Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 với tâm O(5;5;2), chiều cao chóp 2 nên S(5;5;4).
a) Đúng. Gọi M(5;6;2) là trung điểm BC, OM = 1 (khoảng cách từ tâm đáy đến BC), tam giác SOM vuông tại O với SO = 2 nên tan α = SO/OM = 2.
b) Sai. Đỉnh S(5;5;4), không phải (5;4;5).
c) Đúng. Hình chiếu qua L(5;10;2) lên mặt phẳng Oxz (y = 0): với điểm P, t = −y_P/(10 − y_P) trên đường L + t(P − L). Suy ra S'(5;0;6), B'(7,5;0;2), C'(2,5;0;2) (hình chiếu của A, D nằm trong đoạn B'C'). Bóng là tam giác S'B'C' có đáy B'C' = 5 và đường cao 6 − 2 = 4, diện tích = ½·5·4 = 10 m², khớp mệnh đề.
d) Đúng. A, B, C, D đều có z = 2 nên đáy nằm trên mặt phẳng z − 2 = 0.
a) (AI giải đề cho tôi)
M(5;6;2) trung điểm BC, OM = 1, SO = 2, tam giác SOM vuông tại O nên tan α = SO/OM = 2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đáy (5;5;2), chiều cao 2 nên S(5;5;4), không phải (5;4;5).
c) (AI giải đề cho tôi)
Chiếu qua L(5;10;2) lên Oxz (y=0): S'(5;0;6), B'(7,5;0;2), C'(2,5;0;2). Bóng là tam giác S'B'C' với đáy B'C' = 5, đường cao 4, diện tích = 10 m², khớp mệnh đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
A, B, C, D đều có z = 2 nên thuộc mặt phẳng z − 2 = 0.

(AI giải đề cho tôi)
Xét mặt phẳng (Oxz): y = 0.
a) A có y = 1 > 0, B có y = 2 > 0 nên A, B cùng phía với (Oxz). Đúng.
b) Hình chiếu của A(-2;1;1) trên (Oxz) là H(0;1;1) (giữ y, z, đưa x về 0), không phải H(0;1;0). Sai.
c) Đối xứng của A(-2;1;1) qua (Oxz) là A'(-2;1;-1), không phải (2;1;-1). Sai.
d) Lấy B'(5;2;-3) đối xứng của B qua (Oxz). Đường thẳng AB' cắt (Oxz) tại M: A + t(B'-A) = (-2+7t; 1+t; 1-4t), cho z = 0 được t = 1/4, suy ra M(-1/4; 5/4; 0). Khi đó OM = sqrt(1/16 + 25/16) = sqrt(26)/4 ≠ sqrt(26)/3. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
A có y = 1 > 0 và B có y = 2 > 0 nên hai điểm cùng phía với mặt phẳng (Oxz).
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A(-2;1;1) trên (Oxz) là H(0;1;1), không phải H(0;1;0).
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng của A(-2;1;1) qua (Oxz) là A'(-2;1;-1), không phải (2;1;-1).
d) (AI giải đề cho tôi)
Lấy B'(5;2;-3) đối xứng B qua (Oxz), đường AB' cắt (Oxz) tại M(-1/4; 5/4; 0) nên OM = sqrt(26)/4, không bằng sqrt(26)/3.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0.
a) A có y = 1 > 0, B có y = 2 > 0 nên A, B cùng phía với (Oxz). Đúng.
b) Hình chiếu của A(−2;1;1) trên (Oxz) là H(−2;0;1), không phải (0;1;0). Sai.
c) Đối xứng của A qua (Oxz) là A'(−2;−1;1), không phải (2;1;−1). Sai.
d) Lấy B' đối xứng với B qua (Oxz): B'(5;−2;3). M là giao điểm của AB' với mặt phẳng y = 0. Đường thẳng AB': (x;y;z) = (−2;1;1) + t(7;−3;2). y = 0 ⟹ t = 1/3 ⟹ M(1/3; 0; 5/3). Khi đó MA + MB = MA + MB' ngắn nhất và OM = √(1/9 + 25/9) = √26/3. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
A có tung y = 1 > 0, B có y = 2 > 0, cùng khác dấu 0 nên cùng phía với (Oxz): y = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của A(−2;1;1) trên (Oxz) là H(−2;0;1), không phải (0;1;0).
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng của A qua (Oxz) là A'(−2;−1;1) (đổi dấu tung độ), không phải (2;1;−1).
d) (AI giải đề cho tôi)
B' đối xứng B qua (Oxz): B'(5;−2;3). AB' cắt y = 0 tại M(1/3;0;5/3) (t = 1/3), nên OM = √(1/9 + 25/9) = √26/3.

