Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \alpha =3\cdot 2\cdot \cos \alpha =6\cos \alpha$. Vì $\vec{a}.\vec{b}=-3$ nên $\cos \alpha =-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}$. Với $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$, ta được $\alpha =120^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-3}{3\cdot 2}=-\frac{1}{2}$. Vì $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ nên $\alpha =120^{\circ }$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 5 đỉnh của ngũ giác ABCDE, mỗi vectơ được xác định bởi một cặp đỉnh có thứ tự (điểm đầu, điểm cuối) với hai đỉnh phân biệt. Số cách chọn điểm đầu là 5, sau đó chọn điểm cuối là 4 (khác điểm đầu), nên số vectơ khác vectơ 0 là $5\times 4=20$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{u}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với hình bình hành $ABCD$ tâm $O$:
- A: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$ đúng theo quy tắc hình bình hành tại đỉnh $C$.
- B: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$ (vì $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$), nên đúng.
- C: $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$, còn $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Vì $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$ nên hai vế đối nhau, khẳng định C sai.
- D: $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\vec{0}$, đúng.
Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$. Mặt khác $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$, suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$; vì $N$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\vec{0}$. Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$ và $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$. Cộng hai đẳng thức: $2\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN})+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$. Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})$. Kiểm tra bằng tọa độ: $A=0,B=2,C=3,D=5$ thì $M=1,N=4$, $\overrightarrow{MN}=3$; còn $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(3+3)=3$ khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=m\vec{b}$ và $\vec{a},\vec{b}$ ngược hướng nên $m<0$. Lấy độ dài hai vế: $\left|\vec{a}\right|=|m|\left|\vec{b}\right|$, suy ra $|m|=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$. Kết hợp $m<0$ ta được $m=-\frac{1}{3}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AK=\frac{2}{3}KB$ nên $AK:KB=2:3$, suy ra $AB=AK+KB=\frac{5}{2}AK$ hay $2\overrightarrow{AB}=5\overrightarrow{AK}$ (B đúng). Ta có $\overrightarrow{KA}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$ (C đúng). Với A: $\overrightarrow{KA}$ và $\overrightarrow{KB}$ ngược hướng, độ dài tỉ lệ $2:3$ nên $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\vec{0}$ (A đúng). D sai vì $\overrightarrow{KA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{KB}$, đúng phải là $\overrightarrow{KA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}$. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, thứ tự các điểm là I, A, ..., B trên cùng một đường thẳng, với A nằm giữa I và B và IA : AB = 1 : 3 (đoạn IA bằng 1 khoảng, đoạn AB bằng 3 khoảng bằng nhau). Khi đó $\overrightarrow{AI}$ có độ dài bằng 1 đơn vị, hướng từ A về I (trái), còn $\overrightarrow{AB}$ có độ dài 3 đơn vị, hướng từ A tới B (phải), tức $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AI}$. Suy ra $3\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}$, đúng với đáp án A. Kiểm tra các phương án khác: B sai vì $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ cùng hướng nên tổng không thể bằng $\vec{0}$; C đòi hỏi $\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BI}$ tức A gần B hơn, trái hình vẽ; D đòi hỏi $\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AI}$, cũng trái hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C^{\prime }$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{M{C}^{\prime }}$. Đẳng thức $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ trở thành $2\overrightarrow{M{C}^{\prime }}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}=-\overrightarrow{MC}$, tức $M$ là trung điểm của $C{C}^{\prime }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên tổng ba lực bằng vec-tơ không: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$. Vì tam giác MAB vuông tại M nên $\overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{MB}$, do đó $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=\sqrt{|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2}=\sqrt{50^2+50^2}=50\sqrt{2}$ (N). Vậy cường độ lực $F_3=50\sqrt{2}$ N, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt cạnh hình vuông $ABCD$ bằng $a$, chọn tọa độ $A(0;0),B(a;0),C(a;a)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(a;a)$, $\overrightarrow{BA}=(-a;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BA}=-a^2$. Độ dài: $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{BA}|=a$. Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA}\right)=\frac{-a^2}{a\sqrt{2}\cdot a}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Về mặt hình học: góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ là $45^{\circ }$ (góc giữa đường chéo và cạnh hình vuông), vì $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ nên góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BA}$ là $135^{\circ }$, suy ra $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, ta có $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$ (đường chéo), và góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $45^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \cos 45^{\circ }=a^2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. Vậy đáp án A đúng. (Cách khác: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=a^2+0=a^2$.)

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot (-2)+1\cdot 0=-2$. Độ dài: $|\vec{u}|=\sqrt{2}$, $|\vec{v}|=2$. Vậy $\cos (\vec{u},\vec{v})=\frac{-2}{\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{-1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc giữa hai vecto là $135^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto vuông góc khi $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$: $2\cdot m+(-m)(m+1)=0\iff 2m-m^2-m=0\iff m-m^2=0\iff m(1-m)=0\iff m=0$ hoặc $m=1$. Vậy có 2 giá trị của $m$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác MAB vuông tại A nên $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=0$. Với $M(m-4;1-m)$: $\overrightarrow{AM}=(m-6;-m)$, $\overrightarrow{AB}=(-3;6)$. Tích vô hướng: $-3(m-6)+6(-m)=-9m+18=0\Rightarrow m=2$. Vậy $M(-2;-1)$, tương ứng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 66: a) Trong hình bình hành $ABCD$, quy tắc hình bình hành cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ → đúng. b) Thay $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ vào vế trái: $\overrightarrow{AC}+5\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AC}$ → đúng. c) Với tâm $O$ là trung điểm $AC$ và $MD$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}$ và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$, nên tổng bằng $4\overrightarrow{MO}\ne \overrightarrow{MO}$ → sai. d) $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, nên tổng bằng $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên vế trái $=\overrightarrow{AC}+5\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}$, $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$, tổng bằng $4\overrightarrow{MO}\ne \overrightarrow{MO}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, tổng bằng $\vec{0}$.