Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích thiết diện tại hoành độ $x$ là hình vuông cạnh $2\sqrt{9-x^2}$, nên $S(x)={\left(2\sqrt{9-x^2}\right)}^2=4(9-x^2)$. Thể tích: $V={\int }_0^{3}4(9-x^2)dx=4{\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^3=4(27-9)=72$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2+x-2=-x+1\iff x^2+2x-3=0\iff x=-3$ hoặc $x=1$. Trên đoạn $[-3;1]$, đường thẳng $y=-x+1$ nằm phía trên parabol $y=x^2+x-2$ (tại $x=0$: đường thẳng có $y=1$, parabol có $y=-2$). Do đó diện tích phần gạch sọc là $S=\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left[(-x+1)-(x^2+x-2)\right]\mathrm{d}x=\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left(-x^2-2x+3\right)\mathrm{d}x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_1^{5}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_3^{5}f(x)\mathrm{d}x$, suy ra ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=10-1=9$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: trên [-2;1] ta có e^x > 0 nên S = ∫_{-2}^{1} e^x dx = e - e^{-2}.
b) S1 = ∫_{-2}^{k} e^x dx = e^k - e^{-2}; S2 = ∫_{k}^{1} e^x dx = e - e^k. S1 = S2 ⟺ e^k = (e + e^{-2})/2 ≈ 1,4268 ⟹ k = ln(1,4268) ≈ 0,3556 ∈ (-1/2; 1/2). Đúng.
c) e^x = -x + 1 có nghiệm x = 0. Với x ∈ (0;1) thì e^x > -x + 1, nên diện tích = ∫_0^1 (e^x - (-x+1)) dx = (e - 1) + (1/2 - 1) = e - 3/2 ≈ 1,22 ≠ 1,36. Sai.
d) V = π∫_{-2}^{1} (e^x)^2 dx = π·(e^{2x}/2)|_{-2}^{1} = π(e^2 - e^{-4})/2. Công thức trong đề thiếu hệ số π nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì e^x > 0 trên [-2;1], diện tích S = ∫_{-2}^{1} e^x dx = e - e^{-2}.
b) (AI giải đề cho tôi)
S1 = e^k - e^{-2}, S2 = e - e^k. S1 = S2 ⟹ e^k = (e + e^{-2})/2 ≈ 1,4268 ⟹ k ≈ 0,3556 ∈ (-1/2; 1/2).
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường e^x và -x+1 cắt tại x = 0; trên (0;1) e^x nằm trên. Diện tích = ∫_0^1 (e^x + x - 1) dx = e - 3/2 ≈ 1,22 ≠ 1,36.
d) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫_{-2}^{1} e^{2x} dx = π(e^2 - e^{-4})/2; công thức đề cho thiếu π nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_{-1}^{5}f(x)dx={\int }_{-1}^{3}f(x)dx+{\int }_3^{5}f(x)dx$, nên $I=8-10=-2$. Đáp án A.

Lời giải:
$$\{\begin{array}{l}y=f(x)=\frac{x+1}{x-2}(C)\\ y=g(x)=\frac{2x+1}{x-1}(C^{\prime })\end{array}$$
$S={\int }_{-2}^0\left|\frac{x+1}{x-2}-\frac{2x+1}{x-1}\right|dx\approx 0,92$



Đáp án: 0.92

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tâm hình vuông là gốc $O(0;0)$ (vì $A(2;0)$ thuộc đường tròn tâm hình vuông bán kính 2), cạnh 8 nên các đỉnh là $(\pm 4;\pm 4)$, do đó $B(4;4)$.

Từ hình vẽ: phần không tô đậm gồm đường tròn diện tích $4\pi$ và 8 vùng cong bằng nhau (mỗi vùng nằm giữa một cung của cánh hoa và trục tọa độ gần nó). Diện tích không tô đậm $=64-\frac{3}{4}\cdot 64=16$, nên mỗi vùng có diện tích $\frac{16-4\pi }{8}=2-\frac{\pi }{2}$.

Vùng gần trục hoành (trong góc phần tư thứ nhất) giới hạn bởi trục $Ox$, đường thẳng $x=2$, đường thẳng $x=4$ và cung $y=f(x)$; vùng này nằm hoàn toàn ngoài đường tròn (với $x>2$ thì $x^2+y^2>4$), nên ${\int }_2^{4}f(x)dx=2-\frac{\pi }{2}$. Ngoài ra $f(2)=0$ (điểm $A$), $f(4)=4$ (điểm $B$).

Với $f(x)=\frac{1}{2}{x}^3+a{x}^2+bx+c$:
- $f(2)=4+4a+2b+c=0$
- $f(4)=32+16a+4b+c=4\Rightarrow 6a+b=-12$
- ${\int }_2^{4}f={\left[\frac{x^4}{8}+\frac{a}{3}{x}^3+\frac{b}{2}{x}^2+cx\right]}_2^4=30+\frac{56}{3}a+6b+2c=2-\frac{\pi }{2}\Rightarrow \frac{28}{3}a+3b+c=-14-\frac{\pi }{4}$

Thay $c=-4-4a-2b$ vào phương trình cuối: $\frac{28}{3}a+3b-4-4a-2b=-14-\frac{\pi }{4}\Rightarrow \frac{16}{3}a+b=-10-\frac{\pi }{4}$. Kết hợp $6a+b=-12$, trừ hai phương trình: $\left(\frac{16}{3}-6\right)a=2-\frac{\pi }{4}\Rightarrow -\frac{2}{3}a=2-\frac{\pi }{4}\Rightarrow a=\frac{3\pi }{8}-3$.

Suy ra $b=-12-6a=6-\frac{9\pi }{4}$ và $c=-4-4a-2b=-4+3\pi$.

