Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II), mã đề 121: $M(-2;1;4)$. a) $P$ là hình chiếu của $M$ trên $(Oxy)$ nên $P(-2;1;0)$ — Đúng. b) $Q$ là hình chiếu của $M$ trên trục $Oz$ nên $Q(0;0;4)$ — Đúng. c) Hình bình hành $MNPQ$ có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}=(-2;1;-4)$, còn $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{Q}-\overrightarrow{P}=(2;-1;4)=-\overrightarrow{MN}\ne \overrightarrow{MN}$ — Sai. d) $\overrightarrow{MN}=(-2;1;-4)\Rightarrow N=M+(-2;1;-4)=(-4;2;0)$ — Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đ, Đ, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của $M(-2;1;4)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ giữ nguyên hoành độ và tung độ, có cao độ bằng 0: $P(-2;1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của $M(-2;1;4)$ trên trục $Oz$ là $Q(0;0;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $MNPQ$ có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}=(-2;1;-4)$, trong khi $\overrightarrow{PQ}=(2;-1;4)=-\overrightarrow{MN}$, nên $\overrightarrow{PQ}\ne \overrightarrow{MN}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}=(-2;1;-4)$ nên $N=M+\overrightarrow{MN}=(-2-2;1+1;4-4)=(-4;2;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $O(0;0;0)$, $A\in Ox$ với $OA=3$ nên $A(3;0;0)$; $B\in Oy$ với $OB=2$ nên $B(0;2;0)$; $C$ là đỉnh trên cùng phía trên $B$ nên $C(0;2;2,5)$; $E(3;2;2,5)$.

a) $A\in Ox$ nên tọa độ $A$ phải là $(3;0;0)$, không phải $(3;2;0)$ → Sai.

b) $\overrightarrow{AB}=B-A=(0-3;2-0;0-0)=(-3;2;0)$ → Đúng.

c) $B{C}^2=(2,5{)}^2=6,25$; $A{C}^2=3^2+2^2+(2,5{)}^2=9+4+6,25=19,25$. Vậy $B{C}^2-A{C}^2=6,25-19,25=-13\ne 5$ → Sai.

d) $E$ là đỉnh trên của hộp, có $x=3$, $y=2$, $z=2,5$ nên $E(3;2;2,5)$ → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A\in Ox$ nên $A(3;0;0)$, không phải $(3;2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3;2;0)$ với $A(3;0;0)$, $B(0;2;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C(0;2;2,5)$: $B{C}^2=6,25$, $A{C}^2=19,25$, nên $B{C}^2-A{C}^2=-13\ne 5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh trên của hộp: $E(3;2;2,5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A: $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ (vì $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$). Đúng.
- B: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, còn $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\ne \overrightarrow{AC}$. Sai.
- C: $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Đúng.
- D: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Đúng.
Vậy mệnh đề sai là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{CD}=D-C=(1-(-3);2-4;3-(-1))=(4;-2;4)$ → Đúng.
b) $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=A^{\prime }-C=(2-(-3);0-4;-2-(-1))=(5;-4;-1)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{C{A}^{\prime }}=20+8-4=24$, $|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{16+4+16}=6$, $|\overrightarrow{C{A}^{\prime }}|=\sqrt{25+16+1}=\sqrt{42}$. Vậy $\cos (\overrightarrow{CD};\overrightarrow{C{A}^{\prime }})=\frac{24}{6\sqrt{42}}=\frac{4}{\sqrt{42}}\approx 0,617$, suy ra góc $\approx 51,9^{\circ }<60^{\circ }$ → khẳng định 'lớn hơn $60^{\circ }$' Sai.
c) $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=A^{\prime }-D=(1;-2;-5)$, $D{A}^{\prime }=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}$ → Đúng.
d) Trong hình hộp $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}$ nên $B^{\prime }=A^{\prime }+C-D=(2;0;-2)+(-3;4;-1)-(1;2;3)=(-2;2;-6)$ → Đúng.
Kết quả Đ-S-Đ-Đ khớp với đáp án nguồn (mã đề 1252, Phần II Câu 4: ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{CD}=D-C=(4;-2;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cos (\overrightarrow{CD};\overrightarrow{C{A}^{\prime }})=\frac{4}{\sqrt{42}}\approx 0,617$ nên góc $\approx 51,9^{\circ }<60^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=(1;-2;-5)$, $D{A}^{\prime }=\sqrt{30}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $B^{\prime }=A^{\prime }+C-D=(-2;2;-6)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:

- **A:** $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Đúng (quy tắc hình bình hành trên mặt phẳng $(ABCD)$ rồi quy tắc hình hộp với ba vectơ đồng xuất phát từ $B$).

