Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=10\cdot 8+12\cdot (-6)=80-72=8$. Độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{10^2+12^2}=\sqrt{244}$, $|\vec{v}|=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}=10$. Vậy $\cos \theta =\frac{8}{10\sqrt{244}}\approx 0,0512$, suy ra $\theta \approx 87,07^{\circ }\approx 87^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 101: 87).

(AI giải đề cho tôi)
Lực tổng hợp $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. Ta có $|\overrightarrow{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos 60^{\circ }=3600+3600+2\cdot 60\cdot 60\cdot \frac{1}{2}=10800$. Suy ra $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{10800}=60\sqrt{3}$ (N). Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án mã đề 1014.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, vectơ-không $\vec{0}$ cùng phương với mọi vectơ, và đó là vectơ duy nhất có tính chất này (một vectơ $\vec{u}\ne \vec{0}$ chỉ cùng phương với các vectơ có phương trùng với phương của $\vec{u}$, không thể cùng phương với mọi vectơ). Do đó có duy nhất một vectơ (là $\vec{0}$) cùng phương với mọi vectơ. Mệnh đề A đúng; B, C, D sai. Kết quả này trùng với đáp án A của mã đề 1014 trong bảng hướng dẫn chấm.

$$\overrightarrow{VT}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{VP}(dpcm)$$
Không chấm hình vẽ HS

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, theo quy tắc hình hộp với đỉnh chung $B$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Vì $I$ là trung điểm của $B{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=2\overrightarrow{BI}$. Vậy $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=2\overrightarrow{BI}$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 12: Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, $M$ điểm bất kì.

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$. Do đó:
$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA})+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}.$$

b) Vì $O$ là tâm hình bình hành nên $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$, suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$. Do đó:
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}.$$

c) Với điểm $M$ bất kì, ta có $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}$.

Suy ra:
$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}+\vec{0}=2\overrightarrow{MO},$$
$$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}+\vec{0}=2\overrightarrow{MO}.$$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$. (Đẳng thức này cũng đúng với mọi điểm $M$ do $O$ là trung điểm chung của $AC$ và $BD$.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên với mọi điểm $O$ ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ (tính chất trung điểm: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{OM}$ vì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$).

Tương tự, vì $N$ là trung điểm của $AC$: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{ON}$, và vì $P$ là trung điểm của $BC$: $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OP}$.

Cộng ba đẳng thức theo vế:
$$2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}+2\overrightarrow{OP}.$$

Chia hai vế cho 2 ta được:
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}.$$

Điều này đúng với mọi điểm $O$ (kể cả khi $O$ trùng với một trong các điểm đã cho). Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: Cho tam giác $ABC$, $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$.

a) Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$; vì $N$ là trung điểm $CA$ nên $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$; vì $P$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Do đó
$$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\vec{0}=\vec{0}.$$

b) Ta có $\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CN}$ (hiệu hai vectơ cùng điểm đầu $A$, hoặc vì $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$). Theo câu a), $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{CN}$. Khi đó
$$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}=\left(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}\right)=-\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{CN}=\vec{0}.$$

Cách trình bày trực tiếp: $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$, nên tổng bằng $\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)=\vec{0}$.

c) Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên với mọi điểm $O$: $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$. Tương tự, $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}\right)$ và $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$. Cộng vế theo vế:
$$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\left(2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$
Vậy đẳng thức được chứng minh với mọi điểm $O$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: Chứng minh hai đẳng thức vectơ bằng cách biến đổi mỗi vế về cùng một vectơ.

a) Ta có:
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CD}.$$
Mặt khác:
$$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CD}.$$
Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$ (đpcm).

b) Ta có:
$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}.$$
Vế phải:
$$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}.$$
Cách khác gọn hơn: biến đổi cả hai vế theo $\overrightarrow{AE}$:
- Vế trái: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}$; mà $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}$ nên vế trái $=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CD}$ (vì $\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}$).
- Vế phải: $\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CD}$ (vì $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}$).

Hai vế đều bằng $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CD}$, vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}$ (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16: Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$.

**Tính $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$:**
Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.
Do đó $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|=BC=a$.

**Tính $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$:**
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, theo quy tắc trung điểm ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$.
Vì $ABC$ đều cạnh $a$ nên đường trung tuyến $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2AM=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

**Kết luận:** $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=a$ và $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{v}$. E là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\vec{v}$. Do đó: $$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}.$$ Vậy $\overrightarrow{AE}=\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21: Cho hai điểm phân biệt A, B, tìm điểm M.

a) Với mọi điểm M ta có $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}$. Vậy đẳng thức luôn đúng với mọi điểm M (đúng).

b) Theo câu a), $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$ với mọi M. Nếu $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}$ thì $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}$, tức $\overrightarrow{AB}=\vec{0}$, mâu thuẫn với A ≠ B. Vậy không tồn tại điểm M (sai).

c) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}\iff \overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}$, tức M là trung điểm của AB. Vậy M là trung điểm đoạn AB.

