Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số camera AI thông minh mẫu A và mẫu B mà công ty này sản xuất trong một ngày $(x;y\in N)$. Số tiền lời mà công ty này thu về hàng ngày là $P=250x+180y$ (nghìn đồng). (0,25 điểm)

Ta có hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}12x+9y\le 900\\ 0\le x\le 45\\ 0\le y\le 80\end{array}(\ast ).$$ Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=250x+180y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*). (0,25 điểm)

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác $OABCD$ trong đó $O(0;0)$, $A(45;0)$, $B(45;40)$, $C(15;80)$, $D(0;80)$. (0,25 điểm)



Vậy biểu thức $P=250x+180y$ đạt giá trị lớn nhất khi $\{\begin{array}{l}x=45\\ y=40\end{array}$. (0,25)

Vậy mỗi ngày cần sản xuất 45 chiếc camera AI thông minh mẫu A và 40 chiếc camera AI thông minh mẫu B thì tổng lợi nhuận lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ bất phương trình. Với $N(4;3)$: $3\cdot 4-2\cdot 3+6=12\ge 0$; $2\cdot 4+3-10=1\ge 0$; $3-1=2>0$. Cả ba bất phương trình đều thỏa nên $N(4;3)$ thuộc miền nghiệm. Các điểm khác: $P(-1;5)$: $2(-1)+5-10=-7<0$ loại; $M(1;-3)$: $y-1=-4<0$ loại; $Q(-2;-3)$: $y-1<0$ loại. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 1245, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $2x+3y-1<0$:
- A: $x=0,y=-2$: $2(0)+3(-2)-1=-7<0$, thỏa mãn.
- B: $x=-1,y=1$: $2(-1)+3(1)-1=0$, không thỏa mãn vì $0<0$ sai.
- C: $x=0,y=0$: $-1<0$, thỏa mãn.
- D: $x=1,y=-1$: $2-3-1=-2<0$, thỏa mãn.
Vậy cặp số không phải nghiệm là $x=-1;y=1$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1245, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tam giác ABC có các đỉnh A(0;2), B(5/2;0), C(0;-5/2) và miền nghiệm là tam giác kể cả ba cạnh (phần không bị gạch sọc).
- Cạnh AB nằm trên đường thẳng đi qua A(0;2) và B(5/2;0): phương trình 4x+5y=10, miền tam giác nằm phía chứa gốc O nên 4x+5y≤10.
- Cạnh BC nằm trên đường thẳng đi qua B(5/2;0) và C(0;-5/2): phương trình 5x-4y=10, miền tam giác nằm phía chứa O nên 5x-4y≤10.
- Cạnh AC nằm trên trục Oy với x≥0 (kể cả cạnh nên lấy x≥0, không phải x>0 như phương án C).
Kiểm tra điểm O(0;0) thuộc miền: x=0≥0, 5·0-4·0=0≤10, 4·0+5·0=0≤10 — thỏa mãn. Vậy hệ bất phương trình là x≥0; 5x-4y≤10; 4x+5y≤10, tương ứng phương án D. Đáp án này cũng khớp với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}x+y<5\\ 2x-3y\le 0\end{array}$: A(3;3): $3+3=6\nless 5$ → loại. B(5;0): $5+0=5\nless 5$ → loại. C(0;0): $0<5$ đúng và $2\cdot 0-3\cdot 0=0\le 0$ đúng → thỏa cả hai bất phương trình. D(4;1): $4+1=5\nless 5$ → loại. Vậy điểm thuộc miền nghiệm là $(0;0)$, khớp đáp án nguồn (mã đề 209, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Lan mua 10 cây bút với giá 5000 đồng/cây, số tiền còn lại là $250000-10\cdot 5000=200000$ đồng. Số quyển tập tối đa là $\lfloor \frac{200000}{7000}\rfloor =\lfloor 28,57\rfloor =28$ quyển (vì 29 quyển cần $29\cdot 7000=203000>200000$ đồng). Kết quả khớp với đáp án nguồn: 28.

Đáp án:
Gọi $x$ là số áo loại I, $y$ là số áo loại II $(x,y\ge 0,x,y\in \mathbb{N})$.
- Ràng buộc thời gian cắt: $3x+1y\le 60$.
- Ràng buộc thời gian may: $1x+2y\le 50$.
- Hàm mục tiêu (Lãi $L$): $L(x,y)=50000x+40000y$ (Tối đa).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $L$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình:
$$\{\begin{array}{l}3x+y\le 60\\ x+2y\le 50\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$$
(0,25 điểm)

Xác định các đỉnh của miền nghiệm:
1. $O(0;0)$
2. Giao điểm của $3x+y=60$ với $Ox$ $(y=0)$: $3x=60\Rightarrow x=20$. $A(20;0)$
3. Giao điểm của $x+2y=50$ với $Oy$ $(x=0)$: $2y=50\Rightarrow y=25$. $B(0;25)$
4. Giao điểm của $3x+y=60$ và $x+2y=50$:
$$\{\begin{array}{l}y=60-3x\\ x+2(60-3x)=50\end{array}\Rightarrow x+120-6x=50\Rightarrow 5x=70\Rightarrow x=14.$$ $y=60-3(14)=60-42=18$. $C(14;18)$

Tính giá trị lãi $L$ tại các đỉnh:
- $L(0;0)=0$.
- $L(20;0)=50000(20)+40000(0)=\mathrm{1.000.000}$ đồng. (0,5 điểm)
- $L(0;25)=50000(0)+40000(25)=\mathrm{1.000.000}$ đồng.
- $L(14;18)=50000(14)+40000(18)=700.000+720.000=\mathrm{1.420.000}$ đồng.

