Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AB$ với $MA=\frac{1}{5}AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$ (A đúng); $\overrightarrow{MB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$. Kiểm tra B: $-\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}=-\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{5}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MA}$, đúng. Kiểm tra C: $-4\overrightarrow{MA}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}$, đúng. D sai vì $\overrightarrow{MB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$ (cùng chiều với $\overrightarrow{AB}$), không phải $-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi ABCD cạnh 2, góc B = 60° nên góc A = góc C = 120°, góc D = 60°. a) Đường chéo AC là phân giác góc A = 120° nên góc giữa \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{AC} bằng 60° → đúng. b) \overrightarrow{DA} đối hướng \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AD} tạo với \overrightarrow{AB} góc 120° nên góc giữa \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{DA} bằng 180° − 120° = 60° ≠ 30° → sai. c) Góc giữa \overrightarrow{DA} và \overrightarrow{DC} là góc D = 60°, nên \overrightarrow{DA}$\cdot$\overrightarrow{DC} = 2·2·$\cos$ 60° = 2 ≠ 3 → sai. d) Chọn A(0,0), B(2,0), C(1,$\sqrt{3}$), D(−1,$\sqrt{3}$), tâm O(1/2, $\sqrt{3}$/2). Khi đó \overrightarrow{OB} = (3/2, −$\sqrt{3}$/2), \overrightarrow{BA} = (−2, 0), tích vô hướng = (3/2)(−2) + 0 = −3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC là phân giác góc A = 120° nên (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 60°.
b) (AI giải đề cho tôi)
\overrightarrow{DA} đối hướng \overrightarrow{AD}; AD tạo với AB góc 120° nên (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DA}) = 60°, không phải 30°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc D đối diện góc B nên góc D = 60°. Do đó \overrightarrow{DA}$\cdot$\overrightarrow{DC} = 2·2·$\cos$ 60° = 2 ≠ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
A(0,0), B(2,0), C(1,$\sqrt{3}$), D(−1,$\sqrt{3}$), O(1/2, $\sqrt{3}$/2); \overrightarrow{OB}$\cdot$\overrightarrow{BA} = (3/2)(−2) + 0 = −3.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: A=(0;0), B=(2;0), nửa đường tròn tâm O=(1;0) bán kính 1. Gọi E=(1;y) là giao của hai dây AC và BD (E nằm trong đường tròn). Vì E nằm trên dây AC nên $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AC}=A{E}^2+AE\cdot EC$; tương tự $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{BD}=B{E}^2+BE\cdot ED$. Theo hệ thức lượng (phương tích của điểm E): $AE\cdot EC=BE\cdot ED=R^2-O{E}^2=1-y^2$. Mặt khác $A{E}^2=1+y^2$, $B{E}^2=1+y^2$. Do đó tổng $=(1+y^2)+(1+y^2)+2(1-y^2)=4$. Kiểm tra bằng ví dụ cụ thể: C=(1,5; √3/2), D=(0,5; √3/2) cho E=(1; 1/√3), khi đó AE·AC = (2/√3)·√3 = 2 và BE·BD = 2, tổng bằng 4. Vậy kết quả là 4 (không phụ thuộc vị trí C, D).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BC}$. Khi đó $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}$. Ta có $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{u}+\frac{1}{3}\overrightarrow{v}$. Và $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{u}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{u}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u})=\frac{3}{4}\overrightarrow{u}+\frac{1}{4}\overrightarrow{v}$. Giả sử $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AF}$, so sánh hệ số theo $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ (hai vectơ độc lập tuyến tính): $1=\frac{3}{4}k\Rightarrow k=\frac{4}{3}$ và $\frac{1}{3}=\frac{1}{4}k\Rightarrow k=\frac{4}{3}$. Hai điều kiện cho cùng kết quả, vậy $\overrightarrow{AE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AF}$, tức $k=\frac{4}{3}$, khớp với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là giao hai đường chéo (tâm) của hình vuông ABCD. Vì O là trung điểm của AC và của BD nên theo tính chất trung điểm: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}$ và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$. Do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$, suy ra $T=4MO\ge 0$. Dấu bằng xảy ra khi $M\equiv O$ (tâm hình vuông), tức $MO=0$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ bằng $0$, đạt được khi $M$ trùng tâm hình vuông.

(AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm NP nên $\overrightarrow{IP}+\overrightarrow{IN}=\vec{0}$ (C đúng); quy tắc trung tuyến $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MI}$ (A đúng); tính chất trọng tâm $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\vec{0}$ (B đúng). Còn $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{PN}\ne \overrightarrow{NP}$, nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a},\vec{b}$ không cùng phương, hai vectơ $\vec{u}=(2x-1)\vec{a}+(3y-1)\vec{b}$ và $\vec{v}=\vec{a}+\vec{b}$ cùng phương khi tồn tại $k$ sao cho $\vec{u}=k\vec{v}$. Suy ra hệ: $2x-1=k$ và $3y-1=k$, tức $2x-1=3y-1$, nên $2x=3y$, do đó $P=\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa: A(0;0), B(a;0), D(0;a), C(a;a). E đối xứng D qua C nên E(2a;a). Khi đó $\overrightarrow{AE}=(2a;a)$, $\overrightarrow{AB}=(a;0)$, nên $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AB}=2a^2+0=2a^2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì M nằm trên AB với AM = 1/4 AB nên MB = 3/4 AB, và hai vectơ MA, MB ngược hướng. Xét từng khẳng định: B đúng vì AM = 1/4 AB và cùng hướng AB. C đúng vì BM = 3/4 AB = 3/4 BA (cùng hướng BA). D đúng vì MB = 3/4 AB = 3·(1/4 AB) = -3 MA (ngược hướng). A sai vì MA và MB ngược hướng nên phải là MA = -1/3 MB, không thể là MA = 1/3 MB. Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(8a;0)$, $D(0;6a)$, $C(4a;6a)$ (vì $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$). Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;3a)$.

