Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương án với 4 điểm $A$, $B$, $C$, $D$ bất kỳ.

Phương án B: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}$. Suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (vì $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\vec{0}$). Vậy B đúng.

Phương án A sai: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}$, khác $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ nói chung.

Phương án C sai: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ nói chung.

Phương án D sai: $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ nói chung (ví dụ với $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$: vế trái $=(0,-1)+(0,1)=\vec{0}$, vế phải $=(1,0)+(-1,0)=\vec{0}$ — nhưng thử $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(0,1)$, $D(1,1)$: vế trái $=(-1,-1)+(-1,1)=(-2,0)$, vế phải $=(1,0)+(1,0)=(2,0)$, khác nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0), B(34,0), D(8.5; 17√3/2), C(42.5; 17√3/2); Q(17,0), P(25.5; 17√3/2).
a) Theo quy tắc hình bình hành, AD + AB = AC (đường chéo từ A), không phải BD. Sai.
b) IA - DI + IC = IA + ID + IC = (IA + IC) + ID = 0 + ID = ID (vì I trung tâm nên IA + IC = 0). Đúng.
c) QC - CP = QC + PC. QC = (25.5; 17√3/2), PC = (17; 0), tổng = (42.5; 17√3/2) = AC = AB + AD. Đúng.
d) |AD + AB|² = 17² + 34² + 2·17·34·cos60° = 289 + 1156 + 578 = 2023 = 49·... thực tế 2023 = 7·289, nên |AD + AB| = 17√7. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AD + AB = AC theo quy tắc hình bình hành (đường chéo từ A), không phải BD.
b) (AI giải đề cho tôi)
IA - DI + IC = IA + ID + IC = (IA + IC) + ID = 0 + ID = ID vì I là tâm hình bình hành nên IA + IC = 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
QC - CP = QC + PC = (25.5; 17√3/2) + (17; 0) = (42.5; 17√3/2) = AC = AB + AD.
d) (AI giải đề cho tôi)
|AD + AB|² = 17² + 34² + 2·17·34·cos60° = 2023 = 7·17², nên |AD + AB| = 17√7.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $MNPQ$ (các đỉnh theo thứ tự $M,N,P,Q$), $NP$ là một cạnh của hình vuông nên độ dài vectơ $\overrightarrow{NP}$ bằng độ dài cạnh $NP=8a$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{v}|\cos 120^{\circ }=5\cdot 10\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-25$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;\sqrt{3}),B(-1;0),C(1;0)$. Khi đó $D(-0,5;\frac{\sqrt{3}}{2})$ (trung điểm $AB$), $E(0,5;\frac{\sqrt{3}}{2})$ (trung điểm $AC$), $F(0;0)$ (trung điểm $BC$).

a) $\overrightarrow{DF}=(0,5;-\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{AC}=(1;-\sqrt{3})=2\overrightarrow{DF}$, nên hai vecto cùng hướng (đây là trung bình tuyến), không ngược hướng → Sai.

b) $\overrightarrow{DA}=(0,5;\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{DF}=(0,5;-\frac{\sqrt{3}}{2})$, tổng bằng $(1;0)$; $\overrightarrow{DE}=(1;0)$. Vậy $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DE}$ → Đúng.

c) Vì $\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ (cùng hướng) nên $\overrightarrow{DF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ → Sai.

