Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

**Chọn A**

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$\frac{2x-3}{x+3}=x-1\iff 2x-3=(x-1)(x+3)\iff 2x-3=x^2+2x-3\iff x^2=0\iff x=0$.
Với $x=0\Rightarrow y=0-1=-1$.
Vậy tung độ giao điểm bằng $-1$.

**Chọn C**



Đặt $t=\cos x$. Với $x\in \left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$, ta có $t\in [-1;0)$.
Với $t\in [-1;0)$, nhìn vào đồ thị hàm số $y=f(t)$, ta có $u=f(t)\in [-1;1)$.
Khi đó phương trình trở thành $f(u)=m$ với $u\in [-1;1)$.
Với $u\in [-1;1)$, nhìn vào đồ thị ta thấy giá trị của $f(u)$ chạy trong nửa khoảng $[-1;3)$.
Để phương trình có nghiệm thì $-1\le m<3$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \{-1;0;1;2\}$, có $4$ giá trị nguyên thỏa mãn.

Từ đồ thị hàm số ta thấy hai điểm cực đại có tung độ bằng $1$ và điểm cực tiểu có tung độ bằng $0$.

Phương trình $f(x)=m$ có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
- $m=1$ (tiếp xúc tại hai điểm cực đại, có đúng 2 nghiệm).
- $m<0$ (cắt 2 nhánh ngoài đi xuống âm vô cùng).

Vì $m$ là số nguyên dương nên chỉ có đúng 1 giá trị là $m=1$.

Phương trình tương đương $f(x)=\frac{3}{2}=1.5$. Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(0;+\infty )$, đường thẳng $y=1.5$ cắt đồ thị hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt (do $1<1.5<2$). Vậy phương trình có 2 nghiệm thực dương. Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{3x-2}{x-2}=x+1\iff 3x-2=x^2-x-2\iff x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=4$. Tọa độ hai giao điểm là $A(0;1)$ và $B(4;5)$. Trung điểm $M$ có tọa độ $M(2;3)$. Chọn B.

Xét $x\ne 1,2,\dots ,2022$, phương trình tương đương $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=m+1\iff {\sum }_{i=1}^{2022}\frac{1}{x-i}=m+1$. Hàm số $g(x)={\sum }_{i=1}^{2022}\frac{1}{x-i}$ có đạo hàm $g^{\prime }(x)=-{\sum }_{i=1}^{2022}\frac{1}{(x-i{)}^2}<0,\forall x\ne i$. Trên mỗi khoảng $(i;i+1)$ ($1\le i\le 2021$), $g(x)$ giảm từ $+\infty$ về $-\infty$, nên phương trình $g(x)=m+1$ luôn có đúng 1 nghiệm thuộc mỗi khoảng $(i;i+1)$ (tổng cộng 2021 nghiệm). Để có đúng 2022 nghiệm phân biệt thì phương trình phải có thêm 1 nghiệm thuộc $(-\infty ;1)\cup (2022;+\infty )$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $m+1\ne 0\iff m\ne -1$. Số giá trị nguyên $m\in [-2022;2022]\setminus \{-1\}$ là $4045-1=4044$. Chọn D.

Đặt $t=|x-1|\ge 0$. Phương trình trở thành $f(t)=m-2$. Với mỗi nghiệm $t>0$, phương trình $|x-1|=t$ cho hai nghiệm đối xứng qua 1: $x=1-t<1$ và $x=1+t>1$. Để có 4 nghiệm thỏa mãn $x_1<x_2<x_3<1<x_4$, đồ thị $y=f(t)$ với $t\ge 0$ phải cắt đường thẳng $y=m-2$ tại 2 điểm phân biệt dương $t_1,t_2$. Dựa vào bảng biến thiên của $f(x)$ với $x\ge 0$, điều này xảy ra khi $2<m-2<4\iff 4<m<6$. Chọn C.

Từ phương trình hàm đặc trưng $2^{2y-x^2}={\log }_{2y+1}x$, xét hàm số chứng minh được $2y+1=x^2+1\iff 2y=x^2$. Thay vào hệ thức thứ hai: $(x^2{)}^2=10x^2+mx+1\iff x^4-10x^2-mx-1=0\iff m=\frac{x^4-10x^2-1}{x}$. Khảo sát hàm số tìm các giá trị của $m$ để có duy nhất một nghiệm, ta đếm được 2035 giá trị nguyên của $m\in [-2022;2022]$. Chọn D.

Đặt $u=3{\log }_{3}x$ với $x\in \left[\frac{1}{\sqrt[3]{3}};3\right)\Rightarrow u\in [-1;3)$.
Do hàm số $u=3{\log }_{3}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ nên mỗi giá trị $u\in [-1;3)$ tương ứng với duy nhất một nghiệm $x\in \left[\frac{1}{\sqrt[3]{3}};3\right)$.
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình $f(u)=m-1$ có nghiệm duy nhất trên $[-1;3)$.
Từ đồ thị hàm số suy ra: $\left[\begin{array}{c}m-1=1\\ 4<m-1<5\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}m=2\\ 5<m<6\end{array}\right]$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=2$. Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số $m$.

