Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (kg) là lượng sản phẩm P và Q cần sản xuất ($x\ge 0,y\ge 0$). Hạn chế nguyên liệu: A: $2x+2y\le 10\iff x+y\le 5$; B: $2y\le 4\iff y\le 2$; C: $2x+4y\le 12\iff x+2y\le 6$. Hàm mục tiêu: $F=3x+5y\to \max$. Miền ràng buộc là đa giác với các đỉnh $(0,0)$, $(5,0)$, $(4,1)$ (giao $x+y=5$ và $x+2y=6$), $(2,2)$ (giao $y=2$ và $x+2y=6$), $(0,2)$. Tính $F$: $F(0,0)=0$; $F(5,0)=15$; $F(4,1)=12+5=17$; $F(2,2)=6+10=16$; $F(0,2)=10$. Vậy $F_{\max }=17$ triệu đồng tại $x=4,y=1$. Phương án tối ưu: sản xuất 4 kg sản phẩm P và 1 kg sản phẩm Q, lợi nhuận cao nhất là 17 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (kg) lần lượt là lượng thịt bò và thịt lợn mua mỗi ngày, với $0\le x\le 1,5$, $0\le y\le 1$.

Ràng buộc dinh dưỡng:
$$800x+600y\ge 900⟺8x+6y\ge 9\text{(protein)}$$
$$200x+400y\ge 400⟺x+2y\ge 2\text{(lipit)}$$

Hàm mục tiêu: $C=200x+100y$ (nghìn đồng), cần tìm $C_{\min }$.

Miền ràng buộc là đa giác với các đỉnh:
- Giao của $8x+6y=9$ và $y=1$: $8x+6=9\Rightarrow x=0,375$. Kiểm tra lipit: $200(0,375)+400(1)=475\ge 400$ (thoả). $C=200(0,375)+100(1)=175$ nghìn đồng.
- Giao của $8x+6y=9$ và $x+2y=2$: thay $x=2-2y$ vào $16-16y+6y=9\Rightarrow y=0,7$, $x=0,6$. $C=200(0,6)+100(0,7)=190$ nghìn đồng.
- Giao của $x+2y=2$ và $x=1,5$: $y=0,25$, $C=325$ nghìn đồng.
- Giao của $x=1,5$ và $y=1$: $C=400$ nghìn đồng.

So sánh: $175<190<325<400$.

Vậy $C_{\min }=175$ nghìn đồng, đạt tại $x=0,375$ kg thịt bò và $y=1$ kg thịt lợn mỗi ngày. Lưu ý: lời giải AI được cung cấp đã tính đúng đỉnh $(0,375;1)$ với $C=175$ nghìn đồng, nên kết luận $C_{\min }=175$ là chính xác (không phải 190).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số xe loại $A$ và loại $B$ cần thuê ($x,y$ nguyên, $0\le x\le 10$, $0\le y\le 9$).

Ràng buộc:
- Chở người: $20x+10y\ge 140\iff 2x+y\ge 14$.
- Chở hàng: $0,6x+1,5y\ge 9\iff 2x+5y\ge 30$.

Chi phí: $F=4x+3y$ (triệu đồng), cần tìm $\min F$.

Miền nghiệm là đa giác với các đỉnh (xét trên miền liên tục):
- Giao của $2x+y=14$ và $2x+5y=30$: trừ hai phương trình được $4y=16\Rightarrow y=4$, $x=5$. Đỉnh $(5;4)$, $F=20+12=32$.
- Trên $x=10$: cần $y\ge 2$ (từ ràng buộc hàng), đỉnh $(10;2)$, $F=40+6=46$.
- Trên $y=9$: cần $x\ge 2,5$ (từ ràng buộc người), đỉnh $(2,5;9)$, $F=10+27=37$.

Vì hàm mục tiêu tuyến tính, giá trị nhỏ nhất trên miền đạt tại đỉnh, so sánh: $32<37<46$.

