Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương khi định thức bằng 0: $2\cdot 3-(-1)\cdot m=0\Rightarrow 6+m=0\Rightarrow m=-6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-6).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;9)$, $\overrightarrow{AC}=(0;5)$ nên $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=(-2;19)$, độ dài $=\sqrt{4+361}=\sqrt{365}$. Đúng. b) $\overrightarrow{AB}=(1-3;5-(-4))=(-2;9)$. Đúng. c) Trung điểm $I$ của $AB$ là $I(2;\frac{1}{2})$, vectơ chỉ phương của $CI$ là $\overrightarrow{CI}=(-1;-\frac{1}{2})$. Vectơ pháp tuyến $(9;-4)$ có tích vô hướng với $\overrightarrow{CI}$ bằng $-9+2=-7\ne 0$, nên $(9;-4)$ không là pháp tuyến của $CI$. Sai. d) $\overrightarrow{BC}=(2;-4)$ nên đường thẳng qua $A(3;-4)$ song song $BC$: $2(x-3)-4(y+4)=0\iff x-2y-11=0$. Thay $A$ vào $2x+y+2=0$ được $4\ne 0$. Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=(-2;19)$, độ dài $\sqrt{4+361}=\sqrt{365}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1-3;5+4)=(-2;9)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$I(2;0,5)$, $\overrightarrow{CI}=(-1;-0,5)$; $(9;-4)\cdot \overrightarrow{CI}=-7\ne 0$ nên không phải pháp tuyến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường qua $A$ song song $BC$ có phương trình $x-2y-11=0$, không phải $2x+y+2=0$ (vì $A$ không thỏa).

Đáp án: 6,32
Cách 1:

$$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}$$
Ta có $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}\approx 6,32$.
Cách 2: (Gắn tọa độ) Với A là gốc tọa độ và $A(0;0)$, $B(0;2)$, $C(3;0)$

Theo giả thiết ta có $\vec{a}=(6;-9)$; $\vec{b}=(3;m)$
Khi đó điều kiện để $\vec{a}\perp \vec{b}$ là $\vec{a}.\vec{b}=0\iff 6.3-9m=0$ từ đó suy ra $m=2$

Đáp án: 6,32
Cách 1:

$$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}$$
Ta có $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}\approx 6,32$.
Cách 2: (Gắn tọa độ) Với A là gốc tọa độ và $A(0;0)$, $B(0;2)$, $C(3;0)$

Theo giả thiết ta có $\vec{a}=(6;-9)$; $\vec{b}=(3;m)$
Khi đó điều kiện để $\vec{a}\perp \vec{b}$ là $\vec{a}.\vec{b}=0\iff 6.3-9m=0$ từ đó suy ra $m=2$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C(0;y)$ thuộc trục tung. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-4;-1)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;y-2)$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$: $(-4)(-1)+(-1)(y-2)=4-y+2=6-y=0$, suy ra $y=6$. Vậy $C(0;6)$, đáp án A. Kiểm tra: $C(0;6)$ thỏa mãn và là phương án duy nhất trên trục tung.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;3)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-1)$. $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{|-2-3|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $AC$ bằng $45^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác $ABCDE$ có 5 đỉnh. Mỗi vectơ được xác định bởi một cặp (điểm đầu, điểm cuối) gồm 2 đỉnh khác nhau, nên có $5\cdot 4=20$ vectơ. Vì điểm đầu và điểm cuối luôn khác nhau nên không có vectơ $\vec{0}$ nào. Vậy số vectơ khác vectơ $\vec{0}$ là 20, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, Phần III câu 2 = 20).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}$. Phương trình trở thành $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}$, tức $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CB}$. Thử $M$ là trung điểm $CA$: $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}$, nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}$ (vì $M$ trung điểm $CA$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$). Vậy $M$ là trung điểm $CA$, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$. Trong hình hộp, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và vì $M$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi khối lượng: 105g = 0,105 kg. Độ lớn lực hấp dẫn: $P=m\cdot g=0,105\cdot 9,8=1,029$ (N). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$, nên $36=9+16+2\vec{a}\cdot \vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{11}{2}$.

Do đó $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=9-11+16=14$.

Vậy $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{14}\approx 3,74$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ (quy tắc hình bình hành tại $A^{\prime }$). Vì $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$, suy ra $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$ (quy tắc ba điểm). Vậy $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ (đáy $ABCD$, mặt trên $EFGH$ với $E$ nằm trên $A$, $H$ nằm trên $D$), ta có $EH\parallel AD$ và cùng chiều nên $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}$. Do đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$. Vậy đáp án là $\overrightarrow{DB}$, khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng nằm trong mặt phẳng đáy $ABCD$, có độ dài bằng $a$ và vuông góc với nhau (góc $BAD=90^{\circ }$). Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|\cos 90^{\circ }=a\cdot a\cdot 0=0$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-5)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-3)(2)+(-5)(-2)=-6+10=4$. Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$. Do đó $\cos A=\frac{4}{\sqrt{34}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{272}}=\frac{4}{4\sqrt{17}}=\frac{1}{\sqrt{17}}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều ABCD cạnh 5, M trung điểm BC.
a) $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|BA||BC|\cos 60^{\circ }=5\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=\frac{25}{2}\ne 25$ → Sai.
b) $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BM}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ nên $3\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$ → Sai.
d) Tam giác ABC đều nên góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{\circ }$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=5\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{25}{2}\ne 25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ nên $3\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$. Vậy $m=-1,n=1,k=\frac{1}{2}$, suy ra $m+n+6k=-1+1+3=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, các vecto có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh và cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ (tức nằm trên hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song) là: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{CD}$. Vậy có 4 vecto khác $\vec{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. Chọn D.