Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích phân thức: $\frac{2x+1}{x^2-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}$ với $A(x+2)+B(x-2)=2x+1$, suy ra $A+B=2,2(A-B)=1\Rightarrow A=\frac{5}{4},B=\frac{3}{4}$. Khi đó $${\int }_0^1\frac{2x+1}{x^2-4}dx=\frac{5}{4}\ln |x-2|{|}_0^1+\frac{3}{4}\ln |x+2|{|}_0^1=\frac{5}{4}(\ln 1-\ln 2)+\frac{3}{4}(\ln 3-\ln 2)=-2\ln 2+\frac{3}{4}\ln 3.$$ Vậy $a=-2,b=\frac{3}{4}$, nên $ab=-2\cdot \frac{3}{4}=-\frac{3}{2}$. (Kiểm tra lại bằng cách tách $2x+1=2x+1$: ${\int }_0^1\frac{2x}{x^2-4}dx=\ln 3-\ln 4$ và ${\int }_0^1\frac{dx}{x^2-4}=\frac{1}{4}[\ln |x-2|-\ln |x+2|{]}_0^1=-\frac{1}{4}\ln 3$, tổng cho cùng kết quả $\frac{3}{4}\ln 3-2\ln 2$.) Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{x}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1)+1}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1{)}^2}$. Do đó $${\int }_4^5\frac{x}{(x-1{)}^2}dx={\left[\ln (x-1)-\frac{1}{x-1}\right]}_4^5=(\ln 4-\frac{1}{4})-(\ln 3-\frac{1}{3})=\ln \frac{4}{3}+\frac{1}{12}=\frac{1}{12}+2\ln 2-\ln 3.$$ Vậy $a=\frac{1}{12},b=2,c=-1$, suy ra $abc=\frac{1}{12}\cdot 2\cdot (-1)=-\frac{1}{6}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$, ta có $f(x)=-\frac{1}{4}\cos 2x+C$. Với $f(0)=1$: $-\frac{1}{4}+C=1\Rightarrow C=\frac{5}{4}$, nên $f(x)=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cos 2x=1+\frac{1}{2}{\sin }^{2}x$. Khi đó $$I={\int }_0^{\pi /4}\left(1+\frac{1}{2}{\sin }^{2}x\right)dx=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /4}\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{16}-\frac{1}{8}=\frac{5\pi -2}{16}.$$ Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1=1-\cos 2x+1=2-\cos 2x$, ta có $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+C$. Vì $f(0)=4$ nên $C=4$, tức $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+4$. Khi đó $${\int }_0^{\pi /4}f(x)dx={\left[x^2+\frac{\cos 2x}{4}+4x\right]}_0^{\pi /4}=\frac{{\pi }^2}{16}+\left(0-\frac{1}{4}\right)+\pi =\frac{{\pi }^2+16\pi -4}{16}.$$ Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ ta có $f(x)=2\sqrt{x+1}+C$. Vì $f(0)=-2$ nên $2+C=-2\Rightarrow C=-4$, tức $f(x)=2\sqrt{x+1}-4$. Do đó $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x={\left[\frac{4}{3}(x+1{)}^{3/2}-4x\right]}_0^3=\frac{4}{3}\cdot 8-12-\frac{4}{3}=\frac{28}{3}-\frac{36}{3}=-\frac{8}{3}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là parabol có đỉnh $(0;1)$ và đi qua điểm $(1;4)$ (đối xứng qua trục tung nên cũng qua $(-1;4)$). Suy ra $f^{\prime }(x)=a{x}^2+1$ với $a+1=4\Rightarrow a=3$, tức $f^{\prime }(x)=3x^2+1$. Theo định lý Newton - Leibniz: $f(3)-f(2)={\int }_2^3(3x^2+1)dx=\left(x^3+x\right){|}_2^3=(27+3)-(8+2)=30-10=20$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1=2-\cos 2x$, ta có $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+C$. Vì $f(0)=4$ nên $C=4$, tức $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+4$. Khi đó $${\int }_0^{\pi /4}f(x)dx={\left[x^2+\frac{\cos 2x}{4}+4x\right]}_0^{\pi /4}=\frac{{\pi }^2}{16}+\left(0-\frac{1}{4}\right)+\pi =\frac{{\pi }^2+16\pi -4}{16}.$$ Vậy $a=16,b=-4$, do đó $a+b=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $\frac{x}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{x+2}-\frac{2}{(x+2{)}^2}$. Khi đó ${\int }_0^1\frac{xdx}{(x+2{)}^2}={\left[\ln (x+2)+\frac{2}{x+2}\right]}_0^1=\ln 3+\frac{2}{3}-\ln 2-1=\ln 3-\ln 2-\frac{1}{3}$. Vậy $a=-\frac{1}{3},b=-1,c=1$, nên $3a+b+c=-1-1+1=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường $y=\sqrt{x}$ và $y=2-x$ cắt nhau tại $\sqrt{x}=2-x\iff x^2-5x+4=0\iff x=1$ (nhận, $x=4$ loại vì $\sqrt{4}=2\ne -2$). Trên $[0;1]$ thì $\sqrt{x}\ge 2-x$, trên $[1;2]$ thì $2-x\ge \sqrt{x}$. