Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, một chiếc máy quay phim được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt $S(0;0;5)$ và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là $A(0;1;0)$, $B\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2};0\right)$, $C\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2};0\right)$ (hình vẽ bên). Biết lực tác dụng của máy quay phim lên các giá đỡ $SA,SB,SC$ lần lượt là ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3$ và trọng lượng của chiếc máy là 60 N, giá trị của $|{\vec{F}}_1|+|{\vec{F}}_2|+|{\vec{F}}_3|$ bằng bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;-1;4)$, $B(-2;2;3)$ và hai điểm $M,N$ thay đổi sao cho $M$ luôn thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và $\overrightarrow{MN}=(-2;-2;1)$.

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ biết $A(-3;2;1)$, $C(4;2;0)$, $B^{\prime }(-2;1;1)$ và $D^{\prime }(3;5;4)$. Gọi tọa độ điểm $A^{\prime }(a;b;c)$. Tính giá trị biểu thức $2a+b+c$?

Câu 2. Trong một ca trực tại Trạm kiểm soát không lưu sân bay Tân Sơn Nhất, các kỹ sư ra-đa thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét) với gốc $O(0;0;0)$ là vị trí đặt tháp điều hành không lưu.
Lúc $8$ giờ sáng, hệ thống theo dõi một máy bay thương mại đang ở vị trí $M_0(50;120;4)$ (nghĩa là cách tháp điều hành $50\text{ km}$ về hướng Đông, $120\text{ km}$ về hướng Bắc và ở độ cao $4\text{ km}$). Máy bay đang bay ổn định với véc-tơ vận tốc không đổi là $\vec{v}=(300;400;3)$ (đơn vị: $\text{km/h}$).

Câu 1. Trong không gian cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $A^{\prime }{C}^{\prime }$ thỏa mãn $\overrightarrow{A^{\prime }M}=2\overrightarrow{M{C}^{\prime }}$, điểm $N$ là điểm trên cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ thỏa mãn $\overrightarrow{B^{\prime }N}=\frac{1}{2}\overrightarrow{N{C}^{\prime }}$. Gọi $I$ là giao điểm của $A^{\prime }N$ và $B^{\prime }M$. Biết $\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}+z\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Khi đó tổng $x+y+z$ bằng

Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(5;0;0),B(-5;0;0)$ và $C(1;0;5)$. Gọi $M$ là một điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ sao cho $|MA-MB|=8$. Giá trị nhỏ nhất của $MC$ bằng bao nhiêu?

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;-2),B\left(\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}\right)$.

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$ cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0),B(3;0;0),D(0;3;0),A^{\prime }(0;0;3)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh $BD,A{D}^{\prime }$ sao cho $AN=DM$, $P$ là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $K$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Câu 12. Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Khi đó $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{AB}$ bằng bao nhiêu?

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;-1),B(-1;1;0),C(1;0;1)$.

Cho ba điểm $A(3;-1;2)$, $B(2;3;-3)$, $C(-2;1;-2)$ và mặt phẳng $(Oyz)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}$ có giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $a-2b+c$.

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime }(\sqrt{3};-1;1)$; hai đỉnh $B,C$ thuộc trục $Oz$ và $A{A}^{\prime }=1$ ($C$ không trùng với $O$). Biết vectơ $\vec{u}=(a;b;2)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }C}$. Tính $T=a^2-b^2$.

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(1;1;1)$, $B(2;3;0)$. Xét tam giác $ABC$ có trực tâm $H(0;3;2)$ và $C(a;b;c)$; biết $3$ số $a;1;c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khẳng định nào đúng?

Câu 20. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $3$, $\widehat{A^{\prime }AB}=120^{\circ }$, $\widehat{A^{\prime }AC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$; $N$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Tính giá trị $\overrightarrow{A^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }N}$.

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(-8;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(13;3;-3)$, $D(8;-2;2)$.

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên các trục là centimet, một quả cầu có trọng lượng $60\text{ N}$ được đặt tại vị trí điểm $O$ và được treo vào trần nhà tại các vị trí $A,B,C,D,E$ sao cho $O.ABCDE$ là hình chóp ngũ giác đều và tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác $ABCDE$ thuộc tia $Oz$; biết $A(0;40;60)$; như hình vẽ.

Câu 6. Để chuẩn bị cho một buổi triển lãm quốc tế, các trang sức có giá trị lớn được đặt bảo mật trong các khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ và đặt lên phía trên một trụ hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông (như hình vẽ bên). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét) sao cho $A^{\prime }(0;0;0),A(0;0;1),B\left(0;\frac{1}{2};1\right)$. Biết rằng, ban tổ chức sự kiện dự định dùng các tấm kính cường lực hình tam giác cân có cạnh bên là $60\text{ cm}$ để ráp lại thành khối chóp nói trên. Khi đó, tọa độ điểm $S$ là $(a;b;c)$. Tính giá trị của $a+b+c$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

[Hình 1]

Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.OMNP$ có chiều dài $10$ m, chiều rộng $8$ m, chiều cao $4,2$ m. Phần mái nhà dạng hình chóp $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{1}{6}$. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ sao cho $M$ thuộc tia $Ox$, $P$ thuộc tia $Oy$, $A$ thuộc tia $Oz$ (như hình vẽ). Biết $S(a;b;c)$ (đơn vị của $a,b,c$ là met). Tính giá trị của biểu thức $P=a+b+c$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Sau một trận lũ lớn, một trạm cứu hộ sử dụng drone để vận chuyển nhu yếu phẩm đến người dân bị cô lập. Chọn hệ trục $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại trạm cứu hộ, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo tính theo mét. Một chiếc drone chưa được sạc đầy pin xuất phát từ trạm, phát hiện được hai địa điểm cần cứu hộ ở trên nóc hai tòa nhà là $A(120;90;30)$ và $B(40;30;10)$. Sau khi bay đến điểm $A$, drone chỉ còn đủ pin để bay $40\%$ quãng đường từ $A$ đến $B$. Các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A(7;3;3),B(1;2;4),C(2;3;5)$.