Vậy thuê $5$ xe loại $A$ và $4$ xe loại $B$, chi phí thấp nhất là $F=4\cdot 5+3\cdot 4=32$ triệu đồng. Kiểm tra: người chở được $20\cdot 5+10\cdot 4=140\ge 140$ người; hàng chở được $0,6\cdot 5+1,5\cdot 4=9$ tấn, thỏa mãn yêu cầu (và $x,y$ nguyên, trong giới hạn số xe).

(AI giải đề cho tôi)
a) Số tiền gọi nội mạng: $x$ phút × 1 nghìn đồng/phút = $x$ nghìn đồng; gọi ngoại mạng: $y$ phút × 2 nghìn đồng/phút = $2y$ nghìn đồng. Vì số phút gọi là số tự nhiên nên $x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N}$. → Đúng.
b) Tổng tiền phải trả là $x+2y$ (nghìn đồng) và phải thấp hơn 100 nghìn đồng nên $x+2y<100$. → Đúng.
c) Thay $x=50,y=20$: $50+2\cdot 20=90<100$, thỏa mãn. → Đúng.
d) Miền nghiệm của $x+2y<100$ với $x,y\in \mathbb{N}$ (tức $x\ge 0,y\ge 0$) là phần nửa mặt phẳng bờ $x+2y=100$ nằm về phía gốc tọa độ, giới hạn bởi hai trục $Ox,Oy$ và đường thẳng $x+2y=100$ — đây là một tam giác (với các điểm nguyên), không phải hình vuông. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số tiền nội mạng là $x$ nghìn đồng, ngoại mạng là $2y$ nghìn đồng; số phút là số tự nhiên nên $x,y\in \mathbb{N}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng tiền $x+2y<100$ (nghìn đồng) đúng theo đề bài.
c) (AI giải đề cho tôi)
$50+2\cdot 20=90<100$ nên $(50;20)$ là nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác giới hạn bởi $x\ge 0$, $y\ge 0$ và $x+2y=100$, không phải hình vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Bước 1: Vẽ đường thẳng biên $2x+y=1$. Đường thẳng này đi qua hai điểm: $(0;1)$ (giao với trục $Oy$) và $\left(\frac{1}{2};0\right)$ (giao với trục $Ox$). Vì bất phương trình có dấu $>$ (không bao gồm dấu bằng) nên đường thẳng $2x+y=1$ được vẽ bằng nét đứt và không thuộc miền nghiệm. Bước 2: Lấy một điểm kiểm tra, chẳng hạn gốc tọa độ $O(0;0)$: thay vào bất phương trình ta được $2\cdot 0+0=0>1$ sai. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc tọa độ $O(0;0)$. Bước 3: Gạch chéo (biểu diễn) nửa mặt phẳng nằm phía trên (và bên phải) đường thẳng nét đứt $2x+y=1$, tức là tập hợp các điểm $(x;y)$ thỏa mãn $2x+y>1$. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng mở bờ $2x+y=1$ không chứa điểm $O(0;0)$, với bờ vẽ nét đứt.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào vế trái $-3x+y+2$ của bất phương trình $-3x+y+2\le 0$:
- $A(1;2)$: $-3(1)+2+2=1>0$ → không thỏa mãn, điểm $A$ không thuộc miền nghiệm.
- $B(2;1)$: $-6+1+2=-3\le 0$ → thỏa mãn.
- $C\left(1;\frac{1}{2}\right)$: $-3+\frac{1}{2}+2=-\frac{1}{2}\le 0$ → thỏa mãn.
- $D(3;1)$: $-9+1+2=-6\le 0$ → thỏa mãn.
Vậy miền nghiệm không chứa điểm $A(1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn yêu cầu mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với ẩn x, y. A có $5x^2$ (bậc 2) nên loại. B gồm hai phương trình (dấu =) nên không phải hệ bất phương trình. C có $4y^2$ (bậc 2) nên loại. D gồm $x\ge 0$ và $10x+5y\le 10$ đều là bất phương trình bậc nhất 2 ẩn, nên D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $<,\ge ,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, chỉ chứa hai ẩn $x,y$ bậc nhất. A có ba ẩn $(x,y,z)$ nên loại; B chỉ có một ẩn $x$ nên loại; C có $2x^2$ (bậc hai) nên loại; D là $2x+3y<5$ thỏa mãn dạng bậc nhất hai ẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào bất phương trình $2x+y-3>0$:
- $Q(-1;-3)$: $2(-1)+(-3)-3=-8<0$ (loại).
- $M(1;\frac{3}{2})$: $2(1)+\frac{3}{2}-3=\frac{1}{2}>0$ (thỏa mãn).
- $N(1;1)$: $2+1-3=0$, không thỏa $>0$ (loại).
- $P(-1;\frac{3}{2})$: $-2+\frac{3}{2}-3=-\frac{7}{2}<0$ (loại).
Vậy điểm $M(1;\frac{3}{2})$ thuộc miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by<c$ (hoặc $\le ,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0.
a) $2x^2+3y>0$ có chứa $x^2$ nên là bất phương trình bậc hai hai ẩn, không phải bậc nhất → Sai.
b) $x^2+y^2<2$ chứa $x^2,y^2$ nên là bất phương trình bậc hai hai ẩn → Sai.
