Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên ${\int }_0^{9}f(x)dx=F(9)-F(0)=9$. a) Đúng theo công thức Newton–Leibniz. b) Nếu $F(0)=3$ thì $F(9)-3=9\Rightarrow F(9)=12$, không phải $-12$ → sai. c) ${\int }_0^{9}3f(x)dx=3\cdot 9=27$ → đúng. d) Theo tính chất tích phân ${\int }_0^{6}f(x)dx+{\int }_6^{9}f(x)dx={\int }_0^{9}f(x)dx=9$, không phải 18 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Newton–Leibniz: ${\int }_0^{9}f(x)dx=F(9)-F(0)$ vì $F$ là nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $F(9)-F(0)=9$ nên nếu $F(0)=3$ thì $F(9)=12$, không phải $-12$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{9}3f(x)dx=3{\int }_0^{9}f(x)dx=3\cdot 9=27$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_0^{6}f(x)dx+{\int }_6^{9}f(x)dx={\int }_0^{9}f(x)dx=9$, không phải 18.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân tại $x=2$: ${\int }_1^2(x^2-2x+3)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x^2+3x\right]}_1^2=\frac{14}{3}-\frac{7}{3}=\frac{7}{3}$; ${\int }_2^3(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_2^3=6-\frac{2}{3}=\frac{16}{3}$. Vậy ${\int }_1^{3}f(x)dx=\frac{7}{3}+\frac{16}{3}=\frac{23}{3}$, nên $I=\frac{1}{2}\cdot \frac{23}{3}=\frac{23}{6}\approx 3.83$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $3^x$ là $\frac{3^x}{\ln 3}$. Do đó ${\int }_0^b{3}^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}{|}_0^b=\frac{3^b-1}{\ln 3}$ (với $b>0$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int (5x^5-x-5)dx=\frac{5x^6}{6}-\frac{x^2}{2}-5x$. Tại $x=6$: $\frac{5\cdot 46656}{6}-18-30=38880-48=38832$. Tại $x=3$: $\frac{5\cdot 729}{6}-\frac{9}{2}-15=607.5-19.5=588$. Vậy tích phân $=38832-588=38244$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=2x-3$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ là $S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}|2x-3|dx$. Công thức này không có hệ số $\pi$ (loại A, C) và không thể dùng $\left|\int (2x-3)dx\right|$ vì hàm số đổi dấu trên đoạn $[1,2]$ (đồ thị cắt trục hoành tại $x=\frac{3}{2}$), nên loại D. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục $Ox$ nên $f(x)\ge 0$, do đó diện tích phần đó là $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;2]$ đồ thị nằm dưới trục $Ox$ nên $f(x)\le 0$, diện tích phần đó là $-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$. Vậy $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có nguyên hàm: $\int (\cos x+\sin x)dx=\sin x-\cos x$. Do đó $$\underset{\pi /4}{\overset{\pi /3}{\int }}(\cos x+\sin x)dx={\left[\sin x-\cos x\right]}_{\pi /4}^{\pi /3}=\left(\sin \frac{\pi }{3}-\cos \frac{\pi }{3}\right)-\left(\sin \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{4}\right).$$ Tính từng phần: $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ nên $\sin \frac{\pi }{3}-\cos \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. Vì $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\sin \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{4}=0$. Vậy giá trị tích phân bằng $$\frac{\sqrt{3}-1}{2}-0=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0,366.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^1{e}^{3x}dx={\frac{1}{3}{e}^{3x}|}_0^1=\frac{e^3-e^0}{3}=\frac{e^3-1}{3}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I={\int }_0^{\pi /2}f(x)dx+2{\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=5+2{\left[-\cos x\right]}_0^{\pi /2}=5+2(0-(-1))=5+2=7$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường (C): $y=3x^2-3$ với $x\ge 0$ cắt trục tung tại $(0;-3)$ và cắt trục hoành tại $x=1$ (vì $3x^2-3=0\Rightarrow x=1$ với $x\ge 0$). Hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ nằm trong khoảng $0\le x\le 1$, với $y\le 0$. Diện tích: $$S={\int }_0^1\left|3x^2-3\right|dx={\int }_0^1(3-3x^2)dx={\left[3x-x^3\right]}_0^1=3-1=2.$$ Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx=-1-3=-4$, nên ${\int }_2^1[f(x)-g(x)]dx=4\ne -4$ → Sai. b) ${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^2+{\int }_2^3=-2+1=-1$ → Đúng. c) ${\int }_5^{-2}g(x)dx=3\Rightarrow {\int }_{-2}^{5}g(x)dx=-3$; khi đó ${\int }_{-2}^5[f-4g-1]dx=8-4(-3)-7=13\ne -13$ → Sai. d) ${\int }_2^{1}3f(x)dx=-3{\int }_1^{2}f(x)dx=-6$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 211: S, Đ, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx=-1-3=-4$, do đó ${\int }_2^1[f(x)-g(x)]dx=4\ne -4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx=-2+1=-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_{-2}^{5}g(x)dx=-{\int }_5^{-2}g(x)dx=-3$, nên ${\int }_{-2}^5[f(x)-4g(x)-1]dx=8-4(-3)-7=13\ne -13$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_2^{1}3f(x)dx=-3{\int }_1^{2}f(x)dx=-3\cdot 2=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $7x^2+46x-4=4x-4\iff 7x^2+42x=0\iff x=0$ hoặc $x=-6$. Trên $[-6;0]$, parabol nằm dưới đường thẳng nên diện tích $S={\int }_{-6}^0\left[(4x-4)-(7x^2+46x-4)\right]dx={\int }_{-6}^0(-7x^2-42x)dx={\left[-\frac{7x^3}{3}-21x^2\right]}_{-6}^0=0-\left(504-756\right)=252$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 252.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^2\left(f(x)+3x^2\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{2}3x^2\mathrm{d}x=10$.