Ta có:
- $\overrightarrow{IA}=(0;-3a)$, $\overrightarrow{IB}=(8a;-3a)$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=(8a;-6a)$.
- $\overrightarrow{ID}=(0;3a)$.

Do đó $(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})\cdot \overrightarrow{ID}=8a\cdot 0+(-6a)(3a)=-18a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là trung điểm BC. Vì tam giác ABC đều cạnh a nên AH là đường cao, $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Trọng tâm G nằm trên AH với $\overrightarrow{GC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HC}$... Cụ thể: $GC=\frac{2}{3}HC$ với $HC=\frac{a}{2}$, do đó $GC=\frac{2}{3}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vì G thuộc đường trung tuyến AH nên tia CG chính là tia phân giác của góc C = 60°, suy ra góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{GC}$ bằng 30°. Vậy $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{GC}=CA\cdot GC\cdot \cos 30^{\circ }=a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=-\overrightarrow{F_3}$ với $F_3=50\sqrt{3}$ N.

Theo hình vẽ (trang 8): $\widehat{AMB}=120^{\circ }$, $\widehat{AMC}=150^{\circ }$, suy ra góc giữa $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là $360^{\circ }-120^{\circ }-150^{\circ }=90^{\circ }$, tức $\overrightarrow{F_2}\perp \overrightarrow{F_3}$.

Từ $\overrightarrow{F_1}=-(\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3})$ và $\overrightarrow{F_2}\perp \overrightarrow{F_3}$: $F_1^2=F_2^2+F_3^2$.

Bình phương hai vế của $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=-\overrightarrow{F_3}$:
$$F_1^2+F_2^2+2F_1{F}_2\cos 120^{\circ }=F_3^2\Rightarrow F_1^2+F_2^2-F_1{F}_2=F_3^2.$$

Thay $F_1^2=F_2^2+F_3^2$: $F_2^2+F_3^2+F_2^2-F_1{F}_2=F_3^2\Rightarrow F_1{F}_2=2F_2^2\Rightarrow F_1=2F_2$ (vì $F_2>0$).

Suy ra $4F_2^2=F_2^2+F_3^2\Rightarrow F_3^2=3F_2^2\Rightarrow F_2=\frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=50$ N.

Vậy $F_1=2F_2=100$ N. Kiểm tra: $F_3=\sqrt{3}\cdot 50=50\sqrt{3}$ N đúng đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi M là trung điểm BC. Ta có $\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$. Vì tam giác ABC vuông tại A nên trung tuyến $AM=\frac{BC}{2}=6$. Trọng tâm G nằm trên AM với $GM=\frac{1}{3}AM=2$. Do đó $|\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{CG}|=2\cdot GM=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Vì $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{NA}$ nên N chia AC theo tỉ lệ $AN:NC=1:2$, do đó $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. K là trung điểm MN nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$ suy ra $\overrightarrow{BA}=3\overrightarrow{AC}$. Khi đó $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AC}$. Vậy đẳng thức đúng là $\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{AC}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $MB=2MC$ và $M$ nằm giữa $B,C$ nên $\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MC}$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $m=1$, $n=2$, do đó $2m+499n=2+998=1000$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì I là trung điểm AC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$, do đó $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2AI$. Tam giác ABC vuông tại B, $\hat{A}=30°$ nên $AC=\frac{AB}{\cos 30°}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$. Trong tam giác vuông, trung điểm của cạnh huyền cách đều ba đỉnh nên $AI=\frac{AC}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2AI=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ vận tốc cùng phương (trục Đông – Tây) nhưng ngược chiều: $\overrightarrow{v_1}$ hướng Đông, $\overrightarrow{v_2}$ hướng Tây. Độ lớn: $|\overrightarrow{v_1}|=40$ km/h, $|\overrightarrow{v_2}|=60$ km/h, nên tỉ số độ lớn là $60/40=3/2$. Vì hai vectơ ngược chiều nên $\overrightarrow{v_2}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{v_1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19: Vectơ $\vec{e}=m\vec{i}+\vec{j}$ có tọa độ $\vec{e}=(m;1)$. Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0: $\vec{a}\cdot \vec{e}=2m+5\cdot 1=2m+5=0$, suy ra $m=-\frac{5}{2}$. Vậy $m=-\frac{5}{2}$ (tức $m=-2,5$).