d) $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AM}$ mà $\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{MA}$ nên $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MA}\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\vec{0}\Rightarrow M=A$. Vậy M trùng với A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}$. Gọi $G$ là trung điểm của $AC$, theo tính chất trung điểm ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MG}$. Suy ra $2\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MB}$, tức $\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{GB}$, nghĩa là $G$ là trung điểm của $MB$. Vậy $M$ là điểm đối xứng của $B$ qua $G$ (trung điểm của $AC$), hay $M$ thỏa $\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{BG}$. Điểm $M$ này tồn tại duy nhất và không phụ thuộc vị trí tam giác $ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 23. Ta có $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$.

a) Tọa độ các vectơ:
- $\vec{a}=2\vec{i}=(2;0)$.
- $\vec{b}=-3\vec{j}=(0;-3)$.
- $\vec{c}=3\vec{i}-4\vec{j}=(3;-4)$.
- $\vec{m}=3\vec{a}-2\vec{b}=3(2;0)-2(0;-3)=(6;0)-(0;-6)=(6;6)$.

b) Phân tích $\vec{c}$ theo $\vec{a}$, $\vec{b}$: tìm $x,y$ sao cho $\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}$, tức $(3;-4)=x(2;0)+y(0;-3)=(2x;-3y)$. Suy ra $2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}$ và $-3y=-4\Rightarrow y=\frac{4}{3}$.

Vậy $\vec{c}=\frac{3}{2}\vec{a}+\frac{4}{3}\vec{b}$. Kiểm tra: $\frac{3}{2}(2;0)+\frac{4}{3}(0;-3)=(3;-4)=\vec{c}$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $A(1;2)$, $B(-4;3)$, $M(t;0)$ ta có:
$$\overrightarrow{AM}=(t-1;0-2)=(t-1;-2),\overrightarrow{BM}=(t+4;0-3)=(t+4;-3).$$

a) Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}=(t-1)(t+4)+(-2)(-3)=t^2+3t-4+6=t^2+3t+2.$$

b) $\widehat{AMB}=90^0\iff \overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{BM}\iff \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}=0$
$$\iff t^2+3t+2=0\iff (t+1)(t+2)=0\iff t=-1\text{ hoặc }t=-2.$$

Vậy với $t=-1$ (khi đó $M(-1;0)$) hoặc $t=-2$ (khi đó $M(-2;0)$) thì góc $AMB$ bằng $90^0$. Kiểm tra: với $t=-1$: $\overrightarrow{AM}=(-2;-2)$, $\overrightarrow{BM}=(3;-3)$, tích vô hướng $=-6+6=0$; với $t=-2$: $\overrightarrow{AM}=(-3;-2)$, $\overrightarrow{BM}=(2;-3)$, tích vô hướng $=-6+6=0$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ $\vec{u}=\frac{1}{2}\vec{i}-5\vec{j}=\left(\frac{1}{2};-5\right)$ và $\vec{v}=k\vec{i}-4\vec{j}=(k;-4)$.

Điều kiện $\vec{u}$ vuông góc với $\vec{v}$ là $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$:
$$\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\cdot k+(-5)\cdot (-4)=\frac{k}{2}+20=0$$

Suy ra $\frac{k}{2}=-20$, tức là $k=-40$.

Thử lại: với $k=-40$ thì $\vec{v}=(-40;-4)$, khi đó $\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(-40)+(-5)(-4)=-20+20=0$. Vậy $\vec{u}\perp \vec{v}$ khi $k=-40$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C(x;0)$ thuộc trục hoành. Ta có $\overrightarrow{CA}=(-2-x;4)$, $\overrightarrow{CB}=(8-x;4)$. Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ khi $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$, tức $(-2-x)(8-x)+16=0\iff x^2-6x-16+16=0\iff x(x-6)=0\iff x=0$ hoặc $x=6$. Vậy $C(0;0)$ hoặc $C(6;0)$. Kiểm tra: với $C(0;0)$, $\overrightarrow{CA}=(-2;4)$, $\overrightarrow{CB}=(8;4)$, tích vô hướng $=-16+16=0$; với $C(6;0)$, $\overrightarrow{CA}=(-8;4)$, $\overrightarrow{CB}=(2;4)$, tích vô hướng $=-16+16=0$. Cả hai đều thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác ABCD có 4 đỉnh. Vectơ khác vec 0 có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt, nên số vectơ là số cách chọn điểm đầu và điểm cuối khác nhau: 4 × 3 = 12 vectơ (AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, do đó $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ và ngược hướng với $\overrightarrow{CB}$ → A sai. $M$ nằm trên đoạn $AB$ nên $\overrightarrow{MB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ → B đúng. $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng vì $M$ nằm giữa $A$ và $B$ → C sai. $N$ nằm trên $AC$ nên $\overrightarrow{AN}$ cùng hướng $\overrightarrow{AC}$, ngược hướng với $\overrightarrow{CA}$ → D sai.