Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân (Toán học Lớp 12)

$V=\pi {\int }_0^1(x^2-2x{)}^{2}dx=\frac{8\pi }{15}$. Chọn B.

Chọn A
[x = 0
Phương trình hoành độ giao điểm x 2 = 2 x $\iff$ x 2 - 2 x = 0 $\iff$  .
[x = 2
2
4 x5  64$\pi$
2 2
V = $\pi$  ( 2 x ) - ( x )  dx = $\pi$  ( 4 x 2 - x 4 ) dx = $\pi$  x3 -  =
[ 2 2]
2
.
0
[ ] 0 3 5  0 15

Hoành độ giao điểm của $y=-\sqrt{x}$ và $y=-x+2$ là $-\sqrt{x}=-x+2\iff x-\sqrt{x}-2=0$ (với $x\ge 2$) $\iff \sqrt{x}=2\iff x=4$. Theo công thức quay miền phẳng $(H)$ (đáp án chính thức Mã đề 101 là C: $V=\frac{46\pi }{3}$).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1358, trang 5), Câu 8 (Phần I) chọn đáp án A.

Thể tích khối tròn xoay được tính bởi công thức $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1276, trang 5), Câu 4 (Phần I) chọn đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2=0\iff x=0$ hoặc $x=3$. Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi {\int }_0^3(x^3-3x^2{)}^{2}dx=\frac{729\pi }{35}$. Chọn D.

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là $V=\pi {\int }_{-1}^1(x^3{)}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_{-1}^1{x}^6\mathrm{d}x=\frac{2\pi }{7}$. Chọn A.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O\equiv B$ và tia $Ox\equiv BC$. Đường tròn tâm $B(0;0)$, bán kính $1$ có phương trình $x^2+y^2=1\Rightarrow y^2=1-x^2$; đường tròn tâm $A(-1;0)$, bán kính $1$ có phương trình $(x+1{)}^2+y^2=1\Rightarrow y^2=1-(x+1{)}^2$. Hoành độ giao điểm $D$ là nghiệm của $1-x^2=1-(x+1{)}^2\iff x=-\frac{1}{2}$. Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi {\int }_{-1/2}^1(1-x^2)\mathrm{d}x-\pi {\int }_{-1/2}^0(1-(x+1{)}^2)\mathrm{d}x=\frac{11\pi }{12}\approx 2,88{\text{ cm}}^3\approx 2,9{\text{ cm}}^3$. Chọn A.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Sơn La, trang 8, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Cổng chào có dạng một nửa hình xuyến (torus). Phần chân tiếp xúc mặt sân theo hình tròn đường kính $2\text{ m}$ nên bán kính thiết diện ngang của phao là $r=1\text{ m}$.
Chiều cao của cổng chào là $H=9\text{ m}$, bao gồm cả phao nên bán kính của đường tròn trục tâm nửa hình xuyến là $R=H-r=9-1=8\text{ m}$.
Bề rộng cổng chào là $2R+2r=2\cdot 8+2\cdot 1=18\text{ m}$ (khớp với giả thiết).
Thể tích của một hình xuyến đầy đủ là $V_{torus}=2\pi R\cdot (\pi r^2)=2{\pi }^{2}R{r}^2$.
Thể tích không khí bên trong cổng chào bằng thể tích của nửa hình xuyến:
$V=\frac{1}{2}{V}_{torus}={\pi }^{2}R{r}^2={\pi }^2\cdot 8\cdot 1^2=8{\pi }^2{\text{ m}}^3$. Vậy chọn A.

Vì $AB$ là đường kính của $(O_2;3)$ nên $O_2$ là trung điểm $AB$, suy ra $O_1{O}_2\perp AB$ tại $O_2$ và $O_1{O}_2=\sqrt{O_1{A}^2-O_2{A}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$. Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ với gốc toạ độ trùng $O_1$, tia $O_{1}x$ trùng tia $O_1{O}_2$. Khi đó phương trình đường tròn $(O_1)$ là $x^2+y^2=25$ và $(O_2)$ là $(x-4{)}^2+y^2=9$. Thể tích khối tròn xoay cần tìm là $V=\pi {\int }_4^7\left[9-(x-4{)}^2\right]dx-\pi {\int }_4^5(25-x^2)dx=18\pi -\frac{14\pi }{3}=\frac{40\pi }{3}$.

Cổng chào tiếp xúc với mặt đất theo hình tròn đường kính $2\text{m}$ nên bán kính mặt cắt ngang là $r=1\text{m}$. Chiều cao cao nhất của cổng là $8\text{m}$ nên tâm của đường tròn mặt cắt tại vị trí cao nhất có tọa độ $(0;7)$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O$ trên mặt đường, trục đối xứng của cổng là $Oy$. Cổng phao được sinh ra khi cho hình tròn $(C):x^2+(y-7{)}^2=1$ quay quanh trục $Ox$, sau đó lấy một nửa thể tích của khối xuyến (torus). Thể tích của toàn bộ khối xuyến sinh ra khi quay hình tròn bán kính $r=1$ có tâm cách trục quay khoảng $R=7$ là $V_{\text{xuyeˆˊn}}=2{\pi }^{2}R{r}^2=2{\pi }^2\cdot 7\cdot 1^2=14{\pi }^2{\text{ (m}}^3\text{)}$. Do cổng chào chỉ là một nửa cái săm nên thể tích không khí chứa bên trong bằng $V=\frac{1}{2}{V}_{\text{xuyeˆˊn}}=\frac{1}{2}\cdot 14{\pi }^2=7{\pi }^2{\text{ (m}}^3\text{)}$. Chọn B.

Khi quay quanh trục thẳng đứng $x=4$, bán kính quay tại tung độ $y$ là $R(y)=4-x=4-2^y$. Tung độ chạy từ $y=0$ đến $y={\log }_{2}4=2$. Thể tích khối tròn xoay là:
$V=\pi {\int }_0^2(4-2^y{)}^{2}dy=\pi {\int }_0^2(16-8\cdot 2^y+4^y)dy=\pi {\left[16y-\frac{8\cdot 2^y}{\ln 2}+\frac{4^y}{\ln 4}\right]}_0^2=\pi \left(32-\frac{24}{\ln 2}+\frac{15}{2\ln 2}\right)=\pi \left(32-\frac{33}{2\ln 2}\right)\approx \pi (32-23,8056)=\pi (8,1944)\approx 25,74\approx 26$. Vậy chọn C.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 202; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Áp dụng phương pháp tọa độ hóa và tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục hoành $AB$, ta lấy thể tích khối trụ trừ đi thể tích vật thể do miền $(R)$ tạo ra, được $V=\frac{832\pi }{15}{\text{ cm}}^3$. Chọn D.

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa và tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục $AB$, ta tính được thể tích $V\approx 140,01{\text{ cm}}^3$. Chọn C.

Công thức tính thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Chọn A.

Thiết lập hệ trục tọa độ với gốc $D(0;0)$, trục $Ox$ trùng $DC$, trục $Oy$ trùng $DA$. Viết phương trình parabol và phương trình đường tròn tâm $I$. Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay quay quanh trục $Oy$, ta tính được thể tích $V\approx 14.5$. Chọn B.