Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 + 7 x + 8 cắt trục hoành
x 3 + 7 x + 8 = 0 $\iff$ x = -1 .
Đồ thị hàm số y = x 3 + 7 x + 8 cắt trục hoành tại 1 điểm có hoành độ âm

Xét tương giao giữa hai đồ thị hàm số ta có:

Phương trình f ( x ) = m có đúng 3 nghiệm phân biệt $\iff$ -1 < m < 3 $\Rightarrow$ m $\in$ \{0;1; 2\} .
x -1 y +1 z - 3

Ta có $2f(x)+1=0\iff f(x)=-\frac{1}{2}$. Vì $-1<-\frac{1}{2}<0$, đường thẳng $y=-\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt, do đó phương trình có 3 nghiệm. Chọn D.

Đặt $u=x^2-4x$. Với $x\in (0;+\infty )$, hàm số $u(x)$ có bảng biến thiên: giảm từ $0$ về $-4$ trên $(0;2)$ và tăng từ $-4$ lên $+\infty$ trên $(2;+\infty )$. Mỗi giá trị $u\in (-4;0)$ cho 2 nghiệm $x>0$, mỗi giá trị $u\ge 0$ hoặc $u=-4$ cho 1 nghiệm $x>0$. Dựa vào bảng biến thiên của $f(u)$, tìm điều kiện của $m$ để phương trình có ít nhất 3 nghiệm, ta được 12 giá trị nguyên của $m$. Chọn C.

Phương trình $f(x)=m$ có ba nghiệm thực phân biệt $\iff$ đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt $\iff m\in (-2;2)$.

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1\}$. Vậy có $3$ giá trị nguyên của tham số $m$.

Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=0$ (nằm giữa $-2$ và $1$) cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $4$ điểm phân biệt, nên phương trình $f(x)=0$ có $4$ nghiệm.

Ta có $|f(x)|=1\iff f(x)=1$ hoặc $f(x)=-1$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, mỗi đường thẳng $y=1$ và $y=-1$ (đều nằm giữa $-2$ và $2$) cắt đồ thị tại $3$ điểm phân biệt, nên phương trình $|f(x)|=1$ có $6$ nghiệm thực phân biệt.

Ta có $f(x)+2=0\iff f(x)=-2$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=-2$.
Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị tại $3$ điểm phân biệt, do đó phương trình có $3$ nghiệm.

Dựa vào bảng biến thiên:
- Khi $x\in (-\infty ;0)$, $f(x)$ tăng từ $-\infty$ lên $2$, do đó đường thẳng $y=m$ cắt nhánh này tại $1$ điểm khi $m<2$.
- Khi $x\in (0;+\infty )$, $f(x)$ giảm từ $+\infty$ xuống $-1$ rồi tăng lên $+\infty$. Đường thẳng $y=m$ cắt nhánh này tại $2$ điểm phân biệt khi $m>-1$.
Do đó, để phương trình $f(x)=m$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt thì đường thẳng $y=m$ phải cắt cả hai nhánh, tức là $-1<m<2$.
Vậy tập hợp các giá trị cần tìm là $m\in (-1;2)$.

Ta có: $2f(x)-3=0\iff f(x)=\frac{3}{2}$. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 4 nghiệm.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-2x+1=x-1\iff x^3-3x+2=0\iff (x-1{)}^2(x+2)=0\iff x=1$ hoặc $x=-2$. Vậy có 2 giao điểm.

Xét hàm số $f(x)=x^4-2x^2-3$. Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm 1$.
Từ đồ thị hàm số $y=|x^4-2x^2-3|$, để phương trình có 6 nghiệm phân biệt thì $3 < 2m - 1 < 4 \Leftrightarrow 4 < 2m < 5 \Leftrightarrow 2 < m < \frac

$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x-1}{x+1}=-x+1\iff x-1=(1-x)(x+1)\iff x-1=1-x^2\iff x^2+x-2=0$. Theo định lý Viète, ta có $x_1+x_2=-1$. Chọn D.

