (ABC)$ theo giao tuyến $BC$). Kẻ $AH\perp BC$ với $H$ là trung điểm $BC$, thì $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy $d(A{A}^{\prime },(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }))=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 4, đường chéo lăng trụ AC' = 9.

a) Trong hình vuông ABCD: $AC=4\sqrt{2}$, nên $A{C}^2=32$. Vì lăng trụ đứng nên $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$, tam giác ACC' vuông tại C: $C{C}^{\prime 2}=A{C}^{\prime 2}-A{C}^2=81-32=49\Rightarrow C{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }=7$.

Thể tích: $V=S_{ABCD}\cdot A{A}^{\prime }=4^2\cdot 7=112$ (đơn vị khối).

b) Vì $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }\subset (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$, mà $A{A}^{\prime }\not\subset (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$, nên $d(A{A}^{\prime },BD)=d(A,(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }))=d(A,BD)$ (do $(ABCD)\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$).

Khoảng cách từ A đến đường chéo BD của hình vuông cạnh 4:
$$d(A,BD)=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{4\cdot 4}{4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$$

Vậy $d(A{A}^{\prime },BD)=2\sqrt{2}$ (đơn vị độ dài).

(AI giải đề cho tôi)
Đáy ABC vuông cân tại A, $BC=4\sqrt{2}$ nên $AB=AC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=4$. Diện tích đáy $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$. Thể tích $V=S\cdot A{A}^{\prime }=8\cdot A{A}^{\prime }=32$ nên $A{A}^{\prime }=8$. Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $d(A{A}^{\prime },BC)=d(A,BC)$. Gọi H là trung điểm BC, tam giác vuông cân tại A nên $AH\perp BC$ và $AH=\frac{BC}{2}=2\sqrt{2}$. Vậy $d(A{A}^{\prime },BC)=AH=2\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_1=\frac{55,3}{2}=27,65$ (m) là bán kính đường tròn nội tiếp đáy dưới, $a_2$ là bán kính tương ứng của đáy trên. Góc nhị diện giữa mặt bên và mặt đáy có tan $\alpha =\frac{h}{a_1-a_2}$, nên $a_1-a_2=\frac{24}{\tan \alpha }=24\cdot \frac{211}{320}=15,825$, suy ra $a_2=27,65-15,825=11,825$ m, tức cạnh đáy trên là $2a_2=23,65$ m.

Diện tích hai đáy: $S_1=55,3^2=3058,09$ m², $S_2=23,65^2=559,3225$ m², và $\sqrt{S_1{S}_2}=55,3\cdot 23,65=1307,845$ m².

Thể tích khối chóp cụt: $V=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)=\frac{24}{3}\left(3058,09+559,3225+1307,845\right)=8\cdot 4925,2575=39402,06$ m³.

Vậy thể tích phần thân ngôi đền xấp xỉ $39402,06$ m³.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích phần hình hộp chữ nhật: $V_1=5\cdot 5\cdot 12=300{\text{m}}^3$.

Phần hình chóp đều đáy là hình vuông cạnh $a=5$ m, cạnh bên $l=8$ m. Đường chéo đáy bằng $a\sqrt{2}=5\sqrt{2}$, nên nửa đường chéo là $\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Chiều cao hình chóp: $h=\sqrt{l^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{64-\frac{25}{2}}=\sqrt{\frac{103}{2}}\approx 7,184$ m.

Thể tích hình chóp: $V_2=\frac{1}{3}\cdot 5^2\cdot \sqrt{\frac{103}{2}}\approx \frac{25\cdot 7,184}{3}\approx 59,87{\text{m}}^3$.