d) $\overrightarrow{BE}=(1,5;\frac{\sqrt{3}}{2})$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{DF}\cdot \overrightarrow{BE}=0,5\cdot 1,5+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0,75-0,75=0$ → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên hai vecto cùng hướng, không ngược hướng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A(0;\sqrt{3}),B(-1;0),C(1;0)$: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DF}=(1;0)=\overrightarrow{DE}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ (cùng hướng), không phải $-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DF}\cdot \overrightarrow{BE}=0,75-0,75=0$, hai vecto vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$ và $|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$. Vì $|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|=25N$ và $\widehat{AMB}=60^{\circ }$, theo quy tắc hình bình hành: $$|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=2\cdot 25\cdot \cos 30^{\circ }=50\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}\approx 43,3(N).$$ Vậy cường độ $\overrightarrow{F_3}$ bằng $25\sqrt{3}\approx 43,3N$, khớp đáp án nguồn 43,3.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì $|\overrightarrow{AB}|=AB\ge 0$ (độ dài vectơ là số không âm, không thể bằng $-AB$). B sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng. C đúng vì mọi vectơ $\vec{0}$ đều có độ dài bằng 0. D sai vì vectơ là đại lượng có hướng, được biểu diễn bởi đoạn thẳng có hướng, không phải một đoạn thẳng. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $MA=MB=\frac{AB}{2}$ về độ dài. Xét các phương án: A sai vì $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$ (hai vecto đối nhau, không bằng nhau). B sai vì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ (tính chất trung điểm), không bằng $2\overrightarrow{MB}$. C sai vì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$, còn $\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{MB}$ nên $\overrightarrow{AM}\ne \overrightarrow{BM}$. D đúng vì $|\overrightarrow{MA}|=MA=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2}$. Khớp với đáp án nguồn là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$, ta có $2(\vec{A}-\vec{M})+3(\vec{B}-\vec{M})=\vec{0}\Rightarrow \vec{M}=\frac{2\vec{A}+3\vec{B}}{5}$. Vậy $M$ nằm trên đoạn $AB$, với $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ (a đúng, b đúng). c) $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$, khác $-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ nên c sai. d) $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}=(-\overrightarrow{AC})\cdot \left(\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}+A{C}^2$. Vì $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=2a\cdot a\cdot \cos 60^{\circ }=a^2$ và $A{C}^2=4a^2$, nên $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}=-\frac{3}{5}{a}^2+4a^2=\frac{17}{5}{a}^2$ (d đúng). Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{M}=\frac{2\vec{A}+3\vec{B}}{5}$ nên $M$ thuộc đoạn $AB$, nằm giữa $A$ và $B$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\vec{M}-\vec{A}=\frac{3}{5}(\vec{B}-\vec{A})=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$, không phải $-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}+A{C}^2=-\frac{3}{5}{a}^2+4a^2=\frac{17}{5}{a}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$. Theo hình vẽ, $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{MC}$ ngược hướng với tổng $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ (hai lực đối xứng qua phân giác góc $60^{\circ }$). Độ lớn tổng: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1{F}_2\cos 60^{\circ }}=\sqrt{(20\sqrt{3}{)}^2+(20\sqrt{3}{)}^2+2\cdot 20\sqrt{3}\cdot 20\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{1200+1200+1200}=60$ (N). Vậy $F_3=60$ N, tức $a=60$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ (thứ tự đỉnh theo chiều), ta có $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ (hai vectơ cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài). Do đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\vec{0}$, là vectơ-không. Các phương án khác: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ là vectơ khác không; $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$ với hình vuông cạnh $a$ có hai vectơ vuông góc nên độ dài $a\sqrt{2}\ne 0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ theo quy tắc trừ vectơ (hai vectơ cùng xuất phát từ $A$). Đáp án trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều, D trung điểm AB, E trung điểm AC, F trung điểm BC. a) DF là đường trung bình song song với AC và cùng hướng với AC (từ D đến F tương ứng từ A đến C), nên hai vecto cùng hướng, không ngược hướng → Sai. b) Tọa độ vecto: DA + DF = (A−D) + (F−D) = A + F − 2D với D=(A+B)/2, F=(B+C)/2 nên = A + (B+C)/2 − (A+B) = (C−B)/2; còn DE = E−D = (A+C)/2 − (A+B)/2 = (C−B)/2. Vậy DA + DF = DE → Đúng. c) Vì DF cùng hướng AC và DF = ½AC nên DF = ½AC, không phải −½AC → Sai. d) DF ∥ AC (đường trung bình), BE là trung tuyến từ B xuống AC; trong tam giác đều trung tuyến cũng là đường cao nên BE ⊥ AC, do đó DF·BE = 0 → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: S, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