c) $0x+0y<3$ có $a=b=0$ (đồng thời bằng 0), không thỏa định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn → Sai.
d) $3x+0y<-4$ có dạng $ax+by<c$ với $a=3\ne 0$, $b=0$ (không đồng thời bằng 0) → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chứa $x^2$ nên là bất phương trình bậc hai hai ẩn, không phải bậc nhất.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chứa $x^2,y^2$ nên là bất phương trình bậc hai hai ẩn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số $a=b=0$ đồng thời bằng 0, không thỏa định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có dạng $ax+by<c$ với $a=3\ne 0$, $b=0$, thỏa định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}-x+y<2\\ x+4y>-4\end{array}$. a) $O(0;0)$: $0<2$ và $0>-4$ đều đúng nên $O$ thuộc miền nghiệm → mệnh đề 'không thuộc' SAI. b) $B(-4;-1)$: $-(-4)+(-1)=3<2$ SAI → $B$ không thuộc miền nghiệm → mệnh đề SAI. c) $C(1;1)$: $-1+1=0<2$ đúng và $1+4=5>-4$ đúng → $C$ thuộc miền nghiệm → ĐÚNG. d) $D(3;-1)$: $-3-1=-4<2$ đúng và $3-4=-1>-4$ đúng → $D$ thuộc miền nghiệm → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$O(0;0)$: $0<2$ và $0>-4$ đều đúng nên $O$ thuộc miền nghiệm của $(I)$, do đó mệnh đề 'không thuộc' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B(-4;-1)$: $-(-4)+(-1)=3$ không thỏa $3<2$ nên $B$ không thuộc miền nghiệm, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C(1;1)$: $0<2$ đúng và $5>-4$ đúng nên $C$ thuộc miền nghiệm của $(I)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$D(3;-1)$: $-4<2$ đúng và $-1>-4$ đúng nên $D$ thuộc miền nghiệm của $(I)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ mà mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với hai ẩn $x$, $y$. Xét từng hệ: 1) $2x-5y<5$ và $y\le 1$ đều bậc nhất hai ẩn → là hệ bậc nhất. 2) $x\ge 3$ và $\frac{x}{2}-\frac{y}{3}>0$ đều bậc nhất hai ẩn → là hệ bậc nhất. 3) $y\le 2x$ và $x>3y-1$ đều bậc nhất hai ẩn → là hệ bậc nhất. 4) $x^2-5y<1$ chứa $x^2$ (bậc hai) → không phải hệ bậc nhất. Vậy có 3 hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by<c$ (hoặc $\le ,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0 và bậc của các ẩn là 1.
a) $2x^2+3y>0$ có ẩn $x$ bậc 2 nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn → Sai.
b) $x^2+y^2<2$ có cả hai ẩn bậc 2 → Sai.
c) $0x+0y<3$ có $a=b=0$ (đồng thời bằng 0), thực chất là $0<3$, không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn → Sai.
d) $3x+0y<-4$ tương đương $3x<-4$, có $a=3\ne 0$, $b=0$, các ẩn bậc 1, thỏa mãn định nghĩa → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Ẩn $x$ có bậc 2 nên đây là bất phương trình bậc hai, không phải bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cả $x$ và $y$ đều bậc 2 nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của cả hai ẩn đều bằng 0 ($a=b=0$), bất phương trình trở thành $0<3$, không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3x+0y<-4$ có dạng $ax+by<c$ với $a=3\ne 0$, $b=0$, các ẩn bậc 1, nên là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng lãi từ bán $x$ tạ gạo loại I và $y$ tạ gạo loại II là $200000x+150000y$ (đồng). Để số lãi lớn hơn $10000000$ đồng ta cần $$200000x+150000y>10000000.$$ Chia hai vế cho $50000$ ta được bất phương trình đơn giản hơn: $$4x+3y>200.$$ Ngoài ra vì $x,y$ là số tạ gạo nên $x\ge 0,y\ge 0$. Biểu diễn miền nghiệm: - Vẽ đường thẳng $4x+3y=200$: đi qua hai điểm $(0,\frac{200}{3})$ và $(50,0)$ (vẽ đường thẳng nét đứt vì bất phương trình là strict $>$). - Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ $O(0,0)$ (vì $4\cdot 0+3\cdot 0=0<200$), tức là phần nằm phía trên phải của đường thẳng $4x+3y=200$. - Kết hợp điều kiện $x\ge 0,y\ge 0$, miền nghiệm là phần nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng nét đứt $4x+3y=200$ nằm trong góc phần tư thứ nhất (bao gồm hai trục $Ox$, $Oy$).

