Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ với A bên phải, B trên phải, C trên trái, D bên trái, E dưới trái, F dưới phải. Đặt tọa độ: $A(1;0),B(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),C(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),D(-1;0),E(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}),F(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}),O(0;0)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$. Kiểm tra: $\overrightarrow{FO}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})=\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{OC}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})=\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{ED}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})=\overrightarrow{AB}$. Các phương án khác sai vì: A có $\overrightarrow{FD}=(-\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})\ne \overrightarrow{AB}$; B có $\overrightarrow{AC}=(-\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})\ne \overrightarrow{AB}$; C có $\overrightarrow{BO}=(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})\ne \overrightarrow{AB}$. Vậy đáp án là D, khớp đáp án nguồn (Mã đề 232, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ nằm giữa $M$ và $P$ nên tia $MN$ trùng tia $MP$, do đó hai vectơ $\overline{MN}$ và $\overline{MP}$ cùng hướng. Các cặp còn lại đều ngược hướng: $\overline{MN}$ ngược hướng $\overline{PN}$; $\overline{MP}$ ngược hướng $\overline{PN}$; $\overline{NP}$ ngược hướng $\overline{NM}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 232, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức với ba điểm phân biệt $A,B,C$:
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ đúng (quy tắc ba điểm).
- B: $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$ đúng.
- C: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ đúng.
- D: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$, nói chung khác $\overrightarrow{AB}$ (đúng phải là $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$). Vậy đẳng thức sai là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$. b) Sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\ne 7$. c) Sai: $O$ là tâm hình chữ nhật nên $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$, các vectơ không cùng hướng. d) Đúng: $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp BA$, do đó $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3a Đúng, 3b Sai, 3c Sai, 3d Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ với $AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\ne 7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là tâm hình chữ nhật: $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$, các vectơ không bằng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp BA$, suy ra $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos \widehat{BAC}=-5\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=-30\cdot \frac{1}{2}=-15$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-15).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Theo Pythagore: $A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2=52-36=16$, tức $AB=4$. Khi đó ${\left|2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|}^2=4A{B}^2+A{C}^2+4\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=64+36+0=100$, suy ra $\left|2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=10$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, do $AB\parallel CD$ và $AB=CD$ nhưng hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ có hướng ngược nhau nên $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, do đó D sai. Tương tự $\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{BC}$ nên C... xét kỹ: $AD\parallel BC$ và $AD=BC$, hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng (cùng đi từ cạnh này sang cạnh đối diện theo cùng chiều) nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, khẳng định C đúng. Các đáp án A, B sai vì $O$ là trung điểm của $BD$ và $AC$ nên $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$. Đáp án khớp với mã đề 1063 (câu 3: C).

Chọn C. Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

(AI giải đề cho tôi)
Với hai vectơ đơn vị $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$, ta có $\vec{a}=(2;3)=2(1;0)+3(0;1)=2\vec{i}+3\vec{j}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ khác véc tơ 0: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)$. Do đó khẳng định A đúng. B sai vì $|\vec{a}\cdot \vec{b}|$ là giá trị tuyệt đối của một số, không phải tích hai độ dài; C sai vì dùng sin thay vì cos; D sai vì chỉ đúng khi hai véc tơ cùng phương cùng chiều. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi ABCD cạnh 4, góc BAD = 60°. Chọn A(0;0), B(4;0), D(2;2√3), C(6;2√3). Khi đó AC = (6;2√3), |AC| = 4√3; BC = (2;2√3), |BC| = 4; AB = (4;0).
a) Tích vô hướng AC·CB với CB = (−2;−2√3): AC·CB = −12 + (2√3)(−2√3)·... tính: 6·(−2) + 2√3·(−2√3) = −12 − 12 = −24. Còn |AC||CB| = 4√3·4 = 16√3, cos góc = −24/(16√3) = −√3/2, suy ra góc giữa AC và CB bằng 150° (góc giữa tia CA và CB là 30° nhưng vecto AC ngược hướng CA). Vậy mệnh đề a) SAI.
b) AC·BC = 6·2 + 2√3·2√3 = 12 + 12 = 24. Vậy b) ĐÚNG. (Cách khác: AC·BC = |AC|² − AC·AB = 48 − 4√3·4·cos30° = 48 − 24 = 24.)
c) AB = (4;0) ≠ BC = (2;2√3) vì hai vecto không cùng phương, không cùng độ dài. Vậy c) SAI.
d) Theo quy tắc hình bình hành (hình thoi là hình bình hành): AB + AD = AC. Vậy d) ĐÚNG.
Kết quả: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ, khớp với bảng đáp án nguồn (SDSD, Mã đề 2101 trang 4). Lưu ý: các 'errors' trong payload cho rằng có mâu thuẫn với đáp án nguồn là nhầm lẫn — payload gốc (a S, b Đ, c S, d Đ) hoàn toàn khớp SDSD và khớp kết quả giải độc lập.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa vecto AC và CB bằng 150° (vì góc giữa CA và CB là 30° do đường chéo AC phân giác góc C, nhưng AC ngược hướng CA).
b) (AI giải đề cho tôi)
AC·BC = |AC|² − AC·AB = 48 − 4√3·4·cos30° = 48 − 24 = 24.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB = (4;0) còn BC = (2;2√3), hai vecto khác nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: AB + AD = AC luôn đúng với hình thoi ABCD.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$. Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh 2 nên $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=2$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$. Do đó ${\left|2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|}^2=4\cdot 4+4+4\cdot (\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC})=16+4+0=20$, suy ra $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Vậy $a=2$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi G là trung điểm AB. Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MG}$, nên biểu thức trở thành $\left|2\overrightarrow{MG}-\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}\right|=\left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}\right|$ với $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OC}$ là điểm cố định. Tam giác đều cạnh $3\sqrt{3}$ nội tiếp (O) nên bán kính $R=\frac{a}{\sqrt{3}}=3$. Chọn hệ trục với O gốc, C trên trục Oy: $C=(0;3)$, $A,B$ đối xứng qua Oy nên trung điểm $G=(0;-\frac{3}{2})$ (vì $OG=R\cos 60^{\circ }=\frac{3}{2}$). Suy ra $P=2G-C=(0;-6)$, tức $OP=6$. Vì M chạy trên đường tròn bán kính 3 tâm O, $\left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}\right|$ đạt min $=6-3=3$, max $=6+3=9$. Tổng min + max $=3+9=12$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\vec{c}=\vec{a}+2\vec{b}$ với $\vec{a}=(-4;1)$, $\vec{b}=(-3;-2)$: $2\vec{b}=(-6;-4)$, nên $\vec{c}=(-4-6;1-4)=(-10;-3)$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, do $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ nên theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành, đường chéo từ đỉnh chung $A$). Vậy đáp án là $\overrightarrow{AC}$, khớp với đáp án nguồn (Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$ và $|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$. Vì $|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|=60N$ và $\widehat{AMB}=60^{\circ }$:
$$|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=60^2+60^2+2\cdot 60\cdot 60\cos 60^{\circ }=3600+3600+3600=10800.$$
Vậy $|\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{10800}=60\sqrt{3}\approx 104$ (N).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (1,0 điểm).

