Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ cùng hướng (vì $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ do $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và cùng chiều đi từ đỉnh trái sang đỉnh phải của mặt phẳng đáy tương ứng). Do đó góc giữa hai vectơ bằng $0^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 4: điểm $A$ nằm trên trục $Oz$ cao $10m$ nên $A(0;0;10)$. Điểm $B$ nằm trên mặt đất, $OB=15m$ và $OB$ hợp với trục $Oy$ góc $30^{\circ }$, nghiêng về phía trục $Ox$, nên:
$$x_B=15\sin 30^{\circ }=7,5,y_B=15\cos 30^{\circ }=\frac{15\sqrt{3}}{2},z_B=0.$$
Vậy $\overrightarrow{AB}=\left(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};-10\right)$, tức $a=7,5$, $c=-10$.
$$2a-c=2(7,5)-(-10)=15+10=25.$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc $A$: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;4;0)$, $A^{\prime }(0;0;4)$. Khi đó $C^{\prime }(4;4;4)$, $M$ trung điểm $AD$ là $(0;2;0)$, $N$ trung điểm $B{B}^{\prime }$ là $(4;0;2)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(4;-2;2)$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(4;4;4)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=4\cdot 4+(-2)\cdot 4+2\cdot 4=16-8+8=16$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ song song (bằng) với $\overrightarrow{BD}$... Xét mặt đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$, tức $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Vì $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ (do $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và cùng chiều theo hình vuông $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$... thực chất $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ song song cùng hướng với $\overrightarrow{BD}$ hay đối chiều không quan trọng vì góc giữa hai vectơ được xác định qua tích vô hướng): $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Vậy góc giữa hai vectơ bằng $90^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $A$ làm gốc tọa độ, với $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng $\vec{i}$, $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng $\vec{j}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ cùng hướng $\vec{k}$ nên $A(0;0;0)$, $B(10;0;0)$, $D(0;16;0)$, $A^{\prime }(0;0;8)$. Điểm $C$ có hình chiếu là $B$ trên trục $x$ và $D$ trên trục $y$ nên $C(10;16;0)$. Suy ra $\overrightarrow{A^{\prime }C}=C-A^{\prime }=(10-0;16-0;0-8)=(10;16;-8)$. Đáp án D, trùng với đáp án được gạch chân trong tài liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ tọa độ: O là gốc, trục Ox theo hướng OC, trục Oy theo hướng OA, Oz vuông góc đáy. Tam giác đều cạnh 2a nên OB=OC=a, đường cao OA=a√3. Vậy O(0;0;0), C(a;0;0), B(-a;0;0), A(0;a√3;0), S(0;a√3;a).
a) Vì O là trung điểm BC nên AB+AC = 2AO = -2OA, khác 2OA → sai.
b) M trung điểm SC: M((0+a)/2; (a√3+0)/2; (a+0)/2) = (a/2; a√3/2; a/2), khác (-a/2; a√3/2; a/2) → sai.
c) A(0; a√3; 0) → đúng.
d) SB=(a; -a√3; -a), SC=(-a; -a√3; -a), SB·SC = -a²+3a²+a² = 3a² → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
O là trung điểm BC nên AB+AC = 2AO = -2OA ≠ 2OA.
b) (AI giải đề cho tôi)
M = ((0+a)/2; (a√3+0)/2; (a+0)/2) = (a/2; a√3/2; a/2), hoành độ phải dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
A nằm trên trục Oy với OA = a√3 nên A(0; a√3; 0).
d) (AI giải đề cho tôi)
SB=(a; -a√3; -a), SC=(-a; -a√3; -a), tích vô hướng = -a²+3a²+a² = 3a².