**Chọn B**
Phương trình hoành dộ giao điểm của ( C ) với trục hoành là
x3 + 5 x = 0  x ( x 2 + 5) = 0  x = 0 .
Vậy có 1 giao điểm của ( C ) với trục hoành.

**Chọn D**
Dựa vào hình ảnh đồ thị hàm số, để phương trình f ( x ) = m có ba nghiệm thực phân biệt khi:
-1 < m < 3. Mà m ∈ ' nên m ∈ 0;1;2 .
Vậy có 3 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Từ đồ thị hàm số, để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại đúng 3 điểm phân biệt đều có hoành độ dương thì $y_{CT}<m<f(0)$. Dựa vào đồ thị, $f(0)=2$ và điểm cực tiểu có tung độ $-1<y_{CT}<0$. Khi đó $-1<m<2$, các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{0;1\}$ (gồm 2 giá trị nguyên). Chọn C.

Ta có: $x^3-3x^2+4+m=0\iff -x^3+3x^2-4=m$.

Do đó, số nghiệm của phương trình là số giao điểm giữa đồ thị hàm số $(C):y=-x^3+3x^2-4$ và đường thẳng $y=m$.

Để phương trình $x^3-3x^2+4+m=0$ có một nghiệm duy nhất lớn hơn $2$ thì đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $(C)$ tại một điểm duy nhất có hoành độ lớn hơn $2$.

Dựa vào đồ thị ta có $m<-4$.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Từ đồ thị của hàm số $y=f(x)$, ta thấy phương trình $f(u)=0$ có ba nghiệm phân biệt $u_1=a<-1$, $u_2=b\in (0;1)$, $u_3=c\in (1;3)$.
Do đó $f[f(x)]=0\iff [\begin{array}{rl}& f(x)=a<-1\\ & f(x)=b\in (0;1)\\ & f(x)=c\in (1;3)\end{array}$.

Dựa vào đồ thị:
- Đường thẳng $y=a<-1$ nằm dưới điểm cực tiểu $(1;-1)$, cắt đồ thị tại $1$ điểm duy nhất.
- Đường thẳng $y=b\in (0;1)$ nằm giữa giá trị cực tiểu $-1$ và giá trị cực đại $3$, cắt đồ thị tại $3$ điểm phân biệt.
- Đường thẳng $y=c\in (1;3)$ nằm giữa giá trị cực tiểu $-1$ và giá trị cực đại $3$, cắt đồ thị tại $3$ điểm phân biệt.

Tất cả các nghiệm trên đều phân biệt. Vậy phương trình $f[f(x)]=0$ có tất cả $1+3+3=7$ nghiệm.

**Chọn D**
TXĐ: D =  .
f ′ ( x )= 3 (1 − m3 ) x 2 + 6 x + 4 − m= 3 x 2 + 6 x + 4 − m ( 3m 2 x 2 + 1) .
Ta thấy: 3 x 2 + 6 x + 4 > 0, ∀x ∈ .
Điều kiện cần:

27 (1 − m ) + 27 + 3 ( 4 − m ) + 2 ≥ 0

 f ( 3) ≥ 0
3
−27 m − 3m + 68 ≥ 0
3

 ⇔ ⇔ .
 f ( 5 ) ≥ 0 125 (1 − m ) + 75 + 5 ( 4 − m ) + 2 ≥ 0
3
3
−125m − 5m + 222 ≥ 0
 Vì m ∈ [ −100,100] và m ∈  nên m ∈ {−100, −99, −98,..., 0,1} .
Điều kiện đủ:
Nếu m = 1 thì f ( x=
) 3x 2 + 3x + 2 ≥ 0 , ∀x ∈  .
Do đó, m = 1 (Nhận).
( )
Nếu m ≤ 0 thì −m 3m 2 x 2 + 1 ≥ 0, ∀x ∈ 
⇒ f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈  ⇒ Hàm số f đồng biến trên  .
Do đó, m ≤ 0 (Nhận).
Vậy có 102 giá trị nguyên m thoả mãn yêu cầu bài.