Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_1^{9}f(x)\mathrm{d}x=F(9)-F(1)=F(9)-8$. Suy ra $F(9)=8+{\int }_1^{9}f(x)\mathrm{d}x$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x+\frac{2}{x}\right)\mathrm{d}x=\left(\frac{x^2}{2}+2\ln |x|\right){|}_1^3=\frac{9}{2}+2\ln 3-\frac{1}{2}-0=4+2\ln 3$. Suy ra $a=4$, $b=3$ (thỏa $a,b\in \mathbb{Z}$), do đó $a+b=4+3=7$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $4{\sin }^{2}x=2-2\cos 2x$. Do đó $${\int }_0^{\pi /6}4{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi /6}(2-2\cos 2x)dx={\left[2x-\sin 2x\right]}_0^{\pi /6}=\frac{\pi }{3}-\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Vậy $a=\frac{1}{3}$, $b=-\frac{1}{2}$, suy ra $ab=-\frac{1}{6}$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt{e^{x+2}}=e^{\frac{x+2}{2}}$. Do đó ${\int }_0^2{e}^{\frac{x+2}{2}}dx=2e^{\frac{x+2}{2}}{|}_0^2=2e^2-2e$. Vậy $a=1$, $b=-2$ nên $a^2+b^2=1+4=5$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_0^{9}f(x)dx=F(9)-F(0)$. b) Sai: từ $F(9)-F(0)=9$ và $F(0)=3$ suy ra $F(9)=12$, không phải $-12$. c) Đúng: ${\int }_0^{9}3f(u)du=3{\int }_0^{9}f(u)du=3\cdot 9=27$ (tích phân không phụ thuộc biến lấy tích phân). d) Sai: theo tính chất cộng tính ${\int }_0^{6}f(x)dx+{\int }_6^{9}f(x)dx={\int }_0^{9}f(x)dx=9$, không phải $18$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Newton–Leibniz: ${\int }_0^{9}f(x)dx=F(9)-F(0)$ vì $F$ là nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(9)-F(0)=9\Rightarrow F(9)=9+3=12$, không phải $-12$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{9}3f(u)du=3{\int }_0^{9}f(u)du=3\cdot 9=27$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tích phân: ${\int }_0^{6}f(x)dx+{\int }_6^{9}f(x)dx={\int }_0^{9}f(x)dx=9\ne 18$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: f(x)=3x²−2x−1, f'(x)=6x−2.
a) ∫₋₁² f'(x)dx = f(2)−f(−1) = (12−4−1)−(3+2−1) = 7−4 = 3 → đúng.
b) ∫₀¹ f(x)dx = [x³−x²−x]₀¹ = 1−1−1 = −1 ≠ 7 → sai.
c) ∫₀³ f(x)dx = [x³−x²−x]₀³ = 27−9−3 = 15, nên ∫₀³ 3f(x)dx = 45 ≠ 42 → sai.
d) ∫₀¹ x·f(x)dx = ∫₀¹ (3x³−2x²−x)dx = 3/4 − 2/3 − 1/2 = (9−8−6)/12 = −5/12 ≠ 31/12 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
∫₋₁² f'(x)dx = f(2)−f(−1) = 7−4 = 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
∫₀¹ f(x)dx = [x³−x²−x]₀¹ = −1 ≠ 7.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₀³ f(x)dx = 15 nên ∫₀³ 3f(x)dx = 45 ≠ 42.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫₀¹ x f(x)dx = 3/4 − 2/3 − 1/2 = −5/12 ≠ 31/12.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số f(x) = x² − 2x khi x ≥ 2 và f(x) = x − 2 khi x < 2.
a) Trên [1;2] có x < 2 nên f(x) = x − 2, do đó ∫₁² f(x)dx = ∫₁² (x−2)dx. Đúng.
b) Trên [2;3] có x ≥ 2 nên f(x) = x² − 2x, do đó ∫₂³ f(x)dx = ∫₂³ (x² − 2x)dx. Đúng.