(AI giải đề cho tôi)
Cabin chuyển động đều trên đoạn thẳng $AB$ nên $M$ chia $AB$ theo tỉ số $t$ với $z_M=z_A+t(z_B-z_A)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(540;-540;270)$, cao độ tăng từ 0 đến 270 m. Vì $z_M=200$ nên $t=\frac{200}{270}=\frac{20}{27}$. Độ dài $AB=\sqrt{540^2+(-540{)}^2+270^2}=\sqrt{291600+291600+72900}=\sqrt{656100}=810$ (m). Do chuyển động đều theo đường thẳng: $AM=t\cdot AB=\frac{20}{27}\cdot 810=600$ (m). Vậy độ dài quãng đường $AM=600$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương $\vec{u}=(0;-2;6)$ có độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{0^2+(-2{)}^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. Quãng đường cabin đi trong 5 giây với tốc độ 4 m/s là $s=4\cdot 5=20$ (m). Vì chuyển động đều theo đường thẳng nên $\overrightarrow{AM}=\frac{20}{2\sqrt{10}}\vec{u}=\sqrt{10}(0;-2;6)=(0;-2\sqrt{10};6\sqrt{10})$. Suy ra $M=(-2;1-2\sqrt{10};5+6\sqrt{10})$. Do đó $a+3b+c=-2+3(1-2\sqrt{10})+(5+6\sqrt{10})=-2+3-6\sqrt{10}+5+6\sqrt{10}=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $D(0;4;0)$, $C(6;4;0)$, $S(0;0;6)$ (vì $SA\perp (ABCD)$).

Điểm $M\in BD$ với $\overrightarrow{MB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MD}$ nên $M$ nằm giữa $B,D$ với $MB:MD=1:2$, suy ra $M=\frac{2B+D}{3}=\left(4;\frac{4}{3};0\right)$.

Điểm $N\in SC$ với $\overrightarrow{NS}=-3\overrightarrow{NC}$ nên $N$ nằm giữa $S,C$ với $NS:NC=3:1$, suy ra $N=\frac{S+3C}{4}=\left(\frac{18}{4};3;\frac{6}{4}\right)=\left(\frac{9}{2};3;\frac{3}{2}\right)$.

Vậy $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{1}{2};\frac{5}{3};\frac{3}{2}\right)$, do đó
$$M{N}^2=\frac{1}{4}+\frac{25}{9}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}+\frac{25}{9}=\frac{95}{18}=\frac{190}{36},$$
$$MN=\frac{\sqrt{190}}{6}.$$

Kết quả trùng với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì M là trung điểm CD nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD})$. Tứ diện đều có cạnh a nên góc giữa AB và AC là 60°, góc giữa AB và AD cũng là 60°: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\frac{a^2}{2}$. Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}\right)=\frac{a^2}{2}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), B'(a;0;a), C'(a;a;a), D'(0;a;a).
(I) Theo quy tắc hình hộp: AC' = AA' + AB + AD. Đúng.
(II) K trung điểm AD nên K(0; a/2; 0). C'K = (−a; −a/2; −a). Mặt khác C'C = (0;0;−a), C'D' = (−a;0;0), ½C'B' = (0;−a/2;0), tổng bằng (−a; −a/2; −a). Đúng.
(III) AB·B'D' = (a;0;0)·(−a;−a;0) = −a² ≠ a². Sai.
(IV) M(x; a; 0), N(a; 0; x) nên MN = (a−x; −a; x), AC = (a; a; 0). Tích vô hướng AC·MN = a(a−x) − a² = −ax, phụ thuộc x, nên góc giữa hai vecto không phải hằng số 60°. Sai.
Vậy có 2 phát biểu đúng → đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều S.ABC cạnh a: các góc ASB, BSC, ASC đều bằng 60°.
a) Đúng: $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.
b) Đúng: M trung điểm BC nên $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC})$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{SM}-\overrightarrow{SA}=-\overrightarrow{SA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$.
c) Đúng: $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\cdot (\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$, nên góc giữa $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng 90°.
d) Sai: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{SC}=-\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{SC}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{SC}}^2=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}\ne 0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Các góc ASB, BSC, ASC đều bằng 60° nên ba tích vô hướng đều bằng $a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
M trung điểm BC nên $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC})$; do đó $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{SM}-\overrightarrow{SA}=-\overrightarrow{SA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SB}=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$ nên góc giữa hai vecto bằng 90°.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{SC}=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a/2; a√3/2; 0) (vì AB=AC=a, góc BAC=60°). Gọi D=(x;y;z) với AD=a, AD·AB=a²cos60°=a²/2 nên x=a/2; AD·AC=0 (góc CAD=90°) nên (a/2)(a/2)+(a√3/2)y=0 ⇒ y=−a/(2√3). Từ x²+y²+z²=a²: z²=a²−a²/4−a²/12=2a²/3 ⇒ z=a√(2/3). Vậy D=(a/2; −a/(2√3); a√(2/3)).

