Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất nguyên hàm: ${\int }_2^{4}f(x)\mathrm{d}x=F(4)-F(2)=18-10=8$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx=2+10=12$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 1201: 12).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^2[2f(x)+g(x)]dx=2{\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_1^{2}g(x)dx=2\cdot 3+9=15$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, Câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton - Leibniz: $\underset{2}{\overset{4}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(4)-F(2)=18-10=8$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, Câu 3 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ (có thể nằm trên hoặc dưới trục hoành), trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (với $a<b$) được tính bằng công thức $S={\int }_a^b\left|f(x)\right|\mathrm{d}x$. Công thức này đảm bảo phần đồ thị nằm dưới trục hoành cũng được tính với diện tích dương. Các phương án B, C chỉ đúng khi $f(x)$ không đổi dấu trên $[a;b]$, còn phương án D sai vì cận tích phân bị đảo ($b>a$ không thỏa). Đáp án khớp với đáp án của đề (mã đề 1201, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton–Leibniz, ${\int }_2^{4}f(x)dx=F(4)-F(2)=12-6=6$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án đề 0102 (câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton - Leibniz: ${\int }_2^{4}f(x)\mathrm{d}x=F(4)-F(2)=12-6=6$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 7: A).

a) $I={\left(\frac{x^4}{2}-x\right)|}_1^3=38$ (0,25 + 0,25 điểm).

b) Viết đúng: $3(x+2)-2(y-1)+(z-3)=0$ (0,25 điểm). Thu gọn: $3x-2y+z+5=0$ (0,25 điểm).

Giải phương trình $(x-2{)}^2-1=x-3\iff x^2-5x+6=0$ được hai nghiệm $x=2;x=3$ (0,25 điểm).

Diện tích $S$ của hình phẳng cần tìm là $S=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-5x+6\right|\mathrm{d}x=-\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-5x+6\right)\mathrm{d}x$ (hoặc $=\left|\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-5x+6\right)\mathrm{d}x\right|$) (0,25 điểm).

$S=-{\left(\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+6x\right)|}_2^3=\frac{1}{6}$ (0,25 + 0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $[1;2]$ nên ${\int }_1^{2}f(x)dx=F(2)-F(1)=5-3=2$. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (với $f,g$ liên tục trên $[a;b]$) là $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$. Công thức này đúng vì trên mỗi khoảng, $|f(x)-g(x)|$ cho khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hai đồ thị, nên tích phân của nó chính là diện tích bất kể đồ thị nào nằm trên. Phương án B là công thức thể tích khối tròn xoay (sai), C sai vì cận tích phân bị đảo ($b$ đến $a$), D sai vì dùng $f(x)+g(x)$ thay vì $f(x)-g(x)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: A.

a) $I={\left(\frac{x^6}{2}+x\right)|}_1^3=366$ (0,25 + 0,25 điểm).

b) Viết đúng: $-2(x-3)+(y+2)+3(z-1)=0$ (0,25 điểm). Thu gọn: $-2x+y+3z+5=0$ (0,25 điểm).

Giải phương trình $(x-3{)}^2-4=x-5\iff x^2-7x+10=0$ được hai nghiệm $x=2;x=5$ (0,25 điểm).

Diện tích $S$ của hình phẳng cần tìm là $S=\underset{2}{\overset{5}{\int }}\left|x^2-7x+10\right|\mathrm{d}x=-\underset{2}{\overset{5}{\int }}\left(x^2-7x+10\right)\mathrm{d}x$ (hoặc $=\left|\underset{2}{\overset{5}{\int }}\left(x^2-7x-10\right)\mathrm{d}x\right|$) (0,25 điểm).

$S=-{\left(\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}+10x\right)|}_2^5=\frac{9}{2}$ (0,25 + 0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton - Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[1;2]$ thì ${\int }_1^{2}f(x)dx=F(2)-F(1)$. Do đó khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (đề 1001, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ xác nhận: $S_2$ là phần nằm dưới đường cong $y=\frac{x^2}{4}$ trên đoạn $[0;4]$, $S_1$ là phần còn lại của hình vuông cạnh 4. Diện tích hình vuông là $16$. Tính $S_2={\int }_0^4\frac{x^2}{4}dx=\frac{x^3}{12}{|}_0^4=\frac{64}{12}=\frac{16}{3}$. Suy ra $S_1=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$. Vậy $\frac{S_2}{S_1}=\frac{16/3}{32/3}=\frac{1}{2}=0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_0^{5}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{5}f(x)dx=-2+(-4)=-6$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ (liên tục trên $[a;b]$), trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ được tính bằng công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x$. Giá trị tuyệt đối đảm bảo kết quả luôn dương bất kể đồ thị nằm trên hay dưới trục hoành. Các phương án C, D chỉ đúng khi đồ thị hoàn toàn nằm trên (C) hoặc hoàn toàn nằm dưới (D) trục hoành; phương án B sai vì cận tích phân bị đảo ngược. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$. Do đó mệnh đề đúng là phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)\le 0$ trên $[a;b]$, đồ thị nằm dưới trục $Ox$ nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|=-{\int }_a^{b}f(x)dx$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^2=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}$ → đúng.
b) ${\int }_0^2(4x^3+m)dx=(x^4+mx){|}_0^2=16+2m=4\Rightarrow m=-6\ne -4$ → sai.
c) ${\int }_1^2(\pi x^5+e{x}^2+1)dx=\pi \cdot \frac{2^6-1}{6}+e\cdot \frac{2^3-1}{3}+1=\frac{21}{2}\pi +\frac{7}{3}e+1$, nên $m=\frac{21}{2},n=\frac{7}{3},p=1$. Khi đó $2m-3n+p=21-7+1=15$ → đúng.
d) Từ hình vẽ, parabol đi qua $(0;3),(4;3)$ và đỉnh $(2;-1)$: $f(x)=(x-2{)}^2-1=x^2-4x+3$. Ta có ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}-2+3=\frac{4}{3}$; ${\int }_3^{5}f(x)dx=(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x){|}_3^5=\frac{20}{3}-0=\frac{20}{3}$. Tổng $=\frac{24}{3}=8\ne 10$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$16+2m=4\Rightarrow m=-6\ne -4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$m=\frac{21}{2},n=\frac{7}{3},p=1\Rightarrow 2m-3n+p=15$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(x-2{)}^2-1$; tổng hai tích phân bằng $\frac{4}{3}+\frac{20}{3}=8\ne 10$.