Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-6x+5}{-4x-3}$ xác định khi $-4x-3\ne 0\iff x\ne -\frac{3}{4}$. Tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\frac{3}{4}$ (tử số tại $x=-\frac{3}{4}$ bằng $-6\cdot (-\frac{3}{4})+5=\frac{9}{2}\ne 0$). Khớp đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ có mẫu bằng 0 tại $x=-2$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, do đó a) Sai. Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x+2}=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$, b) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ là giao hai tiệm cận $(-2;1)$, không phải $(1;-2)$, c) Sai. Điểm $M^{\prime }(-4-m;2-n)$ là ảnh của $M(m;n)$ qua phép đối xứng tâm $I(-2;1)$ (vì $\frac{m+(-4-m)}{2}=-2$, $\frac{n+(2-n)}{2}=1$). Kiểm tra: nếu $n=\frac{m-1}{m+2}$ thì $2-n=\frac{2(m+2)-(m-1)}{m+2}=\frac{m+5}{m+2}$, còn $f(-4-m)=\frac{-5-m}{-2-m}=\frac{m+5}{m+2}=2-n$, nên $M^{\prime }$ thuộc đồ thị, d) Đúng. Kết quả S-Đ-S-Đ khớp bảng đáp án mã đề 1252 (SDSD). Lưu ý ghi chú 'errors' trong dữ liệu nguồn là nhầm: đáp án nguồn đã đánh dấu b) là Đúng, không có mâu thuẫn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x+2=0$ tại $x=-2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x+2}=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận ngang $y=1$, tức $(-2;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M^{\prime }(-4-m;2-n)$ đối xứng với $M(m;n)$ qua tâm $I(-2;1)$. Với $n=\frac{m-1}{m+2}$, ta có $2-n=\frac{m+5}{m+2}=f(-4-m)$, nên $M^{\prime }$ thuộc đồ thị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\frac{d}{c}$. Từ đồ thị, nhánh cong tiến đến vô cực khi $x$ tiến về 1 (đường đứt nét đứng tại $x=1$), đồng thời tiệm cận ngang là $y=1$ (đường đứt nét ngang). Vậy tiệm cận đứng là $x=1$, tương ứng đáp án B. Khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1252: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Khi $x\to +\infty$ thì $y\to 2$ (và nhánh bên trái tiến tới 2 khi $x\to -\infty$), nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vậy tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là $x=1;y=2$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 2025, câu 2 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 1^{\pm }$ thì $y\to \pm \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Khi $x\to -\infty$, $y\to 2$ và khi $x\to +\infty$, $y\to 2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vậy tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là $x=1;y=2$, tương ứng phương án D (khớp với đáp án nguồn, mã đề 1025 câu 2 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+x+2}{x-1}=2x+3+\frac{5}{x-1}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=2x+3$, tức $a=2,b=3$. Do đó $T=5a+2b=10+6=16$, khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 1 = 16).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2-x+3}{x+1}=2x-3+\frac{6}{x+1}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=2x-3$, tức $a=2,b=-3$. Do đó $T=3a-5b=3\cdot 2-5\cdot (-3)=6+15=21$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (21).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to -\infty$ thì $y\to 2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$ (khi $x\to +\infty$, $y\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên phải). Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$, khớp đáp án B (khớp mã đề 101).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Khi $x\to -\infty$ và $x\to +\infty$ thì $y\to 1$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$. Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận (một đứng và một ngang), đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{x-2}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}$, xác định với $x\ne -1$.
a) $g(x)=2f(x)=\frac{2x-4}{x+1}$, khi $x\to \pm \infty$ thì $g(x)\to 2$, nên tiệm cận ngang của $(C^{\prime })$ là $y=2$. Đúng.
b) Tiệm cận đứng của $(C)$ là $x=-1$ ( mẫu số bằng 0 ), không phải $x=1$. Sai.
c) Tâm đối xứng của $(C)$ là $I(-1;1)$. Điểm $B(x;y)$ trên $(C)$ với $x$ nguyên dương: $y=1-\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1\in \{3\}$ (vì $x>0$ nên $x+1\ge 2$, ước của 3 lớn hơn 1 chỉ có 3), tức $x=2$, $y=0$, $B(2;0)$. Khoảng cách $BI=\sqrt{(2+1{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{10}$. Đúng.
d) $g(0)=2f(0)=2\cdot (-2)=-4$, giao điểm với trục tung là $A(0;-4)$. Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 122: DSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\frac{2x-4}{x+1}\to 2$ khi $x\to \pm \infty$, tiệm cận ngang là $y=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$, tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng $I(-1;1)$. Với $x$ nguyên dương, $y=1-\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1=3$, tức $B(2;0)$. $BI=\sqrt{3^2+1}=\sqrt{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(0)=2f(0)=2\cdot \frac{-2}{1}=-4$, giao điểm là $A(0;-4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: a) Sai vì mẫu số x+1=0 tại x=-1, tiệm cận đứng là x=-1. b) Đúng: g(x)=2(x-2)/(x+1) có lim khi x→∞ bằng 2, tiệm cận ngang y=2. c) Đúng: g(0)=2·(-2/1)=-4, giao điểm trục tung A(0;-4). d) Đúng: tâm đối xứng I(-1;1). Điểm B(x;y) trên (C) với x nguyên dương, y nguyên: y=(x-2)/(x+1)=1-3/(x+1), cần x+1 thuộc ước của 3, x>0 nên x=2, B(2;0). IB=√((2+1)²+(0-1)²)=√10. Khớp đáp án SDDD của mã đề 121.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng: x+1=0 ⇒ x=-1, không phải x=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
g(x)=2(x-2)/(x+1), lim_{x→±∞} g(x)=2 nên TCN là y=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
g(0)=2·f(0)=2·(-2)=-4 nên A(0;-4).
d) (AI giải đề cho tôi)
I(-1;1). y=1-3/(x+1) nguyên với x nguyên dương ⇒ x=2, B(2;0), IB=√(9+1)=√10.