- **B:** $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}$... chính xác $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}$. Khi đó tổng $=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Sai.

- **C:** $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên tổng $=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Sai.

- **D:** $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên tổng $=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Sai.

Vậy đẳng thức đúng là phương án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1252, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1;1-0;2-1)=(1;1;1)$. b) Sai: hình hộp có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $C=D+\overrightarrow{AB}=(1+1;-1+1;1+1)=(2;0;2)$, không phải $(2;1;2)$. c) Đúng: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(3-1;4+1;-6-1)=(2;5;-7)$ nên $A^{\prime }=A+(2;5;-7)=(3;5;-6)$. d) Sai: $M$ thuộc đoạn $AB$ với $MA=2MB$ thì $M=\frac{A+2B}{3}=\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)\ne (3;2;3)$. Kết quả khớp đáp án nguồn DSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2-1;1-0;2-1)=(1;1;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C=D+\overrightarrow{AB}=(2;0;2)\ne (2;1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(2;5;-7)$ nên $A^{\prime }=(3;5;-6)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=\frac{A+2B}{3}=\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)\ne (3;2;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc của con ong: $\vec{v}=\frac{\overrightarrow{AB}}{5}=\frac{(8;8;4)}{5}=(1,6;1,6;0,8)$ (m/s). Sau 3 giây tiếp theo từ $B$, vị trí $M=B+3\vec{v}=(10+4,8;12+4,8;5+2,4)=(14,8;16,8;7,4)$. Vậy $5a-b-c=5(14,8)-16,8-7,4=74-24,2=49,8$, trùng với đáp án nguồn (49,8).

(AI giải đề cho tôi)
Tích có hướng $\vec{u}\times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& 1& 1\\ 1& 2& -2\end{array}\right|=(1\cdot (-2)-1\cdot 2;1\cdot 1-3\cdot (-2);3\cdot 2-1\cdot 1)=(-4;7;5)$. Kiểm tra: $(-4;7;5)\cdot (3;1;1)=-12+7+5=0$ và $(-4;7;5)\cdot (1;2;-2)=-4+14-10=0$. Vậy $\vec{w}=(-4;7;5)$, khớp đáp án D (mã đề 2346).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1;1-0;2-1)=(1;1;1)$ → Đúng.
b) Trong hình hộp $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, với $\overrightarrow{AD}=D-A=(0;-1;0)$ nên $C=A+(1;1;1)+(0;-1;0)=(2;0;2)$. Vậy $C(2;1;2)$ sai.
c) $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=D^{\prime }-D=(2;5;-7)=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nên $A^{\prime }=A+(2;5;-7)=(3;5;-6)$ → Đúng.
d) $M$ thuộc đoạn $AB$, $MA=2MB$ nên $M=\frac{A+2B}{3}=\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)\ne (3;2;3)$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn DSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2-1;1-0;2-1)=(1;1;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C=A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(1;0;1)+(1;1;1)+(0;-1;0)=(2;0;2)$, không phải $(2;1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(2;5;-7)$ nên $A^{\prime }=(3;5;-6)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=\frac{A+2B}{3}=\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)\ne (3;2;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc của ong: $\vec{v}=\frac{\overrightarrow{AB}}{5}=\frac{(8;8;4)}{5}=(1,6;1,6;0,8)$ (m/s). Sau 3 giây tiếp theo từ $B$: $M=B+3\vec{v}=(10+4,8;12+4,8;5+2,4)=(14,8;16,8;7,4)$. Vậy $5a-b-c=5(14,8)-16,8-7,4=74-24,2=49,8$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tích có hướng $\vec{u}\times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& 1& 1\\ 1& 2& -2\end{array}\right|=\vec{i}(1\cdot (-2)-1\cdot 2)-\vec{j}(3\cdot (-2)-1\cdot 1)+\vec{k}(3\cdot 2-1\cdot 1)=(-4;7;5)$. Kiểm tra: $(-4;7;5)\cdot (3;1;1)=-12+7+5=0$ và $(-4;7;5)\cdot (1;2;-2)=-4+14-10=0$. Vậy $\vec{w}=(-4;7;5)$, khớp đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 2345, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Trọng tâm $G=\left(\frac{1-2+3}{3};\frac{-2+1-1}{3};\frac{3+2+2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3}\right)$, khác khẳng định (tọa độ z sai).
b) Đúng. $\overrightarrow{AB}=(-2-1;1-(-2);2-3)=(-3;3;-1)$.
c) Sai. $\overrightarrow{AC}=(2;1;-1)$, tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6+3+1=-2\ne 0$ nên không vuông tại $A$.
d) Đúng. $M=A+t\overrightarrow{AB}=(1-3t;-2+3t;3-t)$, $z_M=0\Rightarrow t=3\Rightarrow a=-8,b=7\Rightarrow a+b=-1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm là $G\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3}\right)$, không phải $\frac{4}{3}$ theo trục z.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2-1;1+2;2-3)=(-3;3;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-3)(2)+3(1)+(-1)(-1)=-2\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=3$ ta được $M(-8;7;0)$, $a+b=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục như hình: gốc O tại một góc phòng, trục Ox dọc theo bức tường dài 8m, Oy dọc bức tường rộng 6m, Oz thẳng đứng. Cây quạt A treo chính giữa bức tường 8m (tường nằm trong mặt phẳng y = 0): x = 4, y = 0, cách trần 1m nên z = 4 - 1 = 3, tức A(4; 0; 3). Cây quạt B treo chính giữa bức tường 6m (tường nằm trong mặt phẳng x = 0): x = 0, y = 3, cách trần 1,5m nên z = 4 - 1,5 = 2,5, tức B(0; 3; 2,5). Suy ra vector AB = (0-4; 3-0; 2,5-3) = (-4; 3; -0,5). Vậy a + b + c = -4 + 3 - 0,5 = -1,5, khớp với đáp án nguồn.