Thể tích cả tháp: $V=V_1+V_2\approx 300+59,87=359,87\approx 360{\text{m}}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=250$ m và cạnh bên cũng bằng $250$ m. Nửa đường chéo đáy là $\frac{a\sqrt{2}}{2}=125\sqrt{2}$ m. Chiều cao: $h=\sqrt{250^2-(125\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{62500-31250}=\sqrt{31250}=125\sqrt{2}\approx 176,7767$ m. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot 250^2\cdot 125\sqrt{2}=\frac{7812500\sqrt{2}}{3}\approx 3682842,7m^3$. Suy ra $x=\frac{V}{10^3}\approx 3682,84\approx 3683$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a=34 m, cạnh bên l=32 m.
a) Đúng: hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông và các mặt bên là tam giác cân bằng nhau.
b) Sai: chiều cao là đoạn nối đỉnh với tâm đáy (giao hai đường chéo), không phải trung điểm cạnh đáy. Đoạn nối đỉnh với trung điểm cạnh đáy là đường cao của mặt bên (đường trung bình/mặt phẳng tam giác), không phải chiều cao khối chóp.
c) Sai: đoạn nối tâm đáy O đến trung điểm M cạnh đáy có độ dài OM = 17 m và OM ⊥ AB, nhưng OM không vuông góc với mặt bên (SAB). Khoảng cách từ O đến (SAB) là đoạn vuông góc từ O xuống đường trung đoạn SM trong mặt phẳng (SOM), với SM = √(32² − 17²) = √755 ≈ 27,48 m, cho d(O,(SAB)) = h·OM/SM ≈ 13,06 m ≠ 17 m.
d) Đúng: nửa đường chéo đáy = 17√2, nên h = √(32² − (17√2)²) = √(1024 − 578) = √446 ≈ 21,118 m. Thể tích V = (1/3)·34²·√446 = (1156√446)/3 ≈ 8137,5 ≈ 8138 m³.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chiều cao của hình chóp là đoạn nối từ đỉnh đến tâm đáy (giao hai đường chéo), không phải đến trung điểm cạnh đáy. Đoạn nối đỉnh với trung điểm cạnh đáy là đường cao của mặt bên (đường trung đoạn), không phải chiều cao khối chóp.
c) (AI giải đề cho tôi)
Gọi O là tâm đáy, M là trung điểm cạnh AB. OM = 17 m và OM ⊥ AB nhưng OM không vuông góc với mặt bên (SAB). Khoảng cách từ O đến (SAB) là đoạn vuông góc từ O xuống SM trong mặt phẳng (SOM), với SM = √(32² − 17²) = √755 ≈ 27,48 m, nên d(O,(SAB)) = h·OM/SM ≈ 13,06 m ≠ 17 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nửa đường chéo đáy bằng 17√2, chiều cao h = √(32² − (17√2)²) = √446 ≈ 21,118 m. V = (1/3)·34²·√446 ≈ 8137,5 ≈ 8138 m³.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ABCD.A'B'C'D' là hình chóp cụt tứ giác đều với cạnh đáy lớn $a=40cm$, cạnh đáy nhỏ $b=20cm$, cạnh bên $l=45cm$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp (nửa đường chéo) hai đáy:
$$r=\frac{a\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2},r^{\prime }=\frac{b\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}.$$

Chiếu cạnh bên lên mặt đáy, hình chiếu bằng hiệu hai bán kính: $d=r-r^{\prime }=10\sqrt{2}$. Chiều cao chóp cụt:
$$h=\sqrt{l^2-d^2}=\sqrt{45^2-(10\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{2025-200}=\sqrt{1825}=5\sqrt{73}\approx 42,7200cm.$$

Diện tích hai đáy: $S_1=40^2=1600$, $S_2=20^2=400$.

Thể tích chóp cụt:
$$V=\frac{h}{3}\left(S_1+\sqrt{S_1{S}_2}+S_2\right)=\frac{5\sqrt{73}}{3}(1600+800+400)=\frac{14000\sqrt{73}}{3}\approx 39872,017c{m}^3.$$