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{C^{\prime }B}+\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vì $A{C}^{\prime }$ là đường chéo hình lập phương cạnh 3 nên $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=3\sqrt{3}$, suy ra $a=3,b=3$ và $T=2a+b=2\cdot 3+3=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$. $G$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$. Vậy mệnh đề D đúng, mệnh đề B sai (hệ số $\frac{1}{3}$ sai, đúng phải là $\frac{1}{4}$). Với $G$ là trung điểm $MN$ thì $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\vec{0}$ (A đúng). Cũng có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$ và $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$, nên tổng bằng $2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN})=\vec{0}$ (C đúng). Mệnh đề sai là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1062, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;2;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;0;3)$. Vì $\frac{1}{-1}\ne \frac{2}{0}$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng → a đúng. Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=A+C-B=(2+1-3;-1-1-1;-2+1-2)=(0;-3;-3)$ → b đúng. $\overrightarrow{BA}=(-1;-2;-4)$, $\overrightarrow{BC}=(-2;-2;-1)$; $-2\overrightarrow{BC}=(4;4;2)\ne \overrightarrow{BA}$ → c sai. $\overrightarrow{BA}=(-1;-2;-4)\ne (1;2;4)$ (đó là $\overrightarrow{AB}$) → d sai. Kết quả ĐĐSS khớp đáp án nguồn (mã đề 1062, câu 3).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;2;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;0;3)$ không cùng phương nên $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ cho $D=A+C-B=(0;-3;-3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}=(-1;-2;-4)$ còn $-2\overrightarrow{BC}=(4;4;2)$, hai vectơ không bằng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}=(-1;-2;-4)$, còn $(1;2;4)$ là $\overrightarrow{AB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và bằng nhau). Khi đó $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }})\cdot \overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{D{D}^{\prime }}+|\overrightarrow{D{D}^{\prime }}{|}^2$. Vì $AD\perp D{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{D{D}^{\prime }}=0$, và $|\overrightarrow{D{D}^{\prime }}{|}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$. Vậy kết quả bằng $2$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1062, câu 6 phần trả lời ngắn = 2).

Nguồn chỉ cung cấp đáp án SĐSĐ (bảng mã đề 1061, dòng 4, trang 9), không có lời giải. Các giải thích per-statement do AI suy ra từ đáp án chính thức và kiểm chứng toán học. Đề gốc in $\overrightarrow{AB}=(-3;3-1)$ ở câu d) — lỗi in của nguồn, được giữ nguyên.
a) AI-derived (không có trong nguồn): $\overrightarrow{AB}=(-3;3;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(2;1;-1)$, nên $3\overrightarrow{AC}=(6;3;-3)\ne \overrightarrow{AB}$. Sai.
b) AI-derived (không có trong nguồn): $\overrightarrow{AB}=(-3;3;-1)$ và $\overrightarrow{AC}=(2;1;-1)$ không cùng phương (không tồn tại $k$ để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$), nên ba điểm không thẳng hàng. Đúng.
c) AI-derived (không có trong nguồn): Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(-5;0;0)$, suy ra $D=(-4;-2;3)\ne (-2;-1;1)$. Sai.
d) AI-derived (không có trong nguồn): Đề gốc in $\overrightarrow{AB}=(-3;3-1)$, hiểu là $\overrightarrow{AB}=(-3;3;-1)$ (lỗi in của nguồn, được giữ nguyên). Thật vậy $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2-1;1-(-2);2-3)=(-3;3;-1)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $C^{\prime }(2;2;2)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(2;2;0)$, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0;2;2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B{C}^{\prime }}=2\cdot 0+2\cdot 2+0\cdot 2=4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (4).