Lãi tối đa là 1.420.000 đồng, đạt được khi sản xuất 14 áo loại I và 18 áo loại II. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có ba cạnh nằm trên các đường thẳng: trục $Oy$ ($x=0$), đường thẳng $d_1:5x-4y=10$ (đi qua $(0;-\frac{5}{2})$) và đường thẳng $d_2:4x+5y=10$ (đi qua $(0;2)$). Giao của $d_1$ và $d_2$: giải hệ $\{\begin{array}{l}5x-4y=10\\ 4x+5y=10\end{array}$ ta được $x=\frac{90}{41}\approx 2,2$, $y=\frac{10}{41}\approx 0,24$. Vậy tam giác có các đỉnh $(0;-\frac{5}{2})$, $(0;2)$, $\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$, nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng $x\ge 0$. Kiểm tra gốc tọa độ $O(0;0)$ nằm trong tam giác: $5\cdot 0-4\cdot 0=0\le 10$ và $4\cdot 0+5\cdot 0=0\le 10$ đều thỏa, nên miền trong tam giác ứng với các bất phương trình $5x-4y\le 10$, $4x+5y\le 10$, cùng với $x\ge 0$. Vậy hệ bất phương trình là $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 5x-4y\le 10\\ 4x+5y\le 10\end{array}$, tương ứng đáp án A (khớp với đáp án nguồn, mã đề 209). Loại B vì các đường thẳng $4x-5y=10$, $5x+4y=10$ không trùng với hai cạnh của tam giác; loại C vì $5x-4y\ge 10$ cho miền không chứa gốc tọa độ; loại D dùng $x>0$ (mở) trong khi cạnh tam giác nằm trên trục $Oy$ phải được tính.

(AI giải đề cho tôi)
Thay điểm $O(0;0)$ vào $x-3y<3$: $0-0=0<3$ đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ. Vì dấu là $<$ (không có dấu bằng), bờ $x-3y=3$ không thuộc miền nghiệm (vẽ bờ nét đứt). Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng cặp số với hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x+2y\le 4\\ 3x-y>1\end{array}$: A $(3;0)$: $3+0=3\le 4$ và $3\cdot 3-0=9>1$ → là nghiệm. B $(2;1)$: $2+2=4\le 4$ và $6-1=5>1$ → là nghiệm. C $(1;1)$: $1+2=3\le 4$ và $3-1=2>1$ → là nghiệm. D $(0;0)$: $0\le 4$ thỏa nhưng $3\cdot 0-0=0>1$ sai → không là nghiệm. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$, $ax+by+c<0$, $ax+by+c\ge 0$ hoặc $ax+by+c\le 0$ với $a,b$ không đồng thời bằng 0, trong đó $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét từng phương án: A. $x+5y\ge 10$ có dạng bậc nhất hai ẩn (đúng). B. $xy<5$ có tích $xy$ bậc hai, không phải bậc nhất. C. $3x-y^2>2$ có $y^2$ bậc hai, không phải bậc nhất. D. $x^2+y\le 1$ có $x^2$ bậc hai, không phải bậc nhất. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $\ge ,<,>$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, và ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét từng phương án: A. $x+5y\ge 10$: các ẩn $x,y$ đều có bậc nhất, hệ số $a=1\ne 0$, $b=5\ne 0$ — đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. B. $xy<5$: có tích $xy$ (ẩn xuất hiện bậc hai) nên không phải. C. $3x-y^2>2$: có $y^2$ (ẩn $y$ bậc hai) nên không phải. D. $x^2+y\le 1$: có $x^2$ (ẩn $x$ bậc hai) nên không phải. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 132, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét bất phương trình $x-3y<3$. Bờ là đường thẳng $x-3y=3$ (vẽ nét đứt vì bất phương trình có dấu $<$, tức không lấy bờ). Thay gốc tọa độ $O(0;0)$: $0-3\cdot 0=0<3$ đúng, nên gốc tọa độ thuộc miền nghiệm. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, không kể bờ $x-3y=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Lan mua 10 cây bút với giá 5000 đồng/cây, tốn $10\times 5000=50000$ đồng. Số tiền còn lại để mua tập là $250000-50000=200000$ đồng. Mỗi quyển tập giá 7000 đồng nên số quyển tập tối đa là $\lfloor \frac{200000}{7000}\rfloor =\lfloor 28,\mathrm{57...}\rfloor =28$ quyển (vì $28\times 7000=196000\le 200000$, còn $29\times 7000=203000>200000$). Kết quả trùng với đáp án nguồn là 28.