Vì AI=3IB nên I=(3a/4;0;0). J trung điểm CD: J=(a/2; a√3/6; a√(2/3)/2).

Suy ra IJ→=(−a/4; a√3/6; a√(2/3)/2), AB→=(a;0;0).

AB→·IJ→=−a²/4; |AB→|=a; |IJ→|=a√(1/16+1/12+1/6)=a√(15/48)=a√5/4.

cos(AB→, IJ→)=(−a²/4)/(a·a√5/4)=−1/√5=−√5/5.

Vậy góc giữa AB→ và IJ→ là arccos(−√5/5)≈116°34′ (≈116,57°).

(AI giải đề cho tôi)
Tấm gỗ ở trạng thái cân bằng nên tổng các lực bằng vecto không: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{P}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{P}=-\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right)$.

Vì ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ đôi một vuông góc với nhau nên:
$${\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right|}^2={\left|\overrightarrow{F_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{F_3}\right|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}+2\overrightarrow{F_2}\cdot \overrightarrow{F_3}+2\overrightarrow{F_3}\cdot \overrightarrow{F_1}$$
Do các cặp vecto vuông góc nên các tích vô hướng đều bằng 0, do đó:
$${\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right|}^2=10^2+10^2+10^2=300$$
Suy ra $\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right|=10\sqrt{3}$ (N).

Vậy trọng lượng của tấm gỗ tròn là $P=\left|\overrightarrow{P}\right|=10\sqrt{3}\approx 17,32$ (N), hướng thẳng đứng xuống dưới, đối cân bằng với hợp lực của ba lực căng dây.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng lực 60N phân bố đều thành bốn lực bằng nhau nên $|\overrightarrow{F_i}|=15N$, mỗi lực hướng từ $S$ xuống từng chân giá đỡ (theo hình vẽ).

Các vecto đơn vị:
$$\overrightarrow{SA}=(30;0;-30),|\overrightarrow{SA}|=30\sqrt{2}\Rightarrow {\vec{u}}_1=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};0;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$
$$\overrightarrow{SB}=(0;20;-30),|\overrightarrow{SB}|=10\sqrt{13}\Rightarrow {\vec{u}}_2=\left(0;\frac{2}{\sqrt{13}};-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$$
$$\overrightarrow{SC}=(-20;0;-30)\Rightarrow {\vec{u}}_3=\left(-\frac{2}{\sqrt{13}};0;-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$$
$$\overrightarrow{SD}=(0;-20;-30)\Rightarrow {\vec{u}}_4=\left(0;-\frac{2}{\sqrt{13}};-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$$

Với $\overrightarrow{F_i}=15{\vec{u}}_i$, ta có:
$$\overrightarrow{F_1}+2\overrightarrow{F_2}+3\overrightarrow{F_3}+4\overrightarrow{F_4}=15\left({\vec{u}}_1+2{\vec{u}}_2+3{\vec{u}}_3+4{\vec{u}}_4\right)$$

Từng thành phần:
- $x$: $15\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{6}{\sqrt{13}}\right)\approx 15(0,7071-1,6641)\approx -14,355$
- $y$: $15\left(\frac{4}{\sqrt{13}}-\frac{8}{\sqrt{13}}\right)=15\left(-\frac{4}{\sqrt{13}}\right)\approx -16,641$
- $z$: $15\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{6}{\sqrt{13}}-\frac{9}{\sqrt{13}}-\frac{12}{\sqrt{13}}\right)=15\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{27}{\sqrt{13}}\right)\approx -122,936$

Độ lớn:
$$\left|\overrightarrow{F_1}+2\overrightarrow{F_2}+3\overrightarrow{F_3}+4\overrightarrow{F_4}\right|=\sqrt{14,355^2+16,641^2+122,936^2}\approx \sqrt{15596}\approx 124,9$$

Làm tròn đến hàng đơn vị: $\boxed{125N}$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: O(0;0;0), A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) (vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều bằng 1). Khi đó M là trung điểm AB nên M(1/2; 1/2; 0).