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp vào bất phương trình $2x+y<1$: A: $2(-2)+1=-3<1$ (thỏa). B: $2(3)+(-7)=-1<1$ (thỏa). C: $2(0)+1=1$, không nhỏ hơn 1 (không thỏa). D: $2(0)+0=0<1$ (thỏa). Vậy cặp $(0;1)$ không là nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp vào $x-4y+5$: A: $-5-0+5=0\ge 0$ (thỏa). B: $-2-4(1)+5=-1<0$ (không thỏa). C: $1-4(-3)+5=18\ge 0$ (thỏa). D: $0-0+5=5\ge 0$ (thỏa). Vậy cặp $(-2;1)$ không là nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng lúa, $y$ (ha) là diện tích trồng khoai ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $x+y\le 6$ (đất); $20x+10y\le 100$ (phân bón); $10x+30y\le 120$ (ngày công). Lợi nhuận $P=30x+60y$ (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(5;0)$, giao của $x+y=6$ và $20x+10y=100$ là $(4;2)$, giao của $x+y=6$ và $10x+30y=120$ là $(3;3)$, và $(0;4)$. Kiểm tra ràng buộc: $(4;2)$: phân $100\le 100$, công $100\le 120$ ✓; $(3;3)$: phân $90\le 100$, công $120\le 120$ ✓. Tính $P$: $(5;0)$: $150$; $(4;2)$: $240$; $(0;4)$: $240$; $(3;3)$: $30\cdot 3+60\cdot 3=270$. Vậy lợi nhuận lớn nhất $270$ triệu đồng đạt khi trồng $3$ ha lúa và $3$ ha khoai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua các điểm $(2;0)$ và $(0;2)$ nên có phương trình $x+y=2$, và trên hình nó được vẽ nét đứt nên bất phương trình phải là bất đẳng thức ngặt (không lấy dấu bằng). Miền không bị tô (miền nghiệm) là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O(0;0)$, vì $0+0=0<2$ nên miền nghiệm thỏa $x+y<2$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $\ge ,<,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, trong đó $x,y$ chỉ xuất hiện ở bậc nhất. Xét các phương án: A: $2x-3y>0$ có $x,y$ bậc nhất, thỏa mãn. B: $x^2+y^2<2$ có ẩn bậc hai, không thỏa. C: $x+y^2\ge 0$ có $y^2$ bậc hai, không thỏa. D: $x^2-3y\ge 8$ có $x^2$ bậc hai, không thỏa. Vậy đáp án là A.