c) Nguyên hàm của x − 2 trên [1;2] là x²/2 − 2x (đúng), nhưng nguyên hàm của x² − 2x trên [2;3] phải là x³/3 − x², không phải x²/2 − 2x. Vậy khẳng định sai.
d) ∫₁² (x−2)dx = (x²/2 − 2x)|₁² = (2 − 4) − (1/2 − 2) = −1/2. ∫₂³ (x² − 2x)dx = (x³/3 − x²)|₂³ = (9 − 9) − (8/3 − 4) = 4/3. Tổng: −1/2 + 4/3 = 5/6. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [1;2], x < 2 nên f(x) = x − 2, do đó ∫₁² f(x)dx = ∫₁² (x−2)dx.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên [2;3], x ≥ 2 nên f(x) = x² − 2x, do đó ∫₂³ f(x)dx = ∫₂³ (x² − 2x)dx.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của x² − 2x trên [2;3] là x³/3 − x², không phải x²/2 − 2x như đề viết.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫₁² (x−2)dx = −1/2 và ∫₂³ (x² − 2x)dx = 4/3, tổng bằng −1/2 + 4/3 = 5/6.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: ${\int }_0^1\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx={\left[\ln (x+1)-\ln (x+2)\right]}_0^1=(\ln 2-\ln 3)-(0-\ln 2)=2\ln 2-\ln 3$. Vậy $a=2,b=-1,c=0$, nên $a+b+c=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 8: $A(-2;1)$, $B(1;1)$, $C(3;-1)$. Trên $[-2;1]$, $f(x)=1$ nên $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=1\cdot 3=3$. Trên $[1;3]$, $f$ là đoạn thẳng từ $(1;1)$ đến $(3;-1)$, cắt trục hoành tại $x=2$ (điểm $D$). Phần trên trục từ $1$ đến $2$ có tích phân $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$; phần dưới trục từ $2$ đến $3$ có tích phân $-\frac{1}{2}$. Vậy $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$. Do đó $\underset{-2}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=3+0=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý cơ bản của tích phân, $f(4)-f(-4)={\int }_{-4}^4{f}^{\prime }(x)dx$. Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: đường gãy khúc cắt trục hoành tại $x=-4$ và $x=4$, đạt đỉnh cao $3$ tại $x=1$ (đoạn thẳng đi lên từ $(-4;0)$ qua $(0;2)$ đến đỉnh, rồi đi xuống cắt trục tại $x=4$). Trên $[-4;4]$, đồ thị nằm trên trục hoành và tạo thành một tam giác có đáy $4-(-4)=8$ và chiều cao $3$, nên ${\int }_{-4}^4{f}^{\prime }(x)dx=\frac{8\cdot 3}{2}=12$. Vậy $f(4)-f(-4)=12$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình hoành độ giao điểm: $x^2=2x+3\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Trên đoạn $[-1;3]$ ta có $2x+3\ge x^2$. Diện tích: $S={\int }_{-1}^3(2x+3-x^2)dx={\left[x^2+3x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^3=(9+9-9)-\left(1-3+\frac{1}{3}\right)=9+\frac{5}{3}=\frac{32}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên $(x_1,x_2)$ đồ thị nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, do đó ${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$ chính là diện tích phần gạch phía trên trục. Trên $(x_2,x_3)$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, do đó ${\int }_{x_2}^{x_3}f(x)dx$ là số đối của diện tích phần gạch phía dưới. Vậy tổng diện tích là $S={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx-{\int }_{x_2}^{x_3}f(x)dx$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, trên đoạn $[0;1]$ ta có $f(x)\ge g(x)\ge 0$ (đồ thị $y=f(x)$ nằm trên $y=g(x)$, cả hai đều nằm trên trục hoành).

a) Vì $f(x)\ge 0$ trên $[0;1]$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục hoành và hai đường $x=0,x=1$ là $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$. Đúng.

b) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục hoành là $V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2(x)dx$; công thức đề thiếu hệ số $\pi$. Sai.

c) Vì $f(x)\ge g(x)$ trên $[0;1]$, diện tích $(H)$ là $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f(x)-g(x)\right]dx$. Đúng.

