Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh $4a$ nên góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Khi đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|AB|\cdot |AC|\cos 60^{\circ }=4a\cdot 4a\cdot \frac{1}{2}=8a^2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức: A đúng theo định nghĩa tích vô hướng $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a};\vec{b})$. B đúng vì $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}.\vec{b}+|\vec{b}{|}^2$ nên $\vec{a}.\vec{b}=\frac{1}{2}(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-|\vec{a}-\vec{b}{|}^2)$. D đúng vì $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}.\vec{b}+|\vec{b}{|}^2$. C sai: theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, $|\vec{a}.\vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$, dấu bằng chỉ xảy ra khi $\vec{a},\vec{b}$ cùng phương; nói chung $|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2\ne |\vec{a}.\vec{b}{|}^2$ (ví dụ $\vec{a}\perp \vec{b}$ khác $\vec{0}$ thì $|\vec{a}.\vec{b}{|}^2=0$). Vậy đẳng thức sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại A, góc B = 60° nên $AC=AB\tan 60°=a\sqrt{3}$. Ta có $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$, do đó $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}-|\overrightarrow{AC}{|}^2=0-3a^2=-3a^2$ (vì $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{AB}$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Do đó $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(-a^2+0)=-\frac{a^2}{2}$ (vì $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AB}=-|\overrightarrow{AB}{|}^2=-a^2$ và $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{AC}$ do tam giác vuông tại $A$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2={\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}=4+3+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 30^0=7+4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=7+6=13$. Vậy $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\sqrt{13}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, vì góc $A$ vuông và $AB=AD=a$ nên $B(0;a)$, $D(a;0)$. Hình thang vuông tại $A$ và $D$ với $CD=2a$ song song $AB$ nên $C(a;2a)$. Suy ra $\overrightarrow{AC}=(a;2a)$, $\overrightarrow{BD}=(a;-a)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=a\cdot a+2a\cdot (-a)=a^2-2a^2=-a^2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$, nên $16=16+9-2\vec{a}\cdot \vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{9}{2}$. Do đó $\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{9/2}{12}=\frac{3}{8}$. Vậy phát biểu đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\iff (\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}).\overrightarrow{CB}=0\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CB}=0$. Vậy $M$ nằm trên đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ (đường thẳng này luôn tồn tại và chứa mọi điểm $M$ thỏa mãn, kể cả $M=A$). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ nên theo tính chất đường trung bình: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, tức $MN=\frac{BC}{2}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$.
(a) Sai: $MN=\frac{BC}{2}\ne BC$.
(b) Sai: $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BC}\right|\ne \left|\overrightarrow{BC}\right|$.
(c) Sai: hai vectơ cùng hướng, không ngược hướng.
(d) Đúng: $P$ đối xứng với $M$ qua $N$ nên $N$ là trung điểm $MP$, do đó $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}=2\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}$.

a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình nên $MN=\frac{BC}{2}\ne BC$.

b) (AI giải đề cho tôi)
$\left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BC}\right|\ne \left|\overrightarrow{BC}\right|$.

c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ cùng hướng.

d) (AI giải đề cho tôi)
$N$ là trung điểm $MP$ nên $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét sáu điểm tùy ý $A,B,C,D,E,F$.

(a) VT $=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}\ne \overrightarrow{FA}$. Vậy sai.

(b) VT $=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EF}=(\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}$. Vậy đúng.

(c) Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$. Vậy đúng.

(d) VT − VP $=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{ED}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{ED})+(\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{AF})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EA}=\vec{0}$. Vậy hai vế bằng nhau, đúng.

a) Tổng rút gọn thành $\overrightarrow{AF}$, không phải $\overrightarrow{FA}$.

b) Rút gọn được $\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}$.