Tính ${\int }_0^{2}3x^2\mathrm{d}x={x^3|}_0^2=8-0=8$.

Suy ra ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=10-8=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 211, câu 17 = 2).

Lời giải (theo biểu điểm và đáp án, trang 14-15):
$$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(3x^2+10x-1\right)\mathrm{d}x=\left(x^3+5x^2-x\right){|}_1^2$$
$$=\left(2^3+5.2^2-2\right)-\left(1^3+5.1^2-1\right)=21$$

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx=-1-3=-4$, đổi cận: ${\int }_2^1[f-g]dx=4\ne -4$ → Sai.
b) ${\int }_2^{1}3f(x)dx=-3{\int }_1^{2}f(x)dx=-3\cdot 2=-6$ → Đúng.
c) ${\int }_5^{-2}g(x)dx=3\Rightarrow {\int }_{-2}^{5}g(x)dx=-3$. Khi đó ${\int }_{-2}^5[f-4g-1]dx=8-4(-3)-7=8+12-7=13\ne -13$ → Sai.
d) ${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^2+{\int }_2^3=-2+1=-1$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2[f-g]dx=-1-3=-4$; đổi cận cho ${\int }_2^1[f-g]dx=4\ne -4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_2^{1}3f(x)dx=-3\cdot 2=-6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_{-2}^{5}g=-3$; tích phân cần tính $=8+12-7=13\ne -13$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{3}f=-2+1=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(f(x)+3x^2\right)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{0}{\overset{2}{\int }}3x^2\mathrm{d}x=10$. Mà $\underset{0}{\overset{2}{\int }}3x^2\mathrm{d}x={x^3|}_0^2=8$. Suy ra $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=10-8=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 16: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $7x^2+46x-4=4x-4\iff 7x^2+42x=0\iff 7x(x+6)=0\iff x=0$ hoặc $x=-6$. Trên $(-6;0)$, $7x^2+42x=7x(x+6)<0$ nên parabol nằm dưới đường thẳng. Diện tích: $S={\int }_{-6}^0\left|7x^2+42x\right|dx=-{\int }_{-6}^0(7x^2+42x)dx=-\left(\frac{7x^3}{3}+21x^2\right){|}_{-6}^0=\frac{7\cdot 216}{3}-21\cdot 36=504-756=-(-252)=252$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 252.

Lời giải:
$$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(3x^2+10x-1\right)\mathrm{d}x=\left(x^3+5x^2-x\right){|}_1^2$$
$$=\left(2^3+5.2^2-2\right)-\left(1^3+5.1^2-1\right)=21$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II): a) Đúng theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. b) Đúng theo tính chất đổi cận: ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$. c) Sai: vì ${\int }_c^{a}f(x)dx=n$ nên ${\int }_a^{c}f(x)dx=-n$, do đó ${\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{c}f(x)dx=m-(-n)=m+n\ne m-n$. d) Sai: ${\int }_a^b[2024f(x)+2025]dx=2024{\int }_a^{b}f(x)dx+2025(b-a)$, không phải $2025(a-b)$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001 câu 14: ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Newton–Leibniz: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ vì $F^{\prime }(x)=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất đổi cận: ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\int }_c^{a}f(x)dx=n$ nên ${\int }_a^{c}f(x)dx=-n$. Theo tính chất phân đoạn: ${\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{c}f(x)dx=m-(-n)=m+n\ne m-n$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_a^b[2024f(x)+2025]dx=2024{\int }_a^{b}f(x)dx+2025{\int }_a^{b}dx=2024{\int }_a^{b}f(x)dx+2025(b-a)$, khác với khẳng định $2025(a-b)$.