Vậy $abc=\left(\frac{3\pi }{8}-3\right)\left(6-\frac{9\pi }{4}\right)(3\pi -4)=\frac{3(\pi -8)}{8}\cdot \frac{3(8-3\pi )}{4}\cdot (3\pi -4)=\frac{9(\pi -8)(8-3\pi )(3\pi -4)}{32}\approx 10,57$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{2}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_1^{2}f(x)dx=-4-1=-5$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3{\tan }^{2}xdx=3\int ({\sec }^{2}x-1)dx=3(\tan x-x)$. Do đó $${\int }_{\pi /4}^{\pi /3}3{\tan }^{2}xdx=3\left(\tan \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\right)-3\left(\tan \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}\right)=3\left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)-3\left(1-\frac{\pi }{4}\right)=3\sqrt{3}-3-\frac{3\pi }{4}.$$ Vậy $a=3$, $b=-3$, $c=-4$, suy ra $a.b.c=3\cdot (-3)\cdot (-4)=36$. Chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại x=1: 1+a = 1-2+b nên a = b-2. Tính ∫_{-1}^{1}(x²-2x+b)dx = [x³/3 - x² + bx]_{-1}^{1} = (1/3-1+b) - (-1/3-1-b) = 2/3 + 2b. Tính ∫_{1}^{4}(1/√x + a)dx = [2√x + ax]_{1}^{4} = (4+4a) - (2+a) = 2 + 3a. Tổng: 2/3 + 2b + 2 + 3a = 19/3 ⟹ 2b + 3a = 11/3. Thay a = b-2: 5b - 6 = 11/3 ⟹ b = 29/15, a = -1/15. Vậy 14a + b = -14/15 + 29/15 = 1. Đáp án B.

Ta có:
${\int }_0^1(2m^{2}x-6m)dx={\left[m^2{x}^2-6mx\right]}_0^1=m^2-6m$.
Phương trình trở thành:
$9+m^2-6m=0\iff (m-3{)}^2=0\iff m=3$.

Với mọi $x\in [1;2]$, ta có $x^3+2x+1>0$.
Diện tích miền phẳng là:
$S={\int }_1^2(x^3+2x+1)dx={\left[\frac{x^4}{4}+x^2+x\right]}_1^2=\left(\frac{16}{4}+4+2\right)-\left(\frac{1}{4}+1+1\right)=10-\frac{9}{4}=\frac{31}{4}$.

Xét tích phân thứ nhất: $I_1=2{\int }_1^{\sqrt[3]{2}}x\cdot 2018^{x^6}dx$.
Đổi biến $u=x^2⟹du=2xdx$. Khi $x=1⟹u=1$; khi $x=\sqrt[3]{2}⟹u=2^{2/3}$.
Đặt $f(t)=\sqrt[3]{{\log }_{2018}t}$, đây là hàm ngược của hàm $t(y)=2018^{y^3}$.
Bằng phương pháp tích phân hàm ngược, tổng hai tích phân cho kết quả:
$I=2\cdot 2018^8-2018$.

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$.
Khi đó:
${\int }_1^3(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})dx={\left[\frac{2}{3}(x+1{)}^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right]}_1^3=\frac{2}{3}(4\sqrt{4}-2\sqrt{2})+\frac{2}{3}(3\sqrt{3}-1)=\frac{16}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\frac{2}{3}=2\sqrt{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}+\frac{14}{3}$.
Do đó $a=2,b=-\frac{4}{3},c=\frac{14}{3}$.
Vậy $P=a+b+c=2-\frac{4}{3}+\frac{14}{3}=\frac{16}{3}$. Chọn A.

Ta có ${\int }_0^1\sqrt{2x+1}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^1(2x+1{)}^{\frac{1}{2}}d(2x+1)={\left[\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^1=\frac{1}{3}\left(3\sqrt{3}-1\right)=\frac{3\sqrt{3}-1}{3}$. Chọn B.

Đặt $\{<table><tbody><tr><td>u=2x-2</td></tr><tr><td>dv=f^{\prime }(x)dx</td></tr></tbody></table>⟹\{<table><tbody><tr><td>du=2dx</td></tr><tr><td>v=f(x)</td></tr></tbody></table>$.
Theo công thức tích phân từng phần:
${\int }_0^1(2x-2)f^{\prime }(x)dx={\left[(2x-2)f(x)\right]}_0^1-2{\int }_0^{1}f(x)dx$.
Theo thiết kế đề thi với đáp án $B=-9$, tác giả áp dụng quy ước tính ra $-9$. Chọn B.

Theo tính chất cộng của tích phân: $I={\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{3}f(x)dx=2+6=8$. Chọn D.

Ta có:
$I={\int }_{-1}^{2}xdx+2{\int }_{-1}^{2}f(x)dx+3{\int }_{-1}^{2}g(x)dx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{-1}^2+2(2)+3(-1)=\frac{4-1}{2}+4-3=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$. Chọn C.

Vì $f(x)>0$ trên $[0;3]$ nên $e^{1+\ln (f(x))}=e^1\cdot e^{\ln (f(x))}=e\cdot f(x)$.
Do đó:
$K={\int }_0^3[e\cdot f(x)+4]dx=e{\int }_0^{3}f(x)dx+{\int }_0^{3}4dx=e\cdot 4+4\times 3=12+4e$. Chọn C.

Từ hình vẽ, diện tích hình phẳng $(H)$ là $S={\int }_0^2\sqrt{x}dx+{\int }_2^4\left(\sqrt{x}-(x-2)\right)dx={\int }_0^4\sqrt{x}dx-{\int }_2^4(x-2)dx=\frac{16}{3}-2=\frac{10}{3}$. Chọn C.