Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc tại $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$.

Vì $O$ là tâm hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.

$M$ là trung điểm của $OA$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AO}=\frac{1}{4}\vec{u}+\frac{1}{4}\vec{v}$.

$N$ là trung điểm của $CD$: ta có $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$, nên $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\vec{u}+\vec{v}$.

Do đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{2}\vec{u}+\vec{v}\right)-\left(\frac{1}{4}\vec{u}+\frac{1}{4}\vec{v}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$.

Vậy $a=\frac{1}{4}$, $b=\frac{3}{4}$, suy ra $a+b=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$. Theo hình vẽ, $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ đối xứng qua đường thẳng $MC$ (góc $\widehat{AMB}=60^{\circ }$), nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ cùng phương với $\overrightarrow{MC}$ (tức ngược hướng $\overrightarrow{F_3}$). Do đó $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|$. Vì $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=25$ N và góc giữa chúng bằng $60^{\circ }$: ${\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|}^2=25^2+25^2+2\cdot 25\cdot 25\cdot \cos 60^{\circ }=625+625+625=1875$. Suy ra $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\sqrt{1875}=25\sqrt{3}\approx 43,3$ N. Vậy cường độ lực của $\overrightarrow{F_3}$ bằng $25\sqrt{3}\approx 43,3$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục Ox theo hướng của $\overrightarrow{F_1}$. Hai lực $\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ có độ lớn bằng nhau $20N$ và tạo với $\overrightarrow{F_1}$ các góc $45^0$ đối xứng nhau qua trục Ox nên thành phần theo phương vuông góc triệt tiêu, còn hợp thành phần theo phương Ox bằng: $2\cdot 20\cos 45^0=40\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}N$ cùng chiều $\overrightarrow{F_1}$. Để vật dừng lại, tổng các lực bằng $\vec{0}$: theo phương Ox ta có $F_1+20\sqrt{2}-F_2=0$. Mà $F_2=2F_1$ nên $2F_1=F_1+20\sqrt{2}\Rightarrow F_1=20\sqrt{2}N$. Vậy $F_2=2F_1=40\sqrt{2}\approx 56,6N$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(8-7;4+3)=(1;7)$, $\overrightarrow{AC}=(1-7;5+3)=(-6;8)$ → đúng.
b) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1\cdot (-6)+7\cdot 8=50\ne 0$, hai vecto không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng → sai.
c) $M(8;4)=B$ thuộc đường thẳng BC. $\overrightarrow{BC}=(-7;1)$, $\overrightarrow{AM}=(1;7)$, tích vô hướng $=1\cdot (-7)+7\cdot 1=0$ nên $AM\perp BC$ → M là hình chiếu vuông góc của A lên BC → đúng.
d) $AB=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$, $BC=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}$, $CD=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$, $DA=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}$; $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=1\cdot (-7)+7\cdot 1=0$. Bốn cạnh bằng nhau và có góc vuông tại B nên ABCD là hình vuông → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;7)$, $\overrightarrow{AC}=(-6;8)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=50\ne 0$ nên không cùng phương, ba điểm không thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
M=B thuộc BC và $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nên AM⊥BC.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bốn cạnh đều $\sqrt{50}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nên ABCD là hình vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}$. Khi đó $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=A{M}^2+\overrightarrow{MA}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=A{M}^2-\overrightarrow{AM}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. Gọi $H$ là trung điểm $BC$, vì tam giác $ABC$ đều nên $AH\perp BC$ và $D$ đối xứng $A$ qua $BC$ cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}$. Mặt khác $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$. Vậy $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=A{M}^2-\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AD}+\frac{a^2}{2}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ gốc tại B, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{BA}$ ($|\vec{u}|=4a$), $\vec{v}=\overrightarrow{BC}$ ($|\vec{v}|=3a$, $\vec{u}\perp \vec{v}$). M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$.

a) $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$. Khẳng định $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}$ SAI.

b) G là trọng tâm tam giác ACM nên với gốc B: $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BM})=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Khẳng định $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ SAI.

c) ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ABC}=90^{\circ }$, do đó $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$. ĐÚNG.