(AI giải đề cho tôi)
Với $I$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $CD$, ta có $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$ (đúng cho B và D). Với C: $\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D}+\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}+\overrightarrow{D}-\overrightarrow{B})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})=\overrightarrow{IJ}$, đúng. Riêng A: $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}+\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C})\ne \overrightarrow{IJ}$ nói chung. Vậy đẳng thức sai là A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;4;0), A'(0;0;3), C(2;4;0), C'(2;4;3), B'(2;0;3), D'(0;4;3). a) AB=(2;0;0) đúng. b) G=((2+2+0)/3;(4+0+0)/3;(0+0+3)/3)=(4/3;4/3;1) đúng. c) AC=(2;4;0), B'D'=(-2;4;0), cos = |−4+16|/(√20·√20)=12/20=3/5 đúng. d) AC'=(2;4;3), AN=(-2;4;-3), không tỉ lệ nên không thẳng hàng, sai. Khớp đáp án DDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
B(2;0;0), A(0;0;0) nên AB=(2;0;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
B(2;0;0), C(2;4;0), A'(0;0;3) nên G=((2+2+0)/3;(4+0+0)/3;(0+0+3)/3)=(4/3;4/3;1).
c) (AI giải đề cho tôi)
AC=(2;4;0), B'D'=D'-B'=(-2;4;0); cos = |(2)(-2)+(4)(4)+0|/(√20·√20)=12/20=3/5.
d) (AI giải đề cho tôi)
AC'=(2;4;3), AN=(-2;4;-3). Hai vectơ không cùng phương (2/(-2)≠4/4), nên N, A, C' không thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $C^{\prime }(2;2;2)$. Khi đó $M$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$ với $B^{\prime }(2;0;2)$, $C^{\prime }(2;2;2)$ nên $M(2;1;2)$; $N$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ nên $N(2;2;1)$. Suy ra $\overrightarrow{NM}=(0;-1;1)$ và $\overrightarrow{AC}=(2;2;0)$. Do đó $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{NM}=2\cdot 0+2\cdot (-1)+0\cdot 1=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-2).

(AI giải đề cho tôi)
A nằm trên trục Oz với AO = 10 m nên A(0;0;10). B nằm trong mặt phẳng Oxy với OB = 15 m và góc BOH = 30° (H thuộc tia Oy), nên B(15·sin30°; 15·cos30°; 0) = (7,5; 7,5√3; 0). Suy ra vector AB = (7,5; 7,5√3; −10), tức a = 7,5; b = 7,5√3; c = −10. Vậy a − c = 7,5 − (−10) = 17,5, khớp với đáp án nguồn 17,5.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MB}$, ta có $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=3(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})$ nên $2\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, tức $M=\frac{3B-A}{2}$. Cụ thể: $a=\frac{3\cdot 3-1}{2}=4$, $b=\frac{3\cdot (-1)-3}{2}=-3$, $c=\frac{3\cdot 5-(-1)}{2}=8$. Vậy $a-b+c=4-(-3)+8=15$, khớp với đáp án nguồn (15).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét phương án C: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ (vì $ABCD$ là hình bình hành, $D$ là đỉnh, $DB$ là đường chéo). Do đó $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp với ba cạnh xuất phát từ $D$). Vậy mệnh đề C đúng. Các phương án A, B, D sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (không khớp với $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ hay $\overrightarrow{D^{\prime }B}$). Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $D(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$, $B^{\prime }(0;2;2)$, $C^{\prime }(2;2;2)$, $D^{\prime }(0;2;2)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(2;2;0)$. Trung điểm $M$ của $B^{\prime }{C}^{\prime }$: $M(1;2;2)$; trung điểm $N$ của $C{C}^{\prime }$: $N(2;2;1)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(1;0;-1)$. Vậy $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{MN}=2\cdot 1+2\cdot 0+0\cdot (-1)=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2, Phần III: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ thức $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$, ta có $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}\iff M-A=2(B-M)\iff 3M=A+2B\iff M=\frac{A+2B}{3}$ (điểm $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k=2$). Tọa độ: $a=\frac{4+2(-2)}{3}=0$, $b=\frac{2+2(-1)}{3}=0$, $c=\frac{1+2(4)}{3}=3$. Vậy $a-b+c=0-0+3=3$, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, Phần III: 3).