Vậy thể tích chậu làm tròn đến hàng đơn vị là $\boxed{39872c{m}^3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là hình thoi cạnh 2, góc $ABC=120^{\circ }$ nên góc $A=60^{\circ }$. Diagonal $BD=2\cdot 2\sin 30^{\circ }=2$, tam giác $ABD$ có ba cạnh $AB=AD=BD=2$ nên đều. Vì $A^{\prime }$ cách đều $A,B,D$ nên hình chiếu $H$ của $A^{\prime }$ lên đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$, do đó $AH=\frac{2}{\sqrt{3}}$. Góc giữa $A{A}^{\prime }$ và đáy bằng $60^{\circ }$ nên $\cos 60^{\circ }=\frac{AH}{A{A}^{\prime }}\Rightarrow A{A}^{\prime }=\frac{4}{\sqrt{3}}$, chiều cao $h=A{A}^{\prime }\sin 60^{\circ }=2$. Diện tích đáy $S=2^2\sin 60^{\circ }=2\sqrt{3}$. Thể tích $V=S\cdot h=2\sqrt{3}\cdot 2=4\sqrt{3}\approx 6,93$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SH\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SC$ và mặt đáy là $\angle SCH=30^{\circ }$.

Gọi $HD=x$ thì $HA=3x$, $AD=4x$. Tam giác $SAD$ vuông tại $S$ với đường cao $SH$ nên:
- $S{A}^2=HA\cdot AD=3x\cdot 4x=12x^2$. Mà $SA=2a\sqrt{3}$ nên $12x^2=12a^2\Rightarrow x=a$.
- $S{H}^2=HA\cdot HD=3a^2\Rightarrow SH=a\sqrt{3}$.

Trong tam giác vuông $SHC$ (vuông tại $H$): $\tan 30^{\circ }=\frac{SH}{HC}\Rightarrow HC=\frac{a\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}}=3a$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $DC\perp AD$, do đó $H{C}^2=H{D}^2+D{C}^2\Rightarrow D{C}^2=9a^2-a^2=8a^2\Rightarrow DC=2a\sqrt{2}$.

Thể tích khối chóp:
$$V=\frac{1}{3}\cdot SH\cdot AD\cdot DC=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{3}\cdot 4a\cdot 2a\sqrt{2}=\frac{8a^3\sqrt{6}}{3}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ và $(SAD)\perp (ABCD)$ nên giao tuyến $SA\perp (ABCD)$, tức $SA$ là chiều cao hình chóp. Góc giữa $SC$ và mặt đáy là góc $\widehat{SCA}=30^{\circ }$, với $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông). Suy ra $SA=AC\tan 30^{\circ }=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a^3\sqrt{6}}{9}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $AD$. Vì $SAD$ đều cạnh $2a$ nên $SH\perp AD$ và $SH=\sqrt{(2a{)}^2-a^2}=a\sqrt{3}$. Vì $(SAD)\perp (ABCD)$ với giao tuyến $AD$ và $SH\subset (SAD)$, $SH\perp AD$ nên $SH\perp (ABCD)$, tức $SH=a\sqrt{3}$ là chiều cao khối chóp.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\parallel AD$, do đó $BC\parallel (SAD)$ và đường thẳng giao của $(SBC)$ với $(ABCD)$ là đường thẳng $d$ qua $B$ song song $AD$ (tức song song $BC$). Góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SH$ và hình chiếu của $S$ lên $d$. Khoảng cách từ $H$ đến $d$ bằng $AB$ (vì $H$ nằm trên $AD$, $d$ qua $B$ song song $AD$).

Trong mặt phẳng vuông góc với $d$ chứa $S,H$: góc giữa $(SBC)$ và đáy thỏa $\tan 45^{\circ }=\frac{SH}{AB}$, suy ra $AB=SH=a\sqrt{3}$.

Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot (AD\cdot AB)\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 2a\cdot a\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot 6a^3=2a^3$.