d) $\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=\left(\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\vec{u}-\vec{v}\right)=\frac{1}{4}|\vec{u}{|}^2-\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{v}+\frac{1}{6}\vec{v}\cdot \vec{u}-\frac{1}{3}|\vec{v}{|}^2=\frac{1}{4}(16a^2)-\frac{1}{3}(9a^2)=4a^2-3a^2=a^2$. Khẳng định $-a^2$ SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$, không có hệ số 3 trước $\overrightarrow{BC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BM})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, hệ số của $\overrightarrow{BA}$ là $\frac{1}{2}$ chứ không phải $\frac{3}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}$, tích vô hướng bằng 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=\frac{1}{4}(4a{)}^2-\frac{1}{3}(3a{)}^2=4a^2-3a^2=a^2\ne -a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(0,a)$, $C(a,a)$, $O(a/2,a/2)$, $M(a/2,0)$.
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\cdot (-\overrightarrow{AC})=-a^2\ne a^2$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}{a}^2\ne \frac{a^2}{3}$ → Sai.
c) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=a^2$; $\overrightarrow{OM}=(0,-a/2)$, $\overrightarrow{AC}=(a,a)$ nên $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{a^2}{2}$. Tổng bằng $\frac{a^2}{2}$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=(a,a)$; $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}=(-a,a)+(0,a)=(-a,2a)$. Tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\cdot (-\overrightarrow{AC})=-a^2\ne a^2$, sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{a^2}{2}\ne \frac{a^2}{3}$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=a^2$ và $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{a^2}{2}$, tổng bằng $\frac{a^2}{2}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot (\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AC}\cdot (-a,2a)=a^2$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ đều cạnh 3. Với mọi điểm $M$ ta có đồng nhất thức:
$$M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2.$$
Vì $\Delta ABC$ đều cạnh 3 nên $GA=GB=GC=\frac{2}{3}A{M}_{\text{đường cao}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$, suy ra $G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2=3\cdot 3=9$.
Do đó:
$$3M{G}^2+9=15\Rightarrow M{G}^2=2\Rightarrow MG=\sqrt{2}.$$
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $R=\sqrt{2}\approx 1,41$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\overrightarrow{v_1}$ là vận tốc máy bay, $|\overrightarrow{v_1}|=700$ km/h (hướng đông sang tây); $\overrightarrow{v_2}$ là vận tốc gió, $|\overrightarrow{v_2}|=40$ km/h (hướng đông bắc sang tây nam). Theo hình vẽ, góc giữa $\overrightarrow{v_1}$ và $\overrightarrow{v_2}$ bằng $45^{\circ }$ (cả hai đều hướng về phía tây, gió lệch $45^{\circ }$ so với hướng bay). Vận tốc mới của máy bay là tổng: $\vec{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$. Độ lớn: $$|\vec{v}{|}^2=|\overrightarrow{v_1}{|}^2+|\overrightarrow{v_2}{|}^2+2|\overrightarrow{v_1}||\overrightarrow{v_2}|\cos 45^{\circ }=700^2+40^2+2\cdot 700\cdot 40\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$=490000+1600+28000\sqrt{2}=491600+28000\sqrt{2}\approx 531197.99$$ Vậy $|\vec{v}|\approx \sqrt{531197.99}\approx 728.83$ km/h. Tốc độ mới của máy bay khoảng $728.83$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19: Cho tam giác ABC có AB=2, AC=3, góc BAC=60°, M là trung điểm BC.

a) Điểm D thỏa mãn vecto AD = (7/12) vecto AC: D nằm trên tia AC sao cho AD = (7/12)·AC = (7/12)·3 = 7/4, tức D thuộc đoạn AC với AD/DC = 7/5.

b) Tích vô hướng: vecto AB · vecto AC = AB·AC·cos(BAC) = 2·3·cos60° = 6·(1/2) = 3.

c) Biểu diễn theo vecto AB, vecto AC:
- Vì M là trung điểm BC: vecto AM = (1/2)(vecto AB + vecto AC).
- vecto BD = vecto AD − vecto AB = (7/12)vecto AC − vecto AB.

