Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{x+1}=2$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{2x-3}=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$. Chọn đáp án A.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Ta có ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{2x-1}{x-3}=+\infty$. Suy ra đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=3$.

Tập xác định: $(2;+\infty )$.
${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-3x+2}=0$ nên $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
${\lim }_{x\to 2^{+}}y={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-3x+2}={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{1}{(x-1)\sqrt{x-2}}=+\infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận.

**Chọn C**

Ta có ${\lim }_{x\to -2}(x+2)=0$ và ${\lim }_{x\to -2}(2x-1)=-5\ne 0$. Do đó $x=-2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

**Chọn D**

Tập xác định: $D=[-2;2)\cup (2;+\infty )$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }y=0\Rightarrow y=0$ là 1 tiệm cận ngang.
- Tiệm cận đứng:
+ ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty \Rightarrow x=2$ là 1 tiệm cận đứng.
+ ${\lim }_{x\to -2^{+}}y=+\infty \Rightarrow x=-2$ là 1 tiệm cận đứng.
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2+1=3$.

Từ đồ thị hàm số, đường tiệm cận ngang của đồ thị là đường thẳng $y=1$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 5): C.

Ta có $f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}$ với tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (d Sai). Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (b Đúng) và tiệm cận xiên $y=x+1$ (c Sai). Tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận $A(1;2)\Rightarrow x_0+y_0=3$ (a Đúng). Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 5): Đ-Đ-S-S.

Ta có ${\lim }_{x\to -3^{+}}\frac{x}{x+3}=-\infty$ và ${\lim }_{x\to -3^{-}}\frac{x}{x+3}=+\infty$. Do đó đường thẳng $x=-3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Từ bảng biến thiên:
- ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty \Rightarrow x=-1$ là tiệm cận đứng.
- ${\lim }_{x\to +\infty }y=2$ và ${\lim }_{x\to -\infty }y=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$.

Theo định nghĩa tiệm cận ngang:
- ${\lim }_{x\to +\infty }y=1\Rightarrow y=1$ là một tiệm cận ngang.
- ${\lim }_{x\to -\infty }y=-1\Rightarrow y=-1$ là một tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $y=1$ và $y=-1$.

- Tiệm cận ngang: Vì $f(x)$ là hàm bậc ba nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty \Rightarrow {\lim }_{x\to \pm \infty }g(x)=0$. Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$.
- Tiệm cận đứng: Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình mẫu số $f(x)-2=0\iff f(x)=2$.
Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=2$ nằm giữa cực tiểu $y_{CT}=1$ và cực đại $y_{CĐ}=3$ nên cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 3 điểm phân biệt. Mẫu số có 3 nghiệm đơn phân biệt, suy ra đồ thị có 3 tiệm cận đứng.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $3+1=4$.

Điều kiện xác định: $1-x^2\ge 0\iff -1\le x\le 1$ và $x^2+2x\ne 0\iff x\ne 0,x\ne -2$. Do đó tập xác định là $D=[-1;1]\setminus \{0\}$.
Vì $D$ là tập bị chặn nên đồ thị không có tiệm cận ngang.
Xét tại $x=0$: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x(x+2)}=\infty$, do đó $x=0$ là tiệm cận đứng duy nhất. Tổng số đường tiệm cận là 1. Chọn C.

Vì ${\lim }_{x\to 3^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 3^{-}}y=-\infty$ nên đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=\frac{m}{2}$. Vì tiệm cận ngang đi qua $M(1;3)$ nên $\frac{m}{2}=3\iff m=6$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
Ta có ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}y={\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}\frac{x-2}{x+1}=-\infty$; ${\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}y=+\infty \Rightarrow x=-1$ là đường tiệm cận đứng.

Tập xác định $D=[-4;+\infty )\setminus \{0\}$.
Ta có ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1+\sqrt{x+4}}{x^2+5x}=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang.
Lại có ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1+\sqrt{x+4}}{x^2+5x}=+\infty$; ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1+\sqrt{x+4}}{x^2+5x}=-\infty \Rightarrow x=0$ là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4x+1}{x-1}=4$, nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y=4$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0171, trang 5): D.

Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên đồ thị có 1 tiệm cận ngang $y=0$. Mẫu số $x^2+3x-4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$. Cả hai nghiệm này đều không phải là nghiệm của tử số nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng $x=1$ và $x=-4$. Tổng cộng có 3 đường tiệm cận. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn B.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x-1}{-x-1}=\frac{3}{-1}=-3$. Do đó đường tiệm cận ngang là $y=-3$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn B.