Vậy $V_{S.ABCD}=2a^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy $ABCD$ của khối chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $a$. Vì là chóp đều nên $SO\perp (ABCD)$, góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy là góc $\angle SAO=45^{\circ }$.

a) Đường chéo $AC=a\sqrt{2}$, nên $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Trong tam giác vuông $SOA$ vuông tại $O$:
$$SO=AO\cdot \tan 45^{\circ }=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$
Thể tích:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}.$$

b) Gọi $E$ là trung điểm $BC$. Tam giác $SOE$ vuông tại $O$ với $SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $OE=\frac{a}{2}$, nên $SE=\sqrt{S{O}^2+O{E}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì $BC\perp OE$ và $BC\perp SO$ nên $BC\perp (SOE)$, do đó $(SBC)\perp (SOE)$ theo giao tuyến $SE$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt bên $(SBC)$ là đường cao $OH$ của tam giác vuông $SOE$ hạ từ $O$ xuống $SE$:
$$d(O,(SBC))=OH=\frac{SO\cdot OE}{SE}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$$

Kết luận: $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$ và $d=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích tứ diện đều cạnh $a=10$ là $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=\frac{1000\sqrt{2}}{12}=\frac{250\sqrt{2}}{3}$ cm³. Vì $\frac{SE}{SA}=\frac{SF}{SB}=\frac{SP}{SC}=\frac{2}{3}$ nên tam giác $EFP$ đồng dạng với $ABC$ theo tỉ số $\frac{2}{3}$, và $V_{S.EFP}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3{V}_{S.ABC}=\frac{8}{27}V$. Do đó thể tích chóp cụt $ABC.EFP$ là $V=\left(1-\frac{8}{27}\right)\cdot \frac{250\sqrt{2}}{3}=\frac{19}{27}\cdot \frac{250\sqrt{2}}{3}=\frac{4750\sqrt{2}}{81}\approx 82.9$ cm³.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ lục giác đều cạnh đáy $a=8$ cm. Diện tích xung quanh: $6\cdot a\cdot h=48h=1536\Rightarrow h=32$ cm. Diện tích đáy (lục giác đều): $S_{đ\acute{a}y}=\frac{6a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6\cdot 64\sqrt{3}}{4}=96\sqrt{3}$ cm². Thể tích: $V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=96\sqrt{3}\cdot 32=3072\sqrt{3}\approx 5321,4$ cm³, làm tròn đến hàng đơn vị: $5321$ cm³.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình thoi $ABCD$ là $a$, với $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ thì tam giác $ABC$ đều nên $AC=a$, và $BD=a\sqrt{3}$. Diện tích đáy $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Vì $AB\parallel CD$ nên khoảng cách từ $A$ đến $CD$ là $d=a\sin 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Góc giữa $(SCD)$ và đáy là góc giữa $SC$ và hình chiếu, có $\tan 60^{\circ }=\frac{SA}{d}=\frac{3\sqrt{3}}{a\sqrt{3}/2}=\frac{6}{a}$, suy ra $a=2\sqrt{3}$. Khi đó $S_{ABCD}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Lăng trụ ABC.A'B'C' đáy tam giác đều cạnh a, H là trung điểm AB, A'H ⊥ (ABC), A'H = a.

a) Tam giác ABC đều nên đường trung tuyến CH ⊥ AB. Vì A'H ⊥ (ABC) nên A'H ⊥ AB. Từ đó AB ⊥ CH và AB ⊥ A'H ⇒ AB ⊥ (A'HC). Mà AB nằm trong (ABB'A') nên (A'HC) ⊥ (ABB'A') (đpcm).

b) Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, chiều cao $A^{\prime }H=a$.
$$V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }H=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$$

c) Vì AA' ∥ BB' nên d(AA', BC) = d(BB', BC) = d(B, (AA'C)) (do BB' ∥ AA' và B ∈ BC, mặt phẳng (AA'C) chứa C).