Ta có:
$\overrightarrow{OM}=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(-1;0;1)$.

$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}$; $|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$; $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2}$.

Vậy $\cos (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AC})=\frac{-1/2}{(\sqrt{2}/2)(\sqrt{2})}=-\frac{1}{2}$.

Do đó góc giữa hai vectơ bằng $120^{\circ }$ và $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (luôn dương, không thể âm). Đề bài gốc viết 'sin góc ... bằng $-\frac{a}{b}$' là lỗi đánh máy: dấu âm chỉ có ý nghĩa với cosin. Theo đúng ý đồ của đề (giá trị $-\frac{a}{b}$ chính là $\cos (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AC})=-\frac{1}{2}$ với phân số tối giản), ta có $a=1$, $b=2$, suy ra $Q=a\cdot b=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ A vuông góc BC nên AH·BC = 0. Điểm H nằm trên BC: H = B + t(C−B) = (t; 2−t; 3t), t∈ℝ. Vecto BC = (−1;−1;3), AH = (t−2; 2−t; 3t). Điều kiện vuông góc: AH·BC = −(t−2) − (2−t) + 9t = 9t = 0 ⟹ t = 0. Vậy H trùng B, tức tam giác có góc B vuông (kiểm tra: AB·BC = (−2;2;0)·(−1;−1;3) = 2−2+0 = 0 đúng). Suy ra H(0;2;0) và x₀+y₀+z₀ = 0+2+0 = 2.00.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi N là hình chiếu của M trên mặt phẳng Oxy, C là điểm trên trục Oz sao cho góc MOC là góc giữa OM và Oz.

Trong tam giác vuông OCM (vuông tại C... chính xác hơn: tam giác vuông tại C với OC là cạnh kề):
- $c=OC=OM\cos 65^{\circ }=14\cos 65^{\circ }\approx 14\times 0.42262\approx 5.9166$
- $ON=OM\sin 65^{\circ }=14\sin 65^{\circ }\approx 14\times 0.90631\approx 12.6883$

Trong mặt phẳng Oxy, góc $\widehat{NOB}=32^{\circ }$ là góc giữa ON và trục Oy (OB nằm trên trục Oy), nên:
- $b=ON\cos 32^{\circ }\approx 12.6883\times 0.84805\approx 10.7605$
- $a=ON\sin 32^{\circ }\approx 12.6883\times 0.52992\approx 6.7239$

Kiểm tra: $a^2+b^2+c^2\approx 45.21+115.79+35.01\approx 196.01\approx 14^2$. Đúng.

Vậy $T=a+b+c\approx 6.7239+10.7605+5.9166\approx 23.40$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}$ với $I$ là trung điểm $AB$, do đó $M{A}^2+M{B}^2$ nhỏ nhất khi $M$ gần $I$ nhất. Vì $M(a;b;0)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$, $M$ là hình chiếu của $I$ lên $(Oxy)$. Trung điểm $I\left(\frac{1+2}{2};\frac{2+(-1)}{2};\frac{1+3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};2\right)$, nên $M\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};0\right)$, tức $a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}$. Vậy $a+b=2$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
AB = B - A = (-3;3;-1), nên mệnh đề a sai (tọa độ z là -1 chứ không phải 1). AC = C - A = (2;1;-1), không cùng phương với AB nên AB ≠ 3AC, mệnh đề b sai. Vì AB và AC không cùng phương, ba điểm A, B, C không thẳng hàng, mệnh đề c đúng. Chân đường cao H từ A trên BC: BC = (5;-2;0), H = B + t·BC với t = (A-B)·BC/|BC|² = (3·5 + (-3)(-2) + 1·0)/29 = 21/29. Suy ra H = (-2 + 105/29; 1 - 42/29; 2) = (47/29; -13/29; 2), khác với (-47/29; 13/29; 2) nên mệnh đề d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB = B - A = (-2-1; 1-(-2); 2-3) = (-3;3;-1), khác (-3;3;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AC = (2;1;-1) không cùng phương với AB = (-3;3;-1) nên AB ≠ 3AC.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB = (-3;3;-1) và AC = (2;1;-1) không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Gọi H = B + t·BC, BC = (5;-2;0), t = (A-B)·BC/|BC|² = 21/29, suy ra H = (47/29; -13/29; 2) ≠ (-47/29; 13/29; 2).