Vì $M\in Ox$ nên gọi $M(x;0;0)$. Ta có $MA=MB$ $\iff \sqrt{(x-4{)}^2+4+1}=\sqrt{(x-2{)}^2+1+0}$ $\iff x=4$. Vậy $M(4;0;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}=(0;1;-2)$. Do đó $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(-2;3;-4)+(0;1;-2)=(-2;4;-6)$. Bình phương độ dài đường chéo: $A{C}^2=(-2{)}^2+4^2+(-6{)}^2=4+16+36=56$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (56).

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(1;1;2)$, $B(3;0;4)$, $C(-2;5;3)$: $D(1-2-3;1+5-0;2+3-4)=(-4;6;1)$. Vậy $P=x-y+z=-4-6+1=-9$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 0+0\cdot 1+2\cdot (-1)=-2$. Mặt khác $|\vec{a}|=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ và $|\vec{b}|=\sqrt{0^2+1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$. Do đó $\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-2}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$. Suy ra góc giữa hai vectơ là $120^{\circ }$, chọn đáp án C (khớp đáp án nguồn, mã đề 1102, câu 10).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0),E(0;0;1),F(1;0;1),G(1;1;1),H(0;1;1)$; tâm $O(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$, trọng tâm $I$ của tam giác $GBD$: $I=\frac{G+B+D}{3}=(\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3})$.
a) $\overrightarrow{FD}=(-1;1;-1)$ còn $\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FC}=(0;1;0)+(-1;0;0)+(0;1;-1)=(-1;2;-1)\ne \overrightarrow{FD}$ → Sai.
b) $O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ → Đúng.
c) $I$ là trọng tâm tam giác $GBD$ nên $\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\vec{0}$ → Đúng.
d) $I=\frac{G+2O}{3}$ nên $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OG}$ và $\overrightarrow{GI}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{OG}=-2\overrightarrow{OI}$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a)S - b)Đ - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ đã chọn, $\overrightarrow{FD}=(-1;1;-1)$ nhưng $\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FC}=(-1;2;-1)$, hai vectơ không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên là trung điểm $AC$, do đó $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất trọng tâm: $I$ là trọng tâm tam giác $GBD$ nên $\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$I=\frac{G+B+D}{3}=\frac{G+2O}{3}$ (vì $O$ trung điểm $BD$), suy ra $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OG}$ và $\overrightarrow{GI}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{OG}=-2\overrightarrow{OI}$.

a) Xác định đúng tọa độ $P(4;0;1,2)$, $Q(0;3;3,7)$ (mỗi điểm tính 0,25) — 0,5 điểm.
b) Tìm được độ dài $PQ=\sqrt{4^2+3^2+2,5^2}=\frac{5\sqrt{5}}{2}\approx 5,59$ — 0,5 điểm.

a) Xác định đúng tọa độ $M(2,5;0;1,5)$, $N(0;1,2;2,4)$ (mỗi điểm tính 0,25) — 0,5 điểm.
b) Tìm được độ dài $MN=\sqrt{2,5^2+1,2^2+0,9^2}=\frac{\sqrt{34}}{2}$ — 0,5 điểm.