Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân (Toán học Lớp 12)

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=2$ quanh trục hoành là

Câu 10. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ khi xoay quanh trục $Ox$ được xác định bởi công thức nào sau đây?

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y=3x-x^2$ và trục hoành. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho $(H)$ quay quanh trục hoành bằng

Một thùng làm kem có dạng hình tròn xoay, có mặt cắt qua trục là dạng parabol như hình vẽ. Biết phương trình đường biên parabol có dạng $f(x)=a{x}^2$. Hỏi dung tích của thùng bằng bao nhiêu lít? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Câu 1. Một nghệ nhân tại làng nghề đúc đồng, nhận chế tác các mẫu đôn trang trí cao cấp bằng đồng. Mỗi chiếc đôn có dạng khối tròn xoay đặc, cao $40\text{ cm}$, với thiết kế mềm mại và cân đối quanh một trục thẳng đứng. Khi cắt chiếc đôn bởi một mặt phẳng bất kỳ đi qua trục đối xứng, ta thu được một thiết diện giới hạn bởi hai đường parabol đối xứng nhau qua trục này. Theo yêu cầu thiết kế: Mặt trên và mặt đáy của đôn đều là hình tròn có đường kính $30\text{ cm}$; phần thân được bo thon đều về phía trung tâm, tại đó đường kính nhỏ nhất là $24\text{ cm}$. Biết khối lượng riêng của đồng là $8960{\text{ kg/m}}^3$, giá đồng là $220$ nghìn đồng/kg và chi phí gia công cho mỗi sản phẩm là $10$ triệu đồng (lượng đồng hao hụt trong quá trình gia công được xem là không đáng kể). Tổng chi phí để hoàn thiện một chiếc đôn theo thiết kế trên là bao nhiêu triệu đồng (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y=e^x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành là

Người ta thiết kế của một thùng rượu có bán kính các đáy là $0,3\text{m}$, chiều cao là $1\text{m}$ bằng cách quay quanh trục hoành một miền phẳng $(H)$ là phần gạch sọc như hình bên dưới, trong đó $SO=0,4\text{m}$. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol. Thể tích của thùng rượu (đơn vị: ${\text{dm}}^3$) là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 8: Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường thẳng $y=x^3+x+2$, $y=0$, $x=0$, $x=2$. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Một người thiết kế một cái loa phóng thanh bằng nhựa có hình dạng khối tròn xoay như *Hình 1* bên dưới, có mặt cắt bởi mặt phẳng qua trục của loa như *Hình 2* và có bảng vẽ kỹ thuật trên hệ trục $Oxy$ như *Hình 3* (đơn vị trên các trục bằng $1\text{ cm}$). Tính thể tích nhựa để đúc chiếc loa (*tính theo ${\text{cm}}^3$ và làm tròn kết quả tính toán sau cùng đến hàng đơn vị*).

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=e^x$, các đường thẳng $x=0,x=\ln 3$ và trục hoành. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi $(H)$ khi quay quanh trục hoành là

Một nghệ nhân tại làng nghề đúc đồng, nhận chế tác các mẫu đôn trang trí cao cấp bằng đồng. Mỗi chiếc đôn có dạng khối tròn xoay đặc, cao $50\text{ cm}$, với thiết kế mềm mại và cân đối quanh một trục thẳng đứng (xem hình vẽ bên dưới). Khi cắt chiếc đôn bởi một mặt cắt bất kỳ đi qua trục đối xứng, ta thu được một thiết diện giới hạn bởi hai đường parabol đối xứng nhau qua trục này. Theo yêu cầu thiết kế: Mặt trên và mặt đáy của đôn đều là hình tròn có đường kính $40\text{ cm}$; phần thân được bo thon đều về phía trung tâm, tại đó đường kính nhỏ nhất là $30\text{ cm}$. Biết khối lượng riêng của đồng là $8960{\text{ kg/m}}^3$, giá đồng là $220$ nghìn đồng cho mỗi kilôgam và chi phí gia công cho mỗi sản phẩm là $10$ triệu đồng (lượng đồng hao hụt trong quá trình gia công được xem là không đáng kể). Tổng chi phí để hoàn thiện một chiếc đôn theo thiết kế trên là bao nhiêu triệu đồng? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)