DF là đường trung bình của tam giác nên DF ∥ AC và cùng hướng với AC (DF = ½AC), hai vecto cùng hướng chứ không ngược hướng.
b) (AI giải đề cho tôi)
DA + DF = A + F − 2D = A + (B+C)/2 − (A+B) = (C−B)/2 = E − D = DE.
c) (AI giải đề cho tôi)
DF cùng hướng với AC nên DF = ½AC, không phải −½AC.
d) (AI giải đề cho tôi)
DF ∥ AC còn BE là trung tuyến (đồng thời là đường cao) của tam giác đều nên BE ⊥ AC, suy ra DF·BE = 0.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$. Theo hình vẽ, $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ đối xứng qua đường thẳng $MC$ với góc $\widehat{AMB}=60^{\circ }$, nên tổng $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ có phương trùng với $\overrightarrow{MC}$ (hướng ngược với $\overrightarrow{F_3}$) và độ lớn $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=2\cdot 20\sqrt{3}\cos 30^{\circ }=2\cdot 20\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=60$ (N). Do đó $|\overrightarrow{F_3}|=60$ (N), tức $a=60$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$, ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (vì $AB\parallel DC$ và cùng chiều, cùng độ dài). Do đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$ là vecto-không. Các phương án khác: $\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$, $\overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$, và $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$: đặt hệ trục $A(0;0),B(1;0),C(1;1),D(0;1)$ thì $\overrightarrow{AC}=(1;1)$, $\overrightarrow{BD}=(-1;1)$, hiệu là $(2;0)\ne \vec{0}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $MA=MB=\frac{AB}{2}$ về độ dài. Xét từng khẳng định: A sai vì $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$. B sai vì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ (tính chất trung điểm), không bằng $2\overrightarrow{MB}$. C sai vì $\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{BM}$ (hai vectơ ngược hướng). D đúng vì $\left|\overrightarrow{MA}\right|=MA=\frac{AB}{2}=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\right|}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$, đặt $A$ làm gốc, $B$ có vectơ $\vec{b}$: $-2\vec{m}+3(\vec{b}-\vec{m})=\vec{0}\Rightarrow \vec{m}=\frac{3}{5}\vec{b}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$. a) Đúng vì $M$ nằm trên đoạn $AB$ (hệ số $0<\frac{3}{5}<1$). b) Đúng. c) $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$, khác $-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ nên Sai. d) $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}={\overrightarrow{CA}}^2+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AM}=4a^2+\frac{3}{5}(\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB})$. Vì $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=-2a\cdot a\cos 60^{\circ }=-a^2$, nên $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}=4a^2-\frac{3}{5}{a}^2=\frac{17}{5}{a}^2$: Đúng. Khớp đáp án nguồn (Đ, Đ, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ với $0<\frac{3}{5}<1$, nên $M$ nằm giữa $A$ và $B$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc $A$: $-2\overrightarrow{AM}+3(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM})=\vec{0}\Rightarrow 5\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$, không phải $-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}=|\overrightarrow{CA}{|}^2+\frac{3}{5}\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=4a^2+\frac{3}{5}(-2a\cdot a\cdot \cos 60^{\circ }\cdot (-1))=4a^2-\frac{3}{5}{a}^2=\frac{17}{5}{a}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, do đó $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$ và $|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$.

Ta có:
$$|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=25^2+25^2+2\cdot 25\cdot 25\cdot \cos 60^{\circ }=625+625+625=1875.$$

Vậy $|\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{1875}=25\sqrt{3}\approx 43,3N$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn 43,3.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì độ dài vectơ $|\overrightarrow{AB}|=AB\ge 0$, không thể bằng $-AB$ (với $AB>0$). B sai vì hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng (cùng nằm trên đường thẳng qua A, B nhưng chiều ngược nhau). C đúng vì mọi vectơ $\vec{0}$ đều có độ dài bằng 0, nên hai vectơ $\vec{0}$ (dù cùng hay khác điểm gốc) có cùng độ dài bằng 0. D sai vì vectơ là đại lượng có hướng (định hướng bởi đoạn thẳng có hướng), không phải là một đoạn thẳng. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hiệu hai vectơ: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$. Đáp án trùng với đáp án nguồn (Câu 7: A).