Chọn A. Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (tiệm cận ngang của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ là $y=\frac{a}{c}=1$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (đường $y=1$ được ghi rõ trên hình, nhánh đồ thị tiến tới $1$ khi $x\to \pm \infty$). Với hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}=1$. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 5: B).

$y=4x-9+\frac{3}{2x-8}$
${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(4x-9)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3}{2x-8}=0$.
Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=4x-9+\frac{3}{2x-8}$ là đường thẳng có phương trình $y=4x-9$.

$y=-2x-8+\frac{3}{4x-9}$

${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(-2x-8)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3}{4x-9}=0$.

Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=-2x-8+\frac{3}{4x-9}$ là đường thẳng có phương trình $y=-2x-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của $y=f(x)$: khi $x\to -\infty$ thì $y\to -1$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$. Tại $x=1$, hàm số tiến đến $+\infty$ (bên trái) và $-\infty$ (bên phải), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$, không có thêm tiệm cận ngang; tại $x=3$ hàm đạt giá trị $2$ (cực đại) nên không phải tiệm cận. Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là $2$, khớp đáp án A (đối chiếu bảng đáp án mã đề 202, câu 1: A).

Từ bảng biến thiên, ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1$. Và ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=-1$. Vậy đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tổng cộng 2 đường tiệm cận đứng và ngang.

Chọn A

Tập xác định: $(-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{\sqrt{x^2-4}}=-2$

và $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{\sqrt{x^2-4}}=2$

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là $y=2$ và $y=-2$.

Mà $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{\sqrt{x^2-4}}=-\infty$; $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{\sqrt{x^2-4}}=+\infty$

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận đứng là $x=2$ và $x=-2$

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 4 đường tiệm cận.

TCN: $y=2$, TCD: $x=\frac{-3}{4}$, $x=1$. (Đáp án D được gạch chân trong bản gốc; lời giải in trong nguồn chỉ nêu các đường tiệm cận như trên.)

Chọn D. Tập xác định: $D=(-\infty ;-2]\cup (2;+\infty )$. Vì ${\lim }_{x\to -\infty }y={\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{x^2-4}}{x-2}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{-\sqrt{1-\frac{4}{x}}}{1-\frac{2}{x}}=-1$ và ${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x^2-4}}{x-2}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{1-\frac{4}{x}}}{1-\frac{2}{x}}=1$. Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là $y=-1$; $y=1$. Vì ${\lim }_{x\to 2^{+}}y={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt{x^2-4}}{x-2}={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}=+\infty$. Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là $x=2$. Vậy đồ thị hàm số đã cho có tổng số 3 đường tiệm cận.