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường và trục $Ox$ gồm phần dưới $y=\sqrt{x}$ từ $x=0$ đến $x=1$ và phần dưới $y=2-x$ từ $x=1$ đến $x=2$. Vậy $S={\int }_0^1\sqrt{x}\mathrm{d}x+{\int }_1^2(2-x)\mathrm{d}x=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, đồ thị $y=f(x)$ cắt trục $Ox$ tại 4 điểm, trong đó trên $[-1;1]$ hàm số dương nên ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=21$ chính là diện tích phần thứ nhất. Trên $[1;2]$ hàm số âm nên diện tích phần thứ hai là $\left|{\int }_1^{2}f(x)dx\right|=|-2|=2$. Trên $[2;3]$ hàm số dương nên diện tích phần thứ ba là ${\int }_2^{3}f(x)dx=3$. Vậy diện tích tổng cộng là $21+2+3=26$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện tại hoành độ $x$ là tam giác đều cạnh $a=x\sqrt{2-x}$, diện tích $S(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2(2-x)$. Thể tích: $$V={\int }_0^2\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2(2-x)dx=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(2\cdot \frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right){|}_0^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{16}{3}-4\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$ Vậy $V=\frac{\sqrt{3}}{3}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét parabol $(P):y=x^2-4$.
a) Cho $y=0\iff x^2-4=0\iff x=\pm 2$, nên hoành độ giao điểm của $(P)$ và $Ox$ là $-2$ và $2$ → Đúng.
b) $\int (x^2-4)dx=\frac{x^3}{3}-4x+C$. Mệnh đề ghi $+4x+C$ là sai (nguyên hàm của $-4$ phải là $-4x$) → Sai.
c) Với $x\in [-2;2]$ thì $x^2-4\le 0$, do đó $|x^2-4|=4-x^2\ne x^2-4$ (ví dụ $x=0$: $|-4|=4\ne -4$) → Sai.
d) Diện tích $S={\int }_{-2}^2|x^2-4|dx={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=\frac{32}{3}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải $x^2-4=0$ được $x=\pm 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{x^3}{3}-4x+C$, không phải $+4x+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$ ta có $x^2-4\le 0$ nên $|x^2-4|=4-x^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx=\frac{32}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ Hình, miệng máng rộng $2\text{m}$ (từ $x=-1$ đến $x=1$) và độ sâu $2\text{m}$. Chọn hệ trục với đỉnh parabol tại gốc $O$, parabol có dạng $y=a{x}^2$; vì đi qua điểm $(1;2)$ nên $a=2$, tức $y=2x^2$. Đường thẳng nằm ngang ở miệng máng là $y=2$.

Diện tích phần tô xám (bên trong lòng máng):
$$S={\int }_{-1}^1\left(2-2x^2\right)dx={\left[2x-\frac{2x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\left(2-\frac{2}{3}\right)-\left(-2+\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{3}.$$

Vậy diện tích mặt cắt ngang là $S=\frac{8}{3}{\text{m}}^2\approx 2,67{\text{m}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích toàn phần $D$: $S={\int }_0^4\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^4=\frac{16}{3}$.

Đường $x=a$ chia $D$ thành hai phần bằng nhau nên ${\int }_0^a\sqrt{x}dx=\frac{S}{2}=\frac{8}{3}$.

Ta có ${\int }_0^a\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}{a}^{3/2}=\frac{8}{3}\Rightarrow a^{3/2}=4\Rightarrow a=4^{2/3}=\sqrt[3]{16}\approx 2,52$ (thỏa $0<a<4$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^2-2x=x(x-2)$ nên $x^2-2x\le 0$ trên $[0;2]$ và $x^2-2x\ge 0$ trên $[2;3]$. Do đó $|x^2-2x|=-(x^2-2x)$ với $0\le x\le 2$ và $|x^2-2x|=x^2-2x$ với $2\le x\le 3$.
a) Sai: trên $[0;2]$ phải lấy $-(x^2-2x)$, đề lại viết $x^2-2x$ ở cả hai khoảng.
b) Đúng: theo tính chất cộng tính của tích phân, ${\int }_0^3={\int }_0^2+{\int }_2^3$.
c) Sai: trên $[0;2]$ phải lấy $-(x^2-2x)$ chứ không phải $x^2-2x$.
