Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì I là trung điểm của BC nên I nằm giữa B và C với BI = IC, do đó hai vectơ $\overrightarrow{BI}$ và $\overrightarrow{IC}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau: $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$. Vậy khẳng định đúng là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì E, F lần lượt là trung điểm của CA, AB nên EF là đường trung bình của ΔABC, do đó EF ∥ BC. Trong ΔABD, F là trung điểm của AB và đường thẳng qua F song song với BD (tức EF) cắt AD tại I, nên I là trung điểm của AD (đường trung bình của ΔABD). Suy ra $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Mặt khác $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Vì $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AF}=2\vec{v}$ và $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}=2\vec{u}$ nên $\overrightarrow{AD}=\vec{u}+\vec{v}$. Vậy $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ và $G^{\prime }$ của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }}=\vec{0}$. Xét tổng $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }})+(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }})+(\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }})=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG})+3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+(\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }})=\vec{0}+3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\vec{0}=3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$. Vậy đẳng thức đúng là $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$, tương ứng phương án D. Các phương án A (dấu ngược chiều), B, C không thỏa mãn đẳng thức này.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EA})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CD}$. Mặt khác $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$ vì hiệu hai vế: $\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{EC}$ và $\overrightarrow{ED}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EC}$, hai vế bằng nhau. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{A}=90^{\circ }$, $\hat{B}=50^{\circ }$, suy ra $\hat{C}=40^{\circ }$. Xét từng hệ thức: A) $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=180^{\circ }-\hat{B}=130^{\circ }$ đúng. B) $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC})=\hat{C}=40^{\circ }$ đúng. C) $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB})=\hat{B}=50^{\circ }$ đúng. D) $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=180^{\circ }-\hat{C}=140^{\circ }\ne 120^{\circ }$ nên sai. Vậy hệ thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình vuông là $a$. Ta có $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$. Vì $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC})=-a^2$. Mặt khác $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{CA}|=a\sqrt{2}$. Do đó $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA})=\frac{-a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a√2 nên AB = AC = a, góc C = 45°. Tích vô hướng: CA·CB = |CA|·|CB|·cos C = a·a√2·(√2/2) = a². Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là góc ngoài tại đỉnh B, bằng $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|AB|\cdot |BC|\cdot \cos 120^{\circ }=a\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC cân tại A nên $AB=AC=6$, góc $BAC=120°$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\cdot 6\cdot \cos 120°=-18$. Ta có $AM=\frac{1}{3}AB$, $AN=\frac{1}{2}AC$. Biểu diễn: $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Khi đó $$\overrightarrow{BN}\cdot \overrightarrow{CM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^2-\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}{|}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$$ $$=\frac{1}{6}(-18)-\frac{1}{2}(36)-\frac{1}{3}(36)+(-18)=-3-18-12-18=-51.$$ Vậy $\overrightarrow{BN}\cdot \overrightarrow{CM}=-51$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì D đối xứng với B qua G nên G là trung điểm BD, do đó $\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BG}$. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$. Vì M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{MB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Ta có:
$$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}.$$
Thay $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$:
$$\overrightarrow{MD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}.$$
Kiểm tra bằng tọa độ: đặt A(0,0), B(b), C(c) thì $G=\frac{b+c}{3}$, $D=2G-b=\frac{-b+2c}{3}$, $M=\frac{b+c}{2}$, nên
$$\overrightarrow{MD}=D-M=\frac{-b+2c}{3}-\frac{b+c}{2}=\frac{-5b+c}{6}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}.$$
Hai cách tính khớp nhau. Vậy $\overrightarrow{MD}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BD=2CD$ nên $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$, tức $\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. Ta có:
$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$$
Vậy $a=\frac{1}{3}$, $b=\frac{2}{3}$. Do đó:
$$T=6a+9b=6\cdot \frac{1}{3}+9\cdot \frac{2}{3}=2+6=8.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $AC$ nên theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$, do đó $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2AI=AC$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $\hat{A}=30^{\circ }$, $AB=a$ nên:
$$\cos 30^{\circ }=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AC=\frac{AB}{\cos 30^{\circ }}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.$$

Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với mọi điểm $M$, ta có $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$. Do đó $\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=6\overrightarrow{MG}$, tức $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{MG}$, vậy $M$, $G$, $N$ thẳng hàng. Đường thẳng $MN$ luôn đi qua điểm cố định là trọng tâm $G$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BE=\frac{1}{4}BC$ nên $\overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$. Do đó $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ ta có $16=16+9-24\cos \alpha$, suy ra $\cos \alpha =\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$. Vậy phát biểu đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\vec{a}=-3\vec{b}$, hệ số tỉ lệ $k=-3<0$ nên hai vectơ ngược hướng, và $|\vec{a}|=|-3||\vec{b}|=3|\vec{b}|$. A sai vì độ dài vectơ không thể âm; B sai vì hai vectơ ngược hướng; D đúng một phần (hai vectơ ngược hướng thì giá song song) nhưng C là khẳng định đầy đủ và chính xác nhất. Đáp án: C.

(AI giải đề cho tôi)
Với trọng tâm G của tam giác ABC, ta có tính chất: với mọi điểm M, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$. Thật vậy, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MN}$ với N trung điểm BC, và $\overrightarrow{MN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MG}$ do G nằm trên trung tuyến MN với $\overrightarrow{GN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$, suy ra tổng bằng $3\overrightarrow{MG}$. Do đó mệnh đề B đúng. Các mệnh đề A, C, D sai vì tổng $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ (chỉ đúng khi M trùng G ở dạng C, và D sai dấu).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều ABC cạnh 4a nên $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=4a$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4a\cdot 4a\cdot \cos 60^{\circ }=16a^2\cdot \frac{1}{2}=8a^2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông ABCD cạnh 12 cm, E trung điểm CD.
(a) Sai. Góc giữa hai vecto AB và AC là góc BAC = 45° (đường chéo AC tạo với cạnh AB góc 45°), không phải 30°.
(b) Đúng. Hai đường chéo của hình vuông vuông góc nhau nên AC ⊥ BD, do đó AC·BD = 0.
(c) Đúng. Vì E thuộc đoạn CD nên AE = AD + DE, do đó AE·CD = (AD + DE)·CD = AD·CD + DE·CD (tính chất phân phối của tích vô hướng).
(d) Đúng. AD·AC = |AD|·|AC|·cos45° = 12·12√2·(√2/2) = 144.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa AB và AC là góc BAC = 45°, không phải 30°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường chéo hình vuông vuông góc nên AC·BD = 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
AE = AD + DE nên AE·CD = AD·CD + DE·CD theo tính chất phân phối.
d) (AI giải đề cho tôi)
AD·AC = 12·12√2·cos45° = 144.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC cân tại A nên $AB=AC=6$, góc $\widehat{BAC}=120°$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\cdot 6\cdot \cos 120°=-18$.

Ta có $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.

Khi đó:
$$\overrightarrow{BN}\cdot \overrightarrow{CM}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$$
$$=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$$
$$=\frac{1}{6}(-18)-\frac{1}{2}\cdot 36-\frac{1}{3}\cdot 36+(-18)=-3-18-12-18=-57.$$

Vậy $\overrightarrow{BN}\cdot \overrightarrow{CM}=-57$.