Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), B(3;0), C(3;3), D(0;3). Khi đó M(2;0) (vì BM=1), N(1;3) (vì DN=1), P(3;1,5) (trung điểm BC). Ta có $\overrightarrow{NM}=(1;-3)$, $\overrightarrow{NP}=(2;-1,5)$. Tích vô hướng: $1\cdot 2+(-3)(-1,5)=6,5$. Độ dài: $|\overrightarrow{NM}|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$, $|\overrightarrow{NP}|=\sqrt{4+2,25}=2,5$. Vậy $\cos (\overrightarrow{NM},\overrightarrow{NP})=\frac{6,5}{2,5\sqrt{10}}=\frac{2,6}{\sqrt{10}}\approx 0,8222\approx 0,82$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $A$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$ (không cùng phương). Khi đó:
- $M$ là trung điểm $AC$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\vec{c}$.
- $E$ đối xứng với $B$ qua $C$ nên $C$ là trung điểm $BE$: $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$, suy ra $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=2\vec{c}-\vec{b}$.
- $F$: $\overrightarrow{AF}=x\vec{b}$.

Tính $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}=x\vec{b}-\vec{c}$ và $\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\vec{c}-(2\vec{c}-\vec{b})=\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{c}$.

Để $CF\parallel EM$, tồn tại $k$ sao cho $x\vec{b}-\vec{c}=k\left(\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{c}\right)$. So sánh hệ số theo $\vec{b}$ và $\vec{c}$: $x=k$ và $-1=-\frac{3}{2}k\Rightarrow k=\frac{2}{3}$. Vậy $x=\frac{2}{3}\approx 0,67$.