d) Đúng: ${\int }_0^2|x^2-2x|dx={\int }_0^2(-x^2+2x)dx=\left(-\frac{x^3}{3}+x^2\right){|}_0^2=\frac{4}{3}$ và ${\int }_2^3(x^2-2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3=0-\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}$, nên $I=\frac{8}{3}$. Biểu thức ở d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$, $x^2-2x\le 0$ nên $|x^2-2x|=-(x^2-2x)$, không phải $x^2-2x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính: ${\int }_0^3={\int }_0^2+{\int }_2^3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$ phải lấy $-(x^2-2x)$; biểu thức đề cho sai dấu nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\left(-\frac{x^3}{3}+x^2\right){|}_0^2=\frac{4}{3}$ và $\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3=\frac{4}{3}$, tổng $I=\frac{8}{3}$, biểu thức đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=1$: $a+1=1+b$ nên $b=a$. Đạo hàm trái phải tại $x=1$: $2x=2$ và $a$, nên $a=2$, suy ra $b=2$. Khi đó $I={\int }_{-1}^1(x^2+2)dx+{\int }_1^2(2x+1)dx={\left[\frac{x^3}{3}+2x\right]}_{-1}^1+{\left[x^2+x\right]}_1^2=\frac{14}{3}+4=\frac{26}{3}$. Mặt khác $\frac{m}{n}+2b+\frac{3a}{2}=\frac{m}{n}+4+3=\frac{m}{n}+7$, nên $\frac{m}{n}=\frac{26}{3}-7=\frac{5}{3}$, tức $m=5$, $n=3$ (nguyên tố cùng nhau). Vậy $S=m-n=5-3=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $x=-2$: $f(-2)=-8+12=4$, $f^{\prime }(x)=3x^2+6x$, $f^{\prime }(-2)=0$, nên tiếp tuyến là $y=4$. Trên $[0;1]$, $x^3+3x^2\le 4$ nên $x^3+3x^2-4\le 0$, do đó diện tích $S={\int }_0^1\left(4-(x^3+3x^2)\right)\mathrm{d}x={\int }_0^1\left|x^3+3x^2-4\right|\mathrm{d}x$. Vậy đáp án B. (A sai vì tích phân âm; C sai vì $S=-{\int }_0^1(x^3+3x^2-4)\mathrm{d}x$ chứ không phải giá trị tuyệt đối của tích phân... thực ra ở đây chúng bằng nhau về giá trị, nhưng biểu thức đúng chuẩn về mặt lý thuyết là B vì dùng giá trị tuyệt đối trong tích phân đảm bảo đúng mọi trường hợp; D là thể tích quay nên sai.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-2x}{x-1}=\frac{x(x-2)}{x-1}=x-1-\frac{1}{x-1}$. Trên $(1;+\infty )$, đường $(P)$ nằm dưới đường thẳng $d:y=x-1$ vì $\frac{x^2-2x}{x-1}-(x-1)=-\frac{1}{x-1}<0$. Với $a>1$, diện tích là $$S={\int }_a^{2a}\left[(x-1)-\left(x-1-\frac{1}{x-1}\right)\right]dx={\int }_a^{2a}\frac{dx}{x-1}=\ln \frac{2a-1}{a-1}.$$ Cho $S=\ln 3$: $\frac{2a-1}{a-1}=3\Rightarrow 2a-1=3a-3\Rightarrow a=2$ (thỏa $a>1$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng tô đậm giới hạn bởi hai đường $y=x^3-x$ và $y=x-x^2$. Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-x=x-x^2\iff x(x^2+x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=1$. Trên $(0;1)$, đường $y=x-x^2$ nằm trên $y=x^3-x$ (phù hợp với hình vẽ). Diện tích: $$S={\int }_0^1\left[(x-x^2)-(x^3-x)\right]dx={\int }_0^1(2x-x^2-x^3)dx=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}.$$ Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: công thức tổng quát phải dùng $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$ vì không phải lúc nào $f(x)\ge g(x)$ trên $[a;b]$. b) Đúng: hai đồ thị $y=x^2$ và $y=x$ cắt nhau tại $x=0$ và $x=1$, diện tích được tính bằng $S={\int }_0^1|x^2-x|dx={\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. c) Đúng: $y=x^2$ và $y=1$ cắt nhau tại $x=\pm 1$, $S={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx={\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$. d) Sai: $y=x^2+1$ và $y=1$ cắt nhau tại $x=0$; kết hợp với $x=1$ ta có $S={\int }_0^1((x^2+1)-1)dx={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\ne \frac{4}{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$; công thức không có giá trị tuyệt đối chỉ đúng khi $f(x)\ge g(x)$ trên $[a;b]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt tại $x=0$, $x=1$ nên $S={\int }_0^1|x^2-x|dx=\frac{1}{6}$, công thức đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm $x=\pm 1$: $S={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx=\frac{4}{3}$ (dvdt).
d) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\ne \frac{4}{3}$.