Xét hàm số $h(x)=f(x)-g(x)$. Hàm số $h(x)$ có 3 điểm cực trị. Số điểm cực trị của $y=|h(x)+m|$ bằng số cực trị của $h(x)$ cộng với số nghiệm đơn của phương trình $h(x)+m=0$. Để có đúng 7 điểm cực trị thì phương trình $h(x)=-m$ phải có 4 nghiệm đơn phân biệt. Điều này xảy ra khi $-5<-m<0$ hoặc $0<-m<5$ tùy thuộc vào vị trí tương đối. Với $AB=5$, ta tìm được $m\in \{-2;-1;1;2\}$. Có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.


Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(t)=3$ có nghiệm duy nhất $t=t_0$. Từ đó $1-f(2x)=t_0\iff f(2x)=1-t_0$. Quan sát giá trị $1-t_0$ cắt đồ thị tại đúng 2 điểm, suy ra phương trình có đúng 2 nghiệm. Chọn A.

Ta có $3f(x)-4=0⟺f(x)=\frac{4}{3}$. Vì $0<\frac{4}{3}<3$ nên đường thẳng $y=\frac{4}{3}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt. Vậy phương trình đã cho có $3$ nghiệm thực.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta có $g(x)=0⟺f\left(f(x)-1\right)=0⟺[<table><tbody><tr><td>f(x)-1=-1</td></tr><tr><td>f(x)-1=1</td></tr><tr><td>f(x)-1=2</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>f(x)=0\text{ (3 nghiệm)}</td></tr><tr><td>f(x)=2\text{ (2 nghiệm)}</td></tr><tr><td>f(x)=3\text{ (2 nghiệm)}</td></tr></tbody></table>$. Các nghiệm trên đôi một phân biệt nên phương trình $g(x)=0$ có $7$ nghiệm.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-x^2+2x-4=x+2\iff x^3-x^2+x-6=0\iff (x-2)(x^2+x+3)=0\iff x=2$. Với $x_0=2\Rightarrow y_0=2+2=4$. Chọn C.

Từ đồ thị, hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại $x=0$ và $x=2$, do đó $f^{\prime }(t)=0\iff t=0$ hoặc $t=2$. Khi đó $f^{\prime }[f(x)+4]=0\iff f(x)+4=0$ hoặc $f(x)+4=2\iff f(x)=-4$ hoặc $f(x)=-2$. Dựa vào đồ thị: đường thẳng $y=-4$ cắt đồ thị tại 1 điểm duy nhất; đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt khác điểm trên. Tổng cộng phương trình có $1+3=4$ nghiệm thực phân biệt. Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x=0\iff x(x^2-3)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{3}$. Vậy đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $a,0,b$ với $a<0<b$.

Suy ra $f(x^2)=1\iff \{\begin{array}{ll}{x}^2=a& (1)\\ x^2=0& (2)\\ x^2=b& (3)\end{array}$

- Phương trình (1) vô nghiệm vì $a<0$.
- Phương trình (2) có 1 nghiệm $x=0$.
- Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt $x=\pm \sqrt{b}$ (do $b>0$).

Vậy phương trình đã cho có tất cả $0+1+2=3$ nghiệm.

Ta có $2|f(x)|-3=0\iff |f(x)|=\frac{3}{2}\iff \{\begin{array}{l}f(x)=\frac{3}{2}\\ f(x)=-\frac{3}{2}\end{array}$

Dựa vào bảng biến thiên:
- Đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt.
- Đường thẳng $y=-\frac{3}{2}$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt.

Vậy phương trình có tất cả $2+2=4$ nghiệm thực phân biệt.

**Chọn A**

Ta có f ( x ) - 1 = m ⇔ f ( x ) = m + 1 , dựa vào đồ thị hàm số, phương trình có đúng ba
m∈'
→ m ∈ {-1, 0,1} .
nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi -1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2 ⇒⇒⇒
+

( a3 (

**Chọn D**

Để phương trình đó cho có hai nghiệm phân biệt z1 ; z2 thỏa mãn z1 = z2 thì xét

z 2 - 2 ( m + 1) z + 6m - 2 = 0(1)
Ta có: Δ' = m 2 - 4m + 3 = (m - 1)(m - 3)

[m > 3
+) TH1: Δ' > 0 ⇔ (m - 1)(m - 3) > 0 ⇔
.
]m < 1
Thì phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt z1 ; z2
Vậy z1 = z2 ⇔ z12 = z22 ⇔ ( z1 - z2 )( z1 + z2 ) = 0
Do z1 ; z2 là hai nghiệm phân biệt nên suy ra z1 + z2 = 0
Theo Vi-ét: z1 + z2 = 0 ⇔ 2 ( m + 1) = 0 ⇔ m = -1 (thỏa mãn)
Vậy TH1 có 1 giá trị của m
+) TH 2 : Δ' < 0 ⇔ (m - 1)(m - 3) < 0 ⇔ 1 < m < 3.
Thì phương trình (1) có hai nghiệm phức phân biệt z1 ; z2 ⇒ z1 = z2 ⇒ z1 = z2 .
Vậy TH2 có m = 2
Vậy tất cả có 2 giá trị của m thỏa mãn.