Kiểm tra: với $x=\frac{2}{3}$, $\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\vec{b}-\vec{c}=\frac{2}{3}\left(\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{c}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{EM}$, đúng yêu cầu song song.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2=4|\vec{a}{|}^2-4\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=4\cdot 9-4\vec{a}\cdot \vec{b}+16=52-4\vec{a}\cdot \vec{b}$. Theo giả thiết $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2=76$, suy ra $52-4\vec{a}\cdot \vec{b}=76\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=-6$. Khi đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-6}{3\cdot 4}=-\frac{1}{2}$. Vậy góc giữa hai vec tơ là $120^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a};\vec{b})=5\cdot 9\cdot \cos 30^{\circ }=45\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{45\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều cạnh a có đường cao $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Trọng tâm G nằm trên trung tuyến AM với $AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vậy $|\overrightarrow{AG}|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$, hai cạnh $AB$ và $AD$ vuông góc với nhau nên góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ bằng $90^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AD}|\cos 90^{\circ }=a\cdot a\cdot 0=0$. Vậy đáp án D, trùng với bảng đáp án (mã đề 102, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vectơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án (mã đề 102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình ảnh, hai lực kéo $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ nằm trên cùng một đường thẳng (sợi dây kéo co) và ngược hướng nhau: $\overrightarrow{F_1}$ hướng sang trái (về phía lớp 10A8), $\overrightarrow{F_2}$ hướng sang phải (về phía lớp 10A7).
a) Đúng: mũi tên biểu diễn $\overrightarrow{F_1}$ dài hơn mũi tên $\overrightarrow{F_2}$ nên độ lớn lực kéo của lớp 10A8 lớn hơn.
b) Sai: hai vecto đối nhau phải cùng độ dài và ngược hướng; ở đây $\left|\overrightarrow{F_1}\right|>\left|\overrightarrow{F_2}\right|$ nên chúng không phải hai vecto đối nhau.
c) Đúng: hai vecto ngược hướng nên $\left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\right)=180^{\circ }$.
d) Sai: vì góc giữa hai vecto bằng $180^{\circ }$ nên $\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}=-\left|\overrightarrow{F_1}\right|\left|\overrightarrow{F_2}\right|<0$.
Kết quả khớp với đáp án của đề (mã 102, Câu 1: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên hình, mũi tên $\overrightarrow{F_1}$ dài hơn mũi tên $\overrightarrow{F_2}$ nên độ lớn lực kéo của lớp 10A8 lớn hơn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai vecto đối nhau cần cùng độ dài và ngược hướng; vì $\left|\overrightarrow{F_1}\right|>\left|\overrightarrow{F_2}\right|$ nên $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ không đối nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai lực kéo nằm trên cùng đường thẳng (sợi dây kéo co) và ngược hướng nên góc giữa chúng bằng $180^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì góc giữa hai vecto là $180^{\circ }$ nên $\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}=-\left|\overrightarrow{F_1}\right|\left|\overrightarrow{F_2}\right|<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm theo lưới ô vuông (mỗi ô 1 cm) trên hình: vectơ $\overrightarrow{AB}$ nằm ngang với độ dài 4 ô nên $\left|\overrightarrow{AB}\right|=4$ cm; vectơ $\overrightarrow{CD}$ thẳng đứng với độ dài 3 ô nên $\left|\overrightarrow{CD}\right|=3$ cm. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=4+3=7$ (cm), trùng với đáp án của đề (mã đề 102, Câu 3 = 7).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{FA}+3\overrightarrow{FB}-2\overrightarrow{FC}=(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{F})+3(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{F})-2(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{F})=\overrightarrow{A}+3\overrightarrow{B}-2\overrightarrow{C}-2\overrightarrow{F}$. Với $A(1;3),B(-3;1),C(5;-6)$: $\overrightarrow{A}+3\overrightarrow{B}-2\overrightarrow{C}=(1-9-10;3+3+12)=(-18;18)$. Với $F(0;a)$, $-2\overrightarrow{F}=(0;-2a)$, nên biểu thức trở thành $(-18;18-2a)$. Do đó $\left|\overrightarrow{FA}+3\overrightarrow{FB}-2\overrightarrow{FC}\right|=\sqrt{18^2+(18-2a{)}^2}\ge 18$, đạt giá trị nhỏ nhất khi $18-2a=0⟺a=9$. Vậy $2a+9=2\cdot 9+9=27$, trùng với đáp án của đề (mã đề 102, Câu 5 = 27).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=10\cdot 8+12\cdot (-6)=80-72=8$. Độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{10^2+12^2}=\sqrt{244}=2\sqrt{61}$, $|\vec{v}|=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}=10$. Vậy $\cos \alpha =\frac{8}{2\sqrt{61}\cdot 10}=\frac{4}{10\sqrt{61}}\approx 0,0512$, suy ra $\alpha \approx 87,07^{\circ }\approx 87^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (87).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vectơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình ảnh trận kéo co, hai lực kéo $\overrightarrow{F_1}$ (bên trái, mũi tên dài hơn) và $\overrightarrow{F_2}$ (bên phải, mũi tên ngắn hơn) nằm trên cùng một đường thẳng nhưng ngược hướng và có độ lớn khác nhau.
a) Sai: hai vecto đối nhau phải cùng độ lớn; ở đây $|\overrightarrow{F_1}|\ne |\overrightarrow{F_2}|$ nên chúng không đối nhau.
b) Đúng: hai vecto ngược hướng nên $(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2})=180^{\circ }$.
c) Đúng: mũi tên của $\overrightarrow{F_1}$ dài hơn nên độ lớn lực kéo của lớp 10A8 lớn hơn.
d) Sai: vì góc giữa hai vecto bằng $180^{\circ }$ nên $\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos 180^{\circ }=-|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|<0$. Kết quả khớp với đáp án của đề (mã 101, Câu 2: a)S - b)Đ - c)Đ - d)S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai vecto đối nhau cần ngược hướng và cùng độ lớn. Từ hình, $|\overrightarrow{F_1}|\ne |\overrightarrow{F_2}|$ nên hai vecto không đối nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai lực kéo nằm trên cùng đường thẳng và ngược hướng nên $(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2})=180^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mũi tên biểu diễn $\overrightarrow{F_1}$ (lớp 10A8) dài hơn mũi tên của $\overrightarrow{F_2}$, nên độ lớn lực kéo của lớp 10A8 lớn hơn.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos 180^{\circ }=-|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ lưới ô vuông (mỗi ô 1 cm), vectơ $\overrightarrow{AB}$ nằm ngang và vectơ $\overrightarrow{CD}$ nằm dọc. Đếm theo ô lưới: $|\overrightarrow{AB}|=4$ cm và $|\overrightarrow{CD}|=3$ cm. Vậy tổng $|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{CD}|=4+3=7$ cm, khớp với đáp án của đề (mã 101, Câu 4 = 7).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=10\cdot 8+12\cdot (-6)=80-72=8$. Độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{10^2+12^2}=\sqrt{244}$, $|\vec{v}|=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}=10$. Vậy $\cos \theta =\frac{8}{10\sqrt{244}}\approx 0,0512$, suy ra $\theta \approx 87,07^{\circ }\approx 87^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 101: 87).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, ta có $\widehat{BAD}=90^{\circ }$ nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AD}|\cdot \cos 90^{\circ }=a\cdot a\cdot 0=0$. Vậy đáp án là B, trùng với bảng đáp án mã đề 101 (câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Lực tổng hợp $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. Ta có $|\overrightarrow{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos 60^{\circ }=3600+3600+2\cdot 60\cdot 60\cdot \frac{1}{2}=10800$. Suy ra $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{10800}=60\sqrt{3}$ (N). Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án mã đề 1014.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $NPM$ khi và chỉ khi tổng ba vectơ từ $G$ đến ba đỉnh bằng vectơ không: $\overline{GM}+\overline{GN}+\overline{GP}=\overline{0}$. Đây là tính chất quen thuộc của trọng tâm tam giác (với $M$, $N$, $P$ là ba đỉnh). Phương án B sai vì chỉ có hai vectơ; phương án C sai vì $A$, $B$, $C$ không phải ba đỉnh của tam giác $NPM$. Lưu ý: trong đề in, phương án A và D có nội dung hiển thị giống hệt nhau ($\overline{GM}+\overline{GN}+\overline{GP}=\overline{0}$), nên về mặt toán học cả A và D đều đúng; bảng đáp án của đề (mã 1014) cho câu 10 là D, nên chọn D theo key của đề (khả năng cao phương án A bị lỗi in/chép, ví dụ gốc có thể là $\overline{MA}+\overline{NB}+\overline{PC}=\overline{0}$).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, giao điểm $O$ của hai đường chéo là trung điểm mỗi đường chéo, nên $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$ (hai vectơ đối nhau vì $O$ nằm giữa $A$ và $C$). Do đó đẳng thức $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$ ở câu B là SAI. Kiểm tra các câu khác: $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DO}$ nên A đúng; $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (tính chất hình bình hành) nên D đúng; $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}$ nên C đúng. Vậy đẳng thức sai là câu B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1014, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, vectơ-không $\vec{0}$ cùng phương với mọi vectơ, và đó là vectơ duy nhất có tính chất này (một vectơ $\vec{u}\ne \vec{0}$ chỉ cùng phương với các vectơ có phương trùng với phương của $\vec{u}$, không thể cùng phương với mọi vectơ). Do đó có duy nhất một vectơ (là $\vec{0}$) cùng phương với mọi vectơ. Mệnh đề A đúng; B, C, D sai. Kết quả này trùng với đáp án A của mã đề 1014 trong bảng hướng dẫn chấm.