Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Một ống dẫn nước $OAB$ được cố định vào một bức tường đồng thời được đặt trong hệ tọa độ $Oxyz$ và có các kích thước như hình vẽ.

- Đoạn ống $OA$ nằm trên tia $Oy$ (vuông góc với tường), có chiều dài $OA=10\text{ dm}$.
- Đoạn ống $AB$ nối tiếp với $OA$, có chiều dài $AB=6\text{ dm}$. Ống $AB$ vuông góc với $OA$ và hướng xuống dưới, tạo với mặt phẳng nằm ngang $(Oxy)$ một góc $60^{\circ }$.
- Đầu $B$ của ống được giữ cố định bởi một thanh sắt nối với điểm $C$ trên tường. Biết điểm $C(4;0;5)$. (Đơn vị trên các trục là $\text{dm}$).

Câu 4. Trong không gian chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước, trong đó xem mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 km, một ra đa được đặt tại vị trí gốc tọa độ $O$ phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;10)$ đến điểm $N(300;800;10)$ trong 40 phút.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tọa độ các đỉnh $A(1;-1;3)$, $B(0;2;4)$, $D(2;-1;1)$ và $A^{\prime }(0;1;2)$.

Câu 4. Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ được gắn như hình vẽ, trong đó gốc $O$ là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và điểm $M(x;y;z)$ (km) biểu thị vị trí máy bay trên không trung. Tại thời điểm $7$ giờ máy bay đang ở vị trí có tọa độ $(50;120;4)$ và chuyển động với vận tốc $\vec{v}=(300;400;3)$ (km/h). Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị tính theo đơn vị km.

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, một chiếc điện thoại iphone được đặt trên một giá đỡ có ba chân với điểm đặt $S(0;0;20)$ và các điểm chạm mặt đất của ba chân lần lượt là $A(0;-6;0)$, $B(3\sqrt{3};3;0)$, $C(-3\sqrt{3};3;0)$ (đơn vị cm). Cho biết điện thoại có trọng lượng là $2\text{ N}$. Gọi ba lực ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3$ tác dụng tại $S$ và có phương lần lượt theo các đoạn $SA,SB,SC$ có độ lớn bằng nhau. Biết tọa độ của lực ${\vec{F}}_1=(a;b;c)$, khi đó $T=2a+5b+6c$ bằng?

Một bể cá cảnh có mô hình bên trong là hình hộp chữ nhật $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AD=4\text{dm},AB=8\text{dm},A{A}^{\prime }=4\text{dm}$. Trong quá trình thay nước cho bể cá người ta rút bớt nước trong bể, phần nước còn lại khi nghiêng bể thì người ta thấy bề mặt thoáng của nước trong bể là tứ giác $CBHK$, trong đó $H,K$ lần lượt là trung điểm của $A{A}^{\prime },D{D}^{\prime }$, (tham khảo hình vẽ 1). Sau khi bể nước được đặt trở lại vị trí thăng bằng thì mặt thoáng của nước trong bể là tứ giác $MNPQ$, toàn bộ khối được đặt trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ 2; gốc $O$ trùng với $A$, tia $Ox$ trùng với tia $AD$, tia $Oy$ trùng với tia $AB$, tia $Oz$ trùng với tia $A{A}^{\prime }$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 30 cm. Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí $A$ và $D$, kiến vàng đi thẳng từ $A$ đến $D^{\prime }$ với vận tốc 1 cm/s và kiến đen đi thẳng từ $D$ đến $B$ với vận tốc 2 cm/s. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu xuất phát, khoảng cách giữa hai con kiến là bé nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian, ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào một điểm. Biết cường độ của ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ đều bằng $10\text{ N}$ và $(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2})=60^{\circ }$; $(\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3})=90^{\circ }$; $(\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_1})=120^{\circ }$. Cường độ của lực tổng hợp tác động vào điểm trên bằng bao nhiêu Newton? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $OAFPE.CBGQH$ với $OAFE$ là hình chữ nhật, $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Biết $OA=4\text{ m};AB=6\text{ m};HC=5\text{ m}$; độ dốc của mái nhà, tức là số đo góc nhị diện $[Q,FG,H]$ bằng $45^{\circ }$. Người ta mô hình hóa nhà kho bằng cách chọn hệ trục tọa độ tương ứng như hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ m}$):



Khi đó:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A(100;50;5)$ đến điểm $B(200;100;10)$ trong $10$ phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau $10$ phút tiếp theo là $(a;b;c)$, tính $a+b+c$. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A(100;65;10)$ đến điểm $B(200;100;15)$ trong $10$ phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau $10$ phút tiếp theo là $(a;b;c)$, tính $a+b+c$. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong một nhà máy thông minh, hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập để điều hành các thiết bị tự động, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Mặt sàn nhà máy nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Một bộ định tuyến phát sóng Wi-Fi được treo tại vị trí $A(-3;4;9)$, một cảm biến đo chấn động được gắn ngầm dưới nền nhà máy tại vị trí $B(6;16;-4)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt sàn. Một robot tự hành $M$ di chuyển trên mặt sàn và luôn giữ khoảng cách đến bộ định tuyến $A$ bằng $15\text{ m}$. Biết rằng robot $M$ có nhiệm vụ đồng bộ dữ liệu với cảm biến $B$ và quá trình này đạt độ ổn định cao nhất khi khoảng cách giữa robot và cảm biến là nhỏ nhất.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(4;-1;2);B(7;3;2)$. Gọi $M(0;b;c)$ là điểm trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho tam giác $ABM$ vuông cân tại $A$. Giá trị biểu thức $K=2b+3c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm $A(-2;1;5)$, chuyển động đều theo đường cáp và cùng hướng với $\vec{u}=(0;-2;6)$ với tốc độ là $4m/s$ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Sau $5$ giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm $M$. Gọi tọa độ $M(a;b;c)$. Giá trị $T=a+3b+c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ với điểm $A(1;2;0),B(2;-1;1)$ và điểm $C(a;b;c)$ thuộc trục hoành và $a>0$. Tổng $T=2a+3b+4c$ bằng?

Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian $Oxyz$ với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng $1\mathrm{m}$, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ với điểm $A(1;2;0),B(2;-1;1)$ và điểm $C(a;b;c)$ thuộc trục hoành và $a>0$. Tổng $T=a+3b+4c$ bằng?

Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian $Oxyz$ với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng $1\mathrm{m}$, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

Một chiếc xe máy kéo đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ như hình bên, với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng $1\mathrm{m}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}=(a;b;c)$. Khi đó $4a+2b-c=?$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ nằm trên mặt nước, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước, trục $Oz$ hướng lên trên (đơn vị độ dài trên các trục tọa độ là mét), một con chim bói cá đang ở vị trí (có hoành độ, tung độ và cao độ là các số thực dương) cách mặt nước $2\mathrm{m}$, cách các mặt phẳng $(Oxz),(Oyz)$ lần lượt là $3\mathrm{m}$ và $1\mathrm{m}$ phóng thẳng xuống vị trí con cá, biết con cá ở vị trí (có hoành độ và tung độ là các số thực dương) cách mặt nước $50\mathrm{cm}$, cách mặt phẳng $(Oxz),(Oyz)$ lần lượt là $1\mathrm{m}$ và $1,5\mathrm{m}$. Tính khoảng cách từ vị trí chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước và vị trí ban đầu của con cá (đơn vị: mét, kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).