Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân (Toán học Lớp 12)

Nửa hình tròn lớn bán kính $R$ có diện tích $\frac{1}{2}\pi R^2=8\pi \Rightarrow R=4$, bán kính đường tròn nhỏ là $r=2$. Đặt hệ trục tọa độ gốc $A$, $AB$ trùng $Ox$, tính thể tích khối tròn xoay khi quay phần tô đậm quanh $AB$ được $\frac{220}{3}\pi$.

Phương trình hoành độ giao điểm $2x-x^2=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi {\int }_0^2(2x-x^2{)}^2\text{d}x$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-3x+5=x+2⟺x^2-4x+3=0⟺x=1$ hoặc $x=3$. Vì $x^2-3x+5>0$ và $x+2>0$ trên $[1;3]$, thể tích khối tròn xoay là: $V=\pi {\int }_1^3|(x+2{)}^2-(x^2-3x+5{)}^2|dx=\pi {\int }_1^3[(x+2{)}^2-(x^2-3x+5{)}^2]dx=\frac{48\pi }{5}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 2000, trang 8), Câu 4 (Phần I) chọn đáp án A.

Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi {\int }_1^2(e^x-x)\text{d}x=\pi {\left(e^x-\frac{x^2}{2}\right)|}_1^2=\pi \left(e^2-e-\frac{3}{2}\right)$.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 34, Mã đề 101; câu tương ứng ở các mã đề hoán vị trong cùng PDF: Mã đề 102 Câu 43 (C), Mã đề 103 Câu 42 (D), Mã đề 104 Câu 39 (C); đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Chọn C
Giải phương trình vi phân tìm được hàm số $f(x)$.
Sau đó tính tích phân thể tích khối tròn xoay $V=\pi {\int }_0^3[g(x){]}^2\mathrm{d}x=12\pi$.

Thể tích khối tròn xoay khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng $V=\pi {\int }_0^2{\left(x^2\right)}^2\text{d}x=\pi {\int }_0^2{x}^4\text{d}x=\frac{32\pi }{5}$. Chọn D.

Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành:
$x^2-x-2=0\iff [\begin{array}{rl}x& =-1\\ x& =2\end{array}$
Thể tích khối tròn xoay:
$V=\pi {\int }_{-1}^2(x^2-x-2{)}^2\mathrm{d}x=\frac{81\pi }{10}$.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 16, mã đề 333; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$x^2-3x+2=0\iff [\begin{array}{rl}x& =1\\ x& =2\end{array}$
Khi đó:
$V=\pi {\int }_1^2(x^2-3x+2{)}^2\mathrm{d}x=\frac{\pi }{30}$.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Phương trình $-x^2+3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$. Thể tích $V=\pi {\int }_0^3(-x^2+3x{)}^2\mathrm{d}x=\frac{81\pi }{10}$. Chọn D.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 21, mã đề 301; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Thể tích cát là $V=30\cdot 2,90=87{\text{ cm}}^3$. Chọn hệ trục tọa độ có gốc tại đỉnh chung của hai parabol: khi $y=4$ thì bán kính $r=\frac{8\pi }{2\pi }=4$, nên parabol có phương trình $y=\frac{1}{4}{x}^2\iff x^2=4y$. Thể tích cát ban đầu với chiều cao $h$ là $V=\pi {\int }_0^{h}4ydy=2\pi h^2=87\Rightarrow h=\sqrt{\frac{87}{2\pi }}\approx 3,72\text{ cm}$. Khi đó chiều cao khối trụ là $H=2\cdot \frac{4}{3}h\approx 9,92\text{ cm}\approx 10\text{ cm}$.

Chọn A
[x = 0
Xét phương trình x 2 - 2 x = 0 $\iff$  .
[x = 2
Ta có hình phẳng (Hình vẽ)

 x5 4 x 3  3 18$\pi$
3 3
Khi đó V = $\pi$  ( x - 2 x ) dx = $\pi$  ( x - 4 x + 4 x ) dx = $\pi$  - x +
2
 =
2 4 3 2 4

0 0  5 3 0 5

$V=\pi {\int }_0^1(x^2-2x{)}^{2}dx=\frac{8\pi }{15}$. Chọn B.

Chọn A
[x = 0
Phương trình hoành độ giao điểm x 2 = 2 x $\iff$ x 2 - 2 x = 0 $\iff$  .
[x = 2
2
4 x5  64$\pi$
2 2
V = $\pi$  ( 2 x ) - ( x )  dx = $\pi$  ( 4 x 2 - x 4 ) dx = $\pi$  x3 -  =
[ 2 2]
2
.
0
[ ] 0 3 5  0 15

Hoành độ giao điểm của $y=-\sqrt{x}$ và $y=-x+2$ là $-\sqrt{x}=-x+2\iff x-\sqrt{x}-2=0$ (với $x\ge 2$) $\iff \sqrt{x}=2\iff x=4$. Theo công thức quay miền phẳng $(H)$ (đáp án chính thức Mã đề 101 là C: $V=\frac{46\pi }{3}$).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1358, trang 5), Câu 8 (Phần I) chọn đáp án A.

Thể tích khối tròn xoay được tính bởi công thức $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$.