a) Vì $O$ là tâm hình chữ nhật $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $AC$. Ta có:
$$\overrightarrow{DO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right)=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$$
Vậy $\overrightarrow{DO}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.

b) Vì $O$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$. Do đó:
$$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}\cdot \left(2\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MB}\right)=2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MO}-{\overrightarrow{MB}}^2.$$
Mặt khác $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}$, với $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$, suy ra:
$$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}={\overrightarrow{MA}}^2+\overrightarrow{MA}\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right).$$
Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}=-2\overrightarrow{OA}$, ta được:
$$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}={\overrightarrow{MA}}^2-2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{OA}={\overrightarrow{MA}}^2+2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{AO}.$$
Cách khác (dùng trung điểm): $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}={\left|\overrightarrow{MO}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2$ (đẳng thức trung điểm), và ${\overrightarrow{MA}}^2={\left|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right|}^2={\left|\overrightarrow{MO}\right|}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{OA}+{\left|\overrightarrow{OA}\right|}^2$. Vì $O$ là tâm hình chữ nhật nên $OA=OB$, tức ${\left|\overrightarrow{OA}\right|}^2={\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2$. Do đó:
$${\overrightarrow{MA}}^2+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}={\left|\overrightarrow{MO}\right|}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{OA}+{\left|\overrightarrow{OA}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{MO}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2=2{\left|\overrightarrow{MO}\right|}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{MO}\cdot \left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)=2\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MO}.$$
Vậy ${\overrightarrow{MA}}^2+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MO}$ (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ (đặt đuôi chung tại $B$) bằng $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|AB|\cdot |BC|\cos 120^{\circ }=a\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos 45^{\circ }=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24\ne 20$ → sai.
b) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ → đúng.
c) Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cos 45^{\circ }=32+36-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=32+36-48=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ → sai.
d) $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Khi đó $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(k\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-|\overrightarrow{AB}{|}^2+k|\overrightarrow{AC}{|}^2-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(24k-32+36k-24\right)=\frac{1}{2}(60k-56)$. $AD\perp BE\iff 60k-56=0\iff k=\frac{14}{15}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos 45^{\circ }=24\ne 20$ nên ý a) sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ nên ý b) đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $B{C}^2=32+36-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ nên ý c) sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(60k-56)=0\iff k=\frac{14}{15}$ nên ý d) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: D(0;0), A(0;a), B(a;a), C(2a;0) (thỏa AB=AD=a, CD=2a, vuông tại A và D).
a) \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC} = (a;a)+(2a;0) = (3a;a), nên $\left|\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right|=\sqrt{9a^2+a^2}=a\sqrt{10}$.
b) H trung điểm DC nên H(a;0). Từ $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}$: $M-B=-3(M-C)\Rightarrow 4M=B+3C\Rightarrow M\left(\frac{7a}{4};\frac{a}{4}\right)$. Đường DM: điểm $(7at/4;at/4)$; đường BH: $(a;a(1-s))$. Giao: $7t/4=1\Rightarrow t=4/7$, suy ra $K(a;a/7)$ (kiểm tra $s=6/7$ khớp). Vậy $\overrightarrow{BK}=(0;-6a/7)$. Đặt $\overrightarrow{BK}=\alpha \overrightarrow{BD}+\beta \overrightarrow{BC}$ với $\overrightarrow{BD}=(-a;-a)$, $\overrightarrow{BC}=(a;-a)$: hệ $-\alpha +\beta =0$, $-\alpha -\beta =-6/7$ cho $\alpha =\beta =3/7$. Kết luận: $\overrightarrow{BK}=\frac{3}{7}\overrightarrow{BD}+\frac{3}{7}\overrightarrow{BC}$.