Đáp án:
Gọi $x$ là số áo loại I, $y$ là số áo loại II $(x,y\ge 0,x,y\in \mathbb{N})$.
- Ràng buộc thời gian cắt: $3x+1y\le 60$.
- Ràng buộc thời gian may: $1x+2y\le 50$.
- Hàm mục tiêu (Lãi $L$): $L(x,y)=50000x+40000y$ (Tối đa).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $L$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình:
$$\{\begin{array}{l}3x+y\le 60\\ x+2y\le 50\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$$
(0,25 điểm)

Xác định các đỉnh của miền nghiệm:
1. $O(0;0)$
2. Giao điểm của $3x+y=60$ với $Ox$ $(y=0)$: $3x=60\Rightarrow x=20$. $A(20;0)$
3. Giao điểm của $x+2y=50$ với $Oy$ $(x=0)$: $2y=50\Rightarrow y=25$. $B(0;25)$
4. Giao điểm của $3x+y=60$ và $x+2y=50$:
$$\{\begin{array}{l}y=60-3x\\ x+2(60-3x)=50\end{array}\Rightarrow x+120-6x=50\Rightarrow 5x=70\Rightarrow x=14.$$ $y=60-3(14)=60-42=18$. $C(14;18)$

Tính giá trị lãi $L$ tại các đỉnh:
- $L(0;0)=0$.
- $L(20;0)=50000(20)+40000(0)=\mathrm{1.000.000}$ đồng. (0,5 điểm)
- $L(0;25)=50000(0)+40000(25)=\mathrm{1.000.000}$ đồng.
- $L(14;18)=50000(14)+40000(18)=700.000+720.000=\mathrm{1.420.000}$ đồng.

Lãi tối đa là 1.420.000 đồng, đạt được khi sản xuất 14 áo loại I và 18 áo loại II. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tam giác ABC có các đỉnh A(0; 2,5), B(2; 0), C(0; -2,5). Cạnh AB nằm trên đường thẳng 4x + 5y = 10 (đi qua (0; 2,5) và (2; 0)), cạnh BC nằm trên đường thẳng 5x - 4y = 10 (đi qua (2; 0) và (0; -2,5)), cạnh AC nằm trên trục tung x = 0. Miền tam giác nằm bên phải trục tung nên x ≥ 0. Thử điểm gốc O(0; 0) thuộc miền tam giác: 5·0 - 4·0 = 0 ≤ 10 (đúng) và 4·0 + 5·0 = 0 ≤ 10 (đúng). Vậy miền nghiệm là hệ x ≥ 0; 5x - 4y ≤ 10; 4x + 5y ≤ 10, tương ứng đáp án B (khớp với đáp án nguồn mã đề 132).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng cặp số với hệ $\{\begin{array}{l}x+2y\le 4\\ 3x-y>1\end{array}$: A $(1;1)$: $1+2=3\le 4$ và $3-1=2>1$ → là nghiệm. B $(3;0)$: $3\le 4$ và $9>1$ → là nghiệm. C $(0;0)$: $0\le 4$ đúng nhưng $3\cdot 0-0=0>1$ sai → không là nghiệm. D $(2;1)$: $2+2=4\le 4$ và $6-1=5>1$ → là nghiệm. Vậy cặp số không là nghiệm là $(0;0)$, khớp đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}x+y<5\\ 2x-3y\le 0\end{array}$: A $(3;3)$: $3+3=6\nless 5$ — loại. B $(5;0)$: $5+0=5\nless 5$ — loại. C $(0;0)$: $0<5$ đúng và $0\le 0$ đúng — thỏa cả hai bất phương trình. D $(4;1)$: $4+1=5\nless 5$ — loại. Vậy điểm $(0;0)$ thuộc miền nghiệm, khớp đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn yêu cầu mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với $x$ và $y$ (ẩn chỉ xuất hiện bậc 1, không có tích $xy$ hay ẩn bậc 2, bậc 3). Xét từng phương án: A có $3x^3-2y>1$ chứa $x^3$ (bậc 3) nên loại. C có $6xy-5y\le 1$ chứa tích $xy$ (bậc 2) nên loại. D có $7x-2y^2>5$ chứa $y^2$ (bậc 2) nên loại. B có $4x-3y\le 1$ và $2x+9y>-5$, cả hai đều bậc nhất hai ẩn. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}y>0\\ 5x-y+4<0\end{array}$: Điểm $(0;0)$ có $y=0$ không thỏa $y>0$, nên không thuộc miền nghiệm. Các điểm còn lại: $(-1;4)$: $y=4>0$, $5(-1)-4+4=-5<0$ ✓; $(-3;4)$: $y=4>0$, $-15-4+4=-15<0$ ✓; $(-2;4)$: $y=4>0$, $-10-4+4=-10<0$ ✓. Vậy điểm không thuộc miền nghiệm là $(0;0)$, khớp đáp án A của đề (mã 1102).