d) Khi quay $(H)$ quanh trục $Ox$, thể tích là hiệu hai khối tròn xoay: $V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2(x)dx-\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{g}^2(x)dx=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f^2(x)-g^2(x)\right]dx$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)\ge 0$ trên $[0;1]$ nên $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là $V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2(x)dx$; công thức thiếu hệ số $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)\ge g(x)$ trên $[0;1]$ nên $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f(x)-g(x)\right]dx$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2(x)dx-\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{g}^2(x)dx=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f^2(x)-g^2(x)\right]dx$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân tuyến tính: ${\int }_1^3[f(x)+2x]dx={\int }_1^{3}f(x)dx+{\int }_1^{3}2xdx=2+[x^2{]}_1^3=2+(9-1)=10$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tính trực tiếp: ${\int }_0^1(3x+1)dx={\left[\frac{3x^2}{2}+x\right]}_0^1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$. Kiểm tra bằng diện tích hình thang $OABC$: hai đáy $OA=1$ (tại $x=0$, $y=1$) và $CB=4$ (tại $x=1$, $y=4$), chiều cao $OC=1$, nên $S=\frac{(1+4)\cdot 1}{2}=\frac{5}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính theo tính tuyến tính của tích phân: A: $-1+3=2\ne 8$ (sai). B: $-1-3=-4\ne 4$ (sai). C: $5\cdot (-1)=-5\ne 5$ (sai). D: ${\int }_{-2}^2[3f(x)-4g(x)]dx=3(-1)-4(3)=-3-12=-15$ (đúng). Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^m(3x^2-2x+1)dx=\left(x^3-x^2+x\right){|}_0^m=m^3-m^2+m=6$. Thử $m=2$: $8-4+2=6$ thỏa mãn. Xét hàm $g(m)=m^3-m^2+m-6$ có $g^{\prime }(m)=3m^2-2m+1>0$ nên hàm đồng biến, nghiệm duy nhất $m=2$. Vậy $m=2\in (0;4)$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân tại $x=1$: $J=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(2x-1)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}1dx$. Phần thứ nhất: ${\left[x^2-x\right]}_{-1}^1=(1-1)-(1+1)=-2$. Phần thứ hai: $2-1=1$. Vậy $J=-2+1=-1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích phân: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Với $F(3)=2,F(0)=1$ ta có ${\int }_0^{3}f(x)dx=F(3)-F(0)=1$.
a) Sai: $F(3)-F(0)=1$ là tích phân từ 0 đến 3 của $f(x)$, không phải từ 3 đến 0 (tích phân từ 3 đến 0 là $F(0)-F(3)=-1$).
b) Đúng: ${\int }_0^{3}f(x)dx=F(3)-F(0)$ và $-{\int }_3^{0}f(x)dx=-(F(0)-F(3))=F(3)-F(0)$, nên đẳng thức đúng.
c) Đúng: ${\int }_0^{3}f(t)dt=F(3)-F(0)=2-1=1$.
d) Đúng: vì $f(x)$ liên tục và không âm trên $[0;3]$, diện tích hình thang cong bằng ${\int }_0^{3}f(x)dx=1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F(3)-F(0)=1$ là tích phân từ 0 đến 3 của $f(x)$; tích phân từ 3 đến 0 là $F(0)-F(3)=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{3}f(x)dx=F(3)-F(0)$ và $-{\int }_3^{0}f(x)dx=-(F(0)-F(3))=F(3)-F(0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{3}f(t)dt=F(3)-F(0)=2-1=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)\ge 0$ và liên tục, diện tích hình thang cong bằng ${\int }_0^{3}f(x)dx=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$, hàm $f(x)=x^3-3x$ đổi dấu tại $x=\sqrt{3}$ (âm trên $(0;\sqrt{3})$, dương trên $(\sqrt{3};2)$), nên diện tích là $S={\int }_0^2\left|x^3-3x\right|\mathrm{d}x$. Các phương án A, D chỉ đúng nếu hàm không đổi dấu; B sai vì bình phương không phải công thức diện tích. Vậy đáp án C.