c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

d) Hiệu hai vế bằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EA}=\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a)$, khi đó $O(a/2;a/2)$.
(a) Đúng: trong hình vuông, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
(b) Sai: $\overrightarrow{OA}=\left(-\frac{a}{2};-\frac{a}{2}\right)$, $\overrightarrow{CB}=(0;-a)$, nên $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)$, độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}\ne a\sqrt{2}$.
(c) Sai: $\overrightarrow{AB}=(a;0)$, $\overrightarrow{DC}=(-a;0)$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec{0}$, độ dài bằng $0\ne a$.
(d) Sai: $\overrightarrow{CD}=(-a;0)$, $\overrightarrow{DA}=(0;-a)$ nên $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}=(-a;a)$, độ dài bằng $a\sqrt{2}\ne \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $A(0;0),B(a;0),C(a;a),O(a/2;a/2)$: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)$, độ dài $\frac{a\sqrt{2}}{2}\ne a\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ vì $AB\parallel DC$ và ngược hướng bằng độ dài, nên độ dài bằng $0\ne a$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}=(-a;a)$, độ dài bằng $a\sqrt{2}\ne \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 43: Tam giác ABC đều cạnh 3a, O là trọng tâm (giao ba đường trung tuyến). Đường cao h = 3a·√3/2.
(a) Sai: AO = (2/3)h = (2/3)·(3a√3/2) = a√3 ≠ 3a√3/2.
(b) Sai: |AB−AC| = |CB| = 3a ≠ 2a.
(c) Đúng: AB−AC = CB nên AB−CB−AC = (AB−AC)−CB = CB−CB = 0, do đó |AB−CB−AC| = 0.
(d) Sai: Gọi M trung điểm BC thì AB+AC = 2·AM, với AM = h = 3a√3/2 nên |AB+AC| = 3a√3 ≠ a√3.
a) (AI giải đề cho tôi)
AO = (2/3)·đường cao = (2/3)·(3a√3/2) = a√3 ≠ 3a√3/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
|AB−AC| = |CB| = 3a ≠ 2a.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB−AC = CB nên AB−CB−AC = CB−CB = 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
|AB+AC| = 2·AM = 2·(3a√3/2) = 3a√3 ≠ a√3.