d) Chứng minh AM ⊥ BD:
vecto AM · vecto BD = (1/2)(vecto AB + vecto AC) · ((7/12)vecto AC − vecto AB)
= (1/2)[(7/12)(vecto AB·vecto AC) − |vecto AB|² + (7/12)|vecto AC|² − vecto AC·vecto AB]
= (1/2)[(7/12)·3 − 4 + (7/12)·9 − 3]
= (1/2)[7/4 − 4 + 21/4 − 3]
= (1/2)[7 − 7] = 0.
Vậy vecto AM ⊥ vecto BD, tức AM ⊥ BD (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20. a) Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, nên $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos A=bc\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$.
b) Vì $M$ là trung điểm $BC$, ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, suy ra ${\overrightarrow{AM}}^2=\frac{1}{4}\left({\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{AC}}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\left(c^2+b^2+b^2+c^2-a^2\right)=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$.
Vì $AD$ là phân giác trong góc $A$ nên theo tính chất đường phân giác $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$, do đó $\overrightarrow{AD}=\frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{b+c}$. Khi đó
$${\overrightarrow{AD}}^2=\frac{1}{(b+c{)}^2}\left(b^2{c}^2+c^2{b}^2+2bc\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2}\right)=\frac{bc\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)}{(b+c{)}^2}=\frac{bc\left[(b+c{)}^2-a^2\right]}{(b+c{)}^2}=bc\left(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2}\right).$$
Kiểm tra: khi $b=c$ (tam giác cân) thì ${\overrightarrow{AD}}^2=b^2-\frac{a^2}{4}$, đúng bằng ${\overrightarrow{AM}}^2=\frac{4b^2-a^2}{4}$ vì khi đó $D\equiv M$. Kết quả phù hợp.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, vectơ $\overrightarrow{OB}$ nằm trên đường thẳng $BE$ ($B,O,E$ thẳng hàng). Các đoạn thẳng nối hai đỉnh của lục giác và song song với $\overrightarrow{OB}$ (tức song song với $BE$) là: $BE$, $FA$, $CD$ (kiểm tra bằng tọa độ $A(1,0)$, $B(1/2,\sqrt{3}/2)$, $C(-1/2,\sqrt{3}/2)$, $D(-1,0)$, $E(-1/2,-\sqrt{3}/2)$, $F(1/2,-\sqrt{3}/2)$: $\overrightarrow{FA}=(1/2,\sqrt{3}/2)$ cùng phương $\overrightarrow{OB}$; $\overrightarrow{CD}=(-1/2,-\sqrt{3}/2)$ cùng phương; $\overrightarrow{BE}=(-1,-\sqrt{3})$ cùng phương; các đoạn khác không cùng phương). Mỗi đoạn cho 2 vectơ (hai chiều), nên có 6 vectơ: $\overrightarrow{BE},\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FA},\overrightarrow{AF},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét 8 điểm $A,B,C,D,O,P,Q,R$ với $O$ là tâm hình bình hành, $P,Q,R$ lần lượt là trung điểm $AB,BC,AD$.

- $\overrightarrow{PR}=\frac{\overrightarrow{BD}}{2}$: các vecto bằng nó là $\overrightarrow{PR}$ và $\overrightarrow{BO}=\frac{\overrightarrow{BD}}{2}$. Vậy có đúng 2 vecto → A đúng.

- $\overrightarrow{AR}=\frac{\overrightarrow{AD}}{2}=\frac{\overrightarrow{BC}}{2}$: các vecto bằng nó là $\overrightarrow{AR},\overrightarrow{BQ},\overrightarrow{PO},\overrightarrow{RD}$ (vì $\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{O}-\overrightarrow{P}=\frac{\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B}}{2}=\frac{\overrightarrow{BC}}{2}$ và $\overrightarrow{RD}=\frac{\overrightarrow{AD}}{2}$). Vậy có đúng 4 vecto → B đúng.

- $\overrightarrow{BO}=\frac{\overrightarrow{BD}}{2}=\overrightarrow{PR}$: có đúng 2 vecto → C đúng.

- $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{P}-\overrightarrow{O}=\frac{\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}}{2}=\frac{\overrightarrow{CB}}{2}$: chỉ có 2 vecto bằng nó là $\overrightarrow{OP}$ và $\overrightarrow{QC}$, không thể có 5 vecto → D sai.

Mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AK}=-2\overrightarrow{DK}$ suy ra $K$ nằm giữa $A$ và $D$ với $AK=2KD$, nên $AK=\frac{2}{3}AD=2a$, tức $\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$. Ta có $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Với $|\overrightarrow{AB}|=2a$, $|\overrightarrow{AD}|=3a$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=2a\cdot 3a\cos 60^{\circ }=3a^2$:
$$\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{AC}=\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}+|\overrightarrow{AD}{|}^2\right)-\left(|\overrightarrow{AB}{|}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}\right)$$
$$=\frac{2}{3}(3a^2+9a^2)-(4a^2+3a^2)=8a^2-7a^2=a^2.$$
Vậy $\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{x}=\vec{a}+\vec{b}$ và $\vec{y}=2\vec{a}-\vec{b}$ vuông góc nên $\vec{x}\cdot \vec{y}=0$. Tính: $\vec{x}\cdot \vec{y}=(\vec{a}+\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})=2{\vec{a}}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}+2\vec{a}\cdot \vec{b}-{\vec{b}}^2=2|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-|\vec{b}{|}^2$. Thay $|\vec{a}|=\sqrt{2}$, $|\vec{b}|=2$: $2\cdot 2+\vec{a}\cdot \vec{b}-4=0\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0$. Suy ra $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=0$, do đó góc giữa hai vecto là $90^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), D(a;0), B(0;a) (góc A vuông, AB=AD=a). Vì AB ∥ DC và DC = 2a nên C(a;2a). (a) CA² = a² + (2a)² = 5a²; DA² + DC² = a² + 4a² = 5a² → đúng. (b) |CA| = a√5 ≠ a√3 → sai. (c) Tam giác ABD vuông cân tại A nên góc ABD = 45°; BF là phân giác nên góc ABF = 22,5° ≠ 45° → sai. (d) Theo tính chất đường phân giác: AF/FD = AB/BD = a/(a√2), nên AF = a/(1+√2) = a(√2−1). BF² = AB² + AF² = a²[1 + (√2−1)²] = a²(4−2√2), BF = a√(4−2√2) ≈ 1,08a ≠ 2,08a → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
CA² = a² + 4a² = 5a² = DA² + DC² vì AD ⊥ DC.
b) (AI giải đề cho tôi)
|CA| = a√5, không phải a√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc ABD = 45°, BF là phân giác nên góc ABF = 22,5°.
d) (AI giải đề cho tôi)
AF = a(√2−1), BF = a√(4−2√2) ≈ 1,08a ≠ 2,08a.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong hình bình hành $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{AD}$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ (vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ trong hình bình hành) → Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AC}|=AC$ → Đúng.
d) $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=AC$ và $|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{DB}|=BD$. Điều kiện $AC=BD$ nghĩa là hai đường chéo bằng nhau, tức $ABCD$ là hình chữ nhật, không phải hình thoi → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{AD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên độ dài bằng $AC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện tương đương $AC=BD$: hai đường chéo bằng nhau, suy ra hình chữ nhật chứ không phải hình thoi.

(AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi — nguồn trang 25 chỉ in bảng Mệnh đề với cột Đúng/Sai để trống, không có đáp án chính thức)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Vì $G$ là trọng tâm: $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Vì $D$ đối xứng của $B$ qua $G$: $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}=\frac{2\vec{c}-\vec{b}}{3}$. Vì $M$ là trung điểm $BC$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$.

(a) Theo quy tắc ba điểm (Chasles): $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD}$ luôn đúng với mọi vị trí $M,G,D$.

(b) $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\ne 2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, nên sai.

(c) $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\frac{2\vec{c}-\vec{b}}{3}-\vec{c}=-\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Điểm $N$ không được định nghĩa trong đề; thử cả các vị trí tự nhiên (trung điểm $BC$, trung điểm $AG$) thì vế phải $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BN}$ đều không bằng $-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, nên mệnh đề sai.

(d) $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}=\frac{2\vec{c}-\vec{b}}{3}-\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}=\frac{4\vec{c}-2\vec{b}-3\vec{b}-3\vec{c}}{6}=\frac{\vec{c}-5\vec{b}}{6}=-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$, nên đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD}$ luôn đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\ne 2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$; điểm $N$ không được định nghĩa và vế phải không thể rút gọn về giá trị này.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{c}-5\vec{b}}{6}=-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A=(0,0)$, lục giác đều cạnh 1 với $B=(1,0)$, $C=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, $D=(1,\sqrt{3})$, $E=(0,\sqrt{3})$, $F=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$. Khi đó $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(1,0)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AE}=(0,\sqrt{3})$.
(a) $\overrightarrow{AD}=(1,\sqrt{3})=\vec{u}+\vec{v}$ → đúng.
(b) $\overrightarrow{AC}=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{3}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\ne \frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$ → sai (thực chất $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\frac{1}{2}(\vec{u}+\vec{v})$).
(c) $\overrightarrow{AF}=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\ne -\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}$ → sai.
(d) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{F}-\overrightarrow{E}=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}\ne -\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$ → sai.
Vậy chỉ mệnh đề (a) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A=(0,0),B=(1,0),D=(1,\sqrt{3})$, ta có $\overrightarrow{AD}=(1,\sqrt{3})=\vec{u}+\vec{v}$ (vì $\vec{u}=(1,0),\vec{v}=(0,\sqrt{3})$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{3}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$, khác $\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AF}=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$, khác $-\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{EF}=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}$, khác $-\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.