Một mô hình khối tròn xoay có trục là đường thẳng $MN$, khi ta cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng đi qua trục của khối tròn xoay thì ta được mặt cắt có dạng như hình vẽ dưới đây

Biết rằng $MN=24\text{ cm}$, $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=18\text{ cm},AD=36\text{ cm}$, hai cung $APD$ và $BQC$ là một phần của các đường parabol với đỉnh lần lượt là $P,Q$ và $PQ=10\text{ cm}$. Thể tích mô hình đó bằng bao nhiêu xentimét khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 3: Tháp giải nhiệt tại một nhà máy điện hạt nhân có hình dạng là một phần của khối tròn xoay khi cho hypebol $(H)$ quay quanh một trục đối xứng của $(H)$. Tháp có chiều cao là $120$ mét, bán kính đáy dưới bằng $40$ mét. Thiết lập hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ sao cho mặt cắt dạng hypebol của tháp nhận $Oy$ làm trục đối xứng; lấy đơn vị trên mỗi trục là mét. Gốc $O$ ở vị trí có độ cao $80$ mét so với mặt đất và đoạn giao nhau giữa trục $Ox$ với tháp bằng $30$ mét.

Một chiếc đồng hồ cát nghệ thuật bằng thủy tinh có bầu chứa phía trên và bầu chứa phía dưới bằng nhau, bên trong chứa một chất lỏng đặc biệt. Khi bầu phía trên chứa đầy chất lỏng, thể tích chất lỏng bên trong đúng bằng thể tích của một khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=9$ (các đơn vị trên hệ trục tọa độ được tính bằng centimét, trục $Ox$ trùng với trục đối xứng dọc của đồng hồ). Phần cổ hẹp làm khuyết để thông nhau giữa bầu chứa phía trên và bầu chứa phía dưới coi như không đáng kể.

Ban đầu, phần bầu chứa phía trên chứa đầy chất lỏng. Khi bắt đầu tính giờ, chất lỏng chảy qua cổ hẹp xuống bầu chứa phía dưới với tốc độ (lưu lượng thể tích) không đổi trong suốt quá trình chảy. Người ta nhận thấy toàn bộ lượng chất lỏng chảy hết xuống bầu chứa phía dưới trong đúng $27$ phút. Giả sử trong suốt quá trình chảy, bề mặt trên của chất lỏng luôn tạo thành một mặt phẳng nằm ngang.
Gọi $h\text{ (cm)}$ là chiều cao của khối chất lỏng còn lại trong bầu chứa phía trên tại thời điểm $t$ (phút) ($0\le h\le 9$, tính từ cổ hẹp hướng lên trên dọc theo trục $Ox$). Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ lúc bắt đầu chảy, chiều cao khối chất lỏng trong bầu chứa phía trên (tính từ cổ hẹp hướng lên trên dọc theo trục $Ox$) còn đúng $3\text{ cm}$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Câu 6. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)=\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$ quay quanh trục $Ox$ là

Thể tích khối tròn xoay tạo bởi khi quay quanh trục hoành của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=2x-x^2$; $y=0$; $x=0$; $x=1$ có giá trị bằng

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=4-x^2$ và $y=0$ quanh trục $Ox$ bằng

Cho hai nửa đường tròn như hình vẽ, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi đường kính của đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính $AB$ có diện tích là $8\pi$ và $\widehat{BAC}=30^{\circ }$. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng $AB$.

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=2x-x^2$, $y=0$. Quay $(H)$ quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=x^2-3x+5,y=x+2$ quay quanh trục $Ox$ là: