Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Ta có ${\int }_1^{3}f(x)dx=\frac{2}{2}=1$. Suy ra ${\int }_1^{5}f(x)dx={\int }_1^{3}f(x)dx+{\int }_3^{5}f(x)dx=1+3=4$. Chọn D.

Ta có ${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx\Rightarrow {\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_1^{3}f(x)dx-{\int }_1^{2}f(x)dx=1-(-2)=3$. Chọn D.

Nhân hai vế với $e^x$: $e^{x}f(x)+e^x{f}^{\prime }(x)=x{e}^x\Rightarrow (e^{x}f(x){)}^{\prime }=x{e}^x$. Lấy nguyên hàm hai vế: $e^{x}f(x)=\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x+C\Rightarrow f(x)=x-1+C{e}^{-x}$. Vì $f(0)=-1\Rightarrow -1=-1+C\Rightarrow C=0$, do đó $f(x)=x-1$. Phương trình hoành độ giao điểm: $x-1=x^3+2x^2-2x-1\iff x^3+2x^2-3x=0\iff x(x-1)(x+3)=0\iff x\in \{-3;0;1\}$. Diện tích hình phẳng là $S={\int }_{-3}^1|x^3+2x^2-3x|dx={\int }_{-3}^0(x^3+2x^2-3x)dx+{\int }_0^1-(x^3+2x^2-3x)dx=\frac{45}{4}+\frac{7}{12}=\frac{71}{6}$. Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-2x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Diện tích hình phẳng là $S={\int }_0^2|x^2-2x|dx={\int }_0^2(2x-x^2)dx=(x^2-\frac{x^3}{3}){|}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$. Chọn D.

Đặt $t=\sin x+1\Rightarrow dt=\cos xdx$. Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=2$. Tích phân trở thành $I={\int }_1^{2}f(t)dt$. Vì $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$, ta có $G(x)=F(x)+C$, suy ra $F(x)+G(x)=2F(x)+C$. Do đó $(F(2)+G(2))-(F(1)+G(1))=2[F(2)-F(1)]=4-1=3\Rightarrow F(2)-F(1)=\frac{3}{2}$. Vậy $I={\int }_1^{2}f(t)dt=F(2)-F(1)=\frac{3}{2}$. Chọn A.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 4 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Theo tính chất cơ bản của tích phân: ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$ và ${\int }_a^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$ nên a, c đúng; b, d sai.

Chọn C
7 5 7

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = -2 + 6 = 4.
1 1 5

Chọn B
Diện tích hình phẳng giưới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thảng
5
x = -1, x = 5 là S =  f ( x ) dx.
-1

Chọn C
Ta có
3 3 3 3

 [ f ( x ) - 2g ( x ) +2x ] dx =  f ( x ) dx - 2 g ( x ) dx +  2 xdx = 4 - 2. ( -3) + 9 = 19 .
0 0 0 0

Chọn C
Từ đồ thị suy ra được phương trình đường thẳng ( d ) : y = 2 x + 1 .

37
+) Diện tích phần tô đậm bằng , suy ra:
12
2 0 2
37 37
-1 f ( x ) - ( 2 x + 1) dx = 12 $\iff$ -1 [ f ( x ) - ( 2 x + 1)]dx - 0 [ f ( x ) - ( 2 x + 1)]dx = 12
0 0 2 2 2
37 5 37
$\iff$  f ( x )dx -  ( 2 x + 1)dx -  f ( x )dx +  ( 2 x + 1)dx = $\iff$ - 0 -  f ( x )dx + 6 =
-1 -1 0 0
12 12 0
12
2
10
$\iff$  f ( x )dx = .
0
3
1
dt
+) Xét tích phân I =  xf ' ( 2 x ) dx. Đặt 2 x = t $\Rightarrow$ dx = . Đổi cận: x = 0 $\Rightarrow$ t = 0; x = 1 $\Rightarrow$ t = 2.
0
2

2
t dt 1
2
1
2
x = u dx = du
Khi đó I =  f ' ( t ) =  tf ' ( t ) dt =  xf ' ( x ) dx. Đặt $\Rightarrow$
0
2 2 40 40 f ' ( x ) dx = dv f ( x ) = v

2 2 10 10 20
$\Rightarrow$ I = xf ( x ) -  f ( x ) dx = 2 f ( 2 ) - = 2.5 - = .
0 0 3 3 3

Chọn B

( x + 1).e - x e- x 1
+)Ta có ( x + 1) f ( x) - xf '( x) = e x $\iff$ 2
f ( x ) - f '( x) = 2
x x x
'
[ e - x f ( x) ] -1 e- x 1
$\iff$   = 2
$\iff$ f ( x) = + C
[ x ] x x x

-1 e- x 1
Mà f (1) = 3e $\Rightarrow$ e f (1) = 1 + C $\Rightarrow$ C = 2 $\Rightarrow$ f ( x) = + 2
x x
$\Rightarrow$ f ( x) = ( 2 x + 1) e x
2 2
Vậy  f ( x)dx =  ( 2 x + 1) e x dx = 3e 2 - e .
1 1

( S ) : ( x + 1) + ( y - 2 ) + ( z - 3) = 9 và ba điểm
2 2 2

Theo công thức Newton-Leibniz: ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=F(3)-F(1)$.
Chọn B.

Ta có ${\int }_1^{7}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_3^{7}f(x)\mathrm{d}x=5+9=14$.
Chọn C.

Ta có $I=x\ln x{|}_1^4-{\int }_1^4\mathrm{d}x=4\ln 4-3=8\ln 2-3\Rightarrow a=8,b=-3\Rightarrow S=a+3b=-1$.
Chọn D.

Ta có $[x^2{f}^{\prime }(x){]}^3=2f(x)+5\iff \frac{2f^{\prime }(x)}{\sqrt[3]{2f(x)+5}}=\frac{2}{x^2}$.
Lấy tích phân trên $[1;4]$: ${\int }_1^4\frac{2f^{\prime }(x)}{\sqrt[3]{2f(x)+5}}\mathrm{d}x={\int }_1^4\frac{2}{x^2}\mathrm{d}x\iff \frac{3}{2}\sqrt[3]{(2f(x)+5{)}^2}{|}_1^4=\frac{3}{2}\iff \sqrt[3]{(2f(4)+5{)}^2}=5\Rightarrow f(4)=\frac{5(\sqrt{5}-1)}{2}$.
Chọn B.

Chọn C.
Ta có: ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_1^{2}g(x)\mathrm{d}x=5-2=3$.

Chọn D.
Ta có ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[f(x)+2\sin x]\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)\mathrm{d}x+2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\mathrm{d}x=3+2=5$.

Chọn C.
Đặt $t=\frac{x}{2}\Rightarrow 2\mathrm{d}t=\mathrm{d}x$; $\{\begin{array}{l}x=4\Rightarrow t=2\\ x=0\Rightarrow t=0\end{array}\Rightarrow I={\int }_0^{4}x{f}^{\prime }\left(\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{2}2t\cdot f^{\prime }(t)\cdot 2\mathrm{d}t=4{\int }_0^{2}t{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$.
Đặt $\{\begin{array}{l}u=t\\ \mathrm{d}v=f^{\prime }(t)\mathrm{d}t\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{d}u=\mathrm{d}t\\ v=f(t)\end{array}$, khi đó:
$I=4\left[{(tf(t))|}_0^2-{\int }_0^{2}f(t)\mathrm{d}t\right]=4[2f(2)-4]=4[2\cdot 16-4]=112$.

Chọn B.
Ta có $I={\int }_{-2}^{2}f\left(\sqrt{x^2+5}-x\right)\mathrm{d}x=1$.
Đặt $t=\sqrt{x^2+5}-x\Rightarrow t+x=\sqrt{x^2+5}\Rightarrow (t+x{)}^2=x^2+5\iff t^2+2xt+x^2=x^2+5\iff 2xt=5-t^2\Rightarrow x=\frac{5-t^2}{2t}$
$\Rightarrow \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left(\frac{-2t^2-5+t^2}{t^2}\right)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\left(-1-\frac{5}{t^2}\right)\mathrm{d}t$.
Đổi cận: $x=2\Rightarrow t=1$; $x=-2\Rightarrow t=5$.
Khi đó $I=\frac{1}{2}{\int }_5^{1}f(t)\left(-1-\frac{5}{t^2}\right)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\int }_5^{1}f(x)\left(-1-\frac{5}{x^2}\right)\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}{\int }_5^{1}f(x)\mathrm{d}x-\frac{5}{2}{\int }_5^1\frac{f(x)}{x^2}\mathrm{d}x$
$=\frac{1}{2}{\int }_1^{5}f(x)\mathrm{d}x+\frac{5}{2}{\int }_1^5\frac{f(x)}{x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_1^{5}f(x)\mathrm{d}x+\frac{15}{2}=1\Rightarrow {\int }_1^{5}f(x)\mathrm{d}x=-13$.

Bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của trường là C ($\frac{9}{2}$); lưu ý ${\int }_0^{\ln 3}{e}^{2x}dx={\frac{1}{2}{e}^{2x}|}_0^{\ln 3}=\frac{1}{2}(9-1)=4$.