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AB nên MA+MB=0 (đúng). N là trung điểm CD nên NC+ND=0 (đúng). MN = MA + AC + CN (đi qua A rồi C), nói chung MN ≠ MA+AC vì còn thiếu CN (sai). Đẳng thức trung điểm: 2MN = (AC+BD) đúng vì MN = MA+AC+CN = ½(AB+AC) + ½(AC+CD)... kiểm tra: MN = ½(A+B... cụ thể MN = N−M = ½(C+D) − ½(A+B) = ½(AC+BD), nên 2MN = AC+BD (đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AB nên MA = −MB, do đó MA+MB = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
N là trung điểm CD nên NC = −ND, do đó NC+ND = 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: MN = MA + AC + CN, nói chung MN ≠ MA+AC vì còn thiếu vecto CN.
d) (AI giải đề cho tôi)
MN = ½(AC+BD) (đẳng thức trung điểm với M trung điểm AB, N trung điểm CD), suy ra 2MN = AC+BD.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với tâm O làm gốc: đặt $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ thì $\overrightarrow{OC}=-\vec{a}$, $\overrightarrow{OD}=-\vec{b}$. Điểm $P$ thỏa $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}=-\frac{1}{3}\vec{a}$.
(a) Từ $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ suy ra $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\vec{0}$. Đúng.
(b) $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=-\frac{4}{3}\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=-2\vec{a}$. Khi đó $3\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AC}=-4\vec{a}+6\vec{a}=2\vec{a}\ne \vec{0}$. Sai.
(c) $M$ trung điểm $AB$: $\overrightarrow{OM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$; $N$ trung điểm $CD$: $\overrightarrow{ON}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}=-\overrightarrow{OM}$. Ta có $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}=\frac{1}{3}(-\vec{a}-3\vec{b})$ và $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OB}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}-\vec{b}=\frac{-\vec{a}-3\vec{b}}{2}$. Suy ra $\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}$, vậy $B,P,N$ thẳng hàng. Mệnh đề 'không thẳng hàng' sai.
(d) $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ (tâm hình bình hành). Vì $\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{OM}$ nên $O$ là trung điểm $MN$, do đó $MN$ cũng đi qua $O$. Ba đường thẳng $AC,BD,MN$ đồng quy tại $O$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ suy ra $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AP}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{OA}$ nên $3\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{OA}\ne \vec{0}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}$ nên $B,P,N$ thẳng hàng; mệnh đề 'không thẳng hàng' sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AC,BD$ cắt tại $O$ và $O$ là trung điểm $MN$ nên $MN$ đi qua $O$; ba đường thẳng đồng quy tại $O$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{BC}$, tức $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Từ $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{NA}-3\overrightarrow{AC}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$, tức $\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=(-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=2\overrightarrow{AC}$. (a) Sai vì $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}\ne 3\overrightarrow{AC}$. (b) Đúng vì $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$ nên hai vectơ cùng phương. (c) Sai vì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ (tam giác không suy biến), nên $M$ không thuộc đường thẳng $AC$. (d) Đúng vì $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ và $M\notin AC$, nên đường thẳng $MN$ song song với $AC$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$, không bằng $3\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$ nên hai vectơ cùng phương.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AC}$, nên $M$ không thuộc đường thẳng $AC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ và $M\notin AC$, nên $MN\parallel AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều nên góc B = góc C = 60°, đường cao AH vuông góc với BC. a) Góc giữa hai vectơ AB và AC bằng góc A = 60°, không phải 30° → Sai. b) AH ⊥ BC nên AH ⊥ CB (CB cùng phương với BC) → góc bằng 90° → Đúng. c) Góc giữa CA và CB bằng góc C = 60°; vì BC = −CB nên góc giữa CA và BC bằng 180° − 60° = 120° → Đúng. d) Góc giữa AH và BC bằng 90°, góc giữa BA và BC bằng góc B = 60°, nên góc giữa AH và BA bằng 90° − 60° = 30°, không phải 130° → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa AB và AC bằng góc A của tam giác đều là 60° ≠ 30°.
b) (AI giải đề cho tôi)
AH là đường cao nên AH ⊥ BC, do đó (AH, CB) = 90°.
c) (AI giải đề cho tôi)
(CA, CB) = 60° và BC ngược hướng CB nên (CA, BC) = 180° − 60° = 120°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa AH và BA bằng 90° − 60° = 30° ≠ 130°.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi ABCD cạnh 2, góc B = 60° nên góc A = góc D = 120°, góc C = 60°. Tam giác ABC có AB = BC = 2 và góc B = 60° nên ABC đều, do đó AC = 2 và góc giữa AB và AC bằng 60° → (a) đúng. Góc DAB = 120° nên góc giữa AB và DA (đối của AD) bằng 180° − 120° = 60° ≠ 30° → (b) sai. DA·DC = |DA||DC|cos120° = 2·2·(−1/2) = −2 ≠ 3 → (c) sai. Tọa hóa: A(0,0), B(2,0), C(3,√3), D(1,√3), O trung điểm AC = (3/2, √3/2). OB = (1/2, −√3/2), BA = (−2,0), tích vô hướng = −1 ≠ −3 → (d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB = BC = 2, góc B = 60° nên đều, góc BAC = 60°, vậy (AB, AC) = 60°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc DAB = 120°, góc giữa AB và DA = 180° − 120° = 60° ≠ 30°.
c) (AI giải đề cho tôi)
DA·DC = 2·2·cos120° = −2 ≠ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với A(0,0), B(2,0), C(3,√3), D(1,√3), O(3/2, √3/2): OB·BA = (1/2)(−2) + (−√3/2)(0) = −1 ≠ −3.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a), O(a/2,a/2), M(a/2,0).
(a) AB=(a,0), CA=(−a,−a) ⇒ AB·CA=−a²≠a² ⇒ Sai.
(b) AM=(a/2,0), AC=(a,a) ⇒ AM·AC=a²/2≠a²/3 ⇒ Sai.
(c) AD=(0,a), BD=(−a,0) ⇒ AD·BD=0; OM=(0,−a/2), AC=(a,a) ⇒ OM·AC=−a²/2; tổng = −a²/2≠a²/2 ⇒ Sai.
(d) AB+AD=(a,a); BD+BC=(−a,a)+(0,a)=(−a,2a) ⇒ tích vô hướng = −a²+2a²=a² ⇒ Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB·CA=(a,0)·(−a,−a)=−a²≠a².
b) (AI giải đề cho tôi)
AM·AC=(a/2,0)·(a,a)=a²/2≠a²/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
AD·BD=0 và OM·AC=−a²/2 nên tổng bằng −a²/2≠a²/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AB+AD)·(BD+BC)=(a,a)·(−a,2a)=−a²+2a²=a².

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ với $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=1$ và $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=60^{\circ }$. Do đó $A{C}^2=|\overrightarrow{AC}{|}^2=1^2+1^2+2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=2+1=3$, suy ra $AC=\sqrt{3}\approx 1,7$. Vậy $|\overrightarrow{AC}|\approx 1,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}$. Vì $M$ là trung điểm $BC$ của hình vuông cạnh 2 nên $BM=1$, $AB\perp BM$, do đó $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx 2,236$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $2$.