Tọa hóa: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a/2, a√3/2, 0), A'(a/2, 0, a).
$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(a/2,0,a)$, $\overrightarrow{AC}=(a/2,a\sqrt{3}/2,0)$, vectơ pháp tuyến của (AA'C): $\vec{n}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\times \overrightarrow{AC}=\left(-\frac{a^2\sqrt{3}}{2},\frac{a^2}{2},\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)$.

$$d(B,(A{A}^{\prime }C))=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}|}{|\vec{n}|}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a^2\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{3}{16}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{11}}{4}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{11}}=\frac{2\sqrt{33}}{11}.$$

Vậy $d(A{A}^{\prime },BC)=\frac{2\sqrt{33}}{11}a\approx 1,044a$ (kiểm tra lại: $\frac{2\sqrt{33}}{11}=\frac{2\cdot 5,7446}{11}\approx 1,044$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Vì lăng trụ tam giác đều nên $AH\perp BC$, $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ suy ra $A^{\prime }H\perp BC$, do đó góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }HA}=30^{\circ }$. Đặt $BC=a$, thì $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $h=A{A}^{\prime }=AH\tan 30^{\circ }=\frac{a}{2}$, và $A^{\prime }H=\frac{AH}{\cos 30^{\circ }}=a$. Diện tích tam giác $A^{\prime }BC=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot A^{\prime }H=\frac{a^2}{2}=18\Rightarrow a=6$. Suy ra $h=3$, $S_{ABC}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$, $V_{A^{\prime }.ABC}=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 3=9\sqrt{3}$, $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=9\sqrt{3}\cdot 3=27\sqrt{3}$. a) Sai vì $h=3\ne 3\sqrt{3}$. b) Đúng. c) Sai vì $V=9\sqrt{3}$. d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=BC=6$: $AH=3\sqrt{3}$, $h=AH\tan 30^{\circ }=3\ne 3\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V_{A^{\prime }.ABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 3=9\sqrt{3}\ne 3\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=S_{ABC}\cdot h=9\sqrt{3}\cdot 3=27\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C=a$ nên $A^{\prime }$ nằm trên đường thẳng qua tâm $O$ vuông góc với $(ABC)$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ là $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$, suy ra chiều cao lăng trụ $h=A^{\prime }O=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

a) Đúng. Tam giác $ABC$ đều nên $AH\perp BC$; tam giác $A^{\prime }BC$ cân tại $A^{\prime }$ nên $A^{\prime }H\perp BC$. Do đó $BC\perp (A^{\prime }AH)$. Mà $BC\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $(A^{\prime }AH)\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, góc giữa hai mặt phẳng bằng $90^{\circ }$.

b) Sai. $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, nên $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}\ne \frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.

c) Đúng. $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ nên $d(B{B}^{\prime },(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))=d(B,(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))=d(B,AC)$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$). Trong tam giác đều $ABC$, khoảng cách từ $B$ đến $AC$ là đường cao $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

d) Sai. Nhị diện $[A^{\prime },BC,A]$ có cạnh $BC$; vì $A^{\prime }H\perp BC$, $AH\perp BC$ nên góc nhị diện là $\widehat{A^{\prime }HA}$. Ta có $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $A^{\prime }H=\sqrt{h^2+A{O}^2}$ với $AO=\frac{a}{\sqrt{3}}$: $A^{\prime }H=\sqrt{\frac{2a^2}{3}+\frac{a^2}{3}}=a$. Suy ra $\tan \alpha =\frac{A^{\prime }O}{AH}=\frac{a\sqrt{6}/3}{a\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\ne 2\sqrt{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AH\perp BC$ và $A^{\prime }H\perp BC$ nên $BC\perp (A^{\prime }AH)$, do đó $(A^{\prime }AH)\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(B{B}^{\prime },(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))=d(B,AC)=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{A^{\prime }O}{AH}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\ne 2\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích một viên đá (chóp cụt tứ giác đều): $V=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)$ với $S_1=3^2=9{\text{cm}}^2$, $S_2=1,5^2=2,25{\text{cm}}^2$, $h=3$ cm. $\sqrt{S_1{S}_2}=\sqrt{20,25}=4,5$. Vậy $V=\frac{3}{3}(9+2,25+4,5)=15,75{\text{cm}}^3$. Mỗi khay chứa 6 viên: $6\times 15,75=94,5{\text{cm}}^3$. Cần chứa $2$ lít $=2000{\text{cm}}^3$, số khay tối thiểu $\frac{2000}{94,5}\approx 21,16$, làm tròn lên là $22$ khay.