Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x+5y-3\le 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Với mỗi giá trị của $x$ (ví dụ $x=0$), ta được $5y\le 3$, tức $y\le \frac{3}{5}$, có vô số giá trị $y$ thỏa mãn. Tập nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $x+5y-3=0$ (kể cả bờ), chứa vô số điểm nhưng không phải toàn bộ mặt phẳng ${\mathbb{R}}^2$ (ví dụ điểm $(10;10)$ không thỏa mãn vì $10+50-3=57>0$). Vậy bất phương trình luôn có vô số nghiệm, khẳng định đúng là C. Các khẳng định A, B, D đều sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x-y\ge -2$ có đường biên $x-y=-2$, tức $y=x+2$, đi qua $(-2;0)$ và $(0;2)$, hệ số góc $1$ (đường thẳng đi lên từ trái sang phải). Thử điểm $O(0;0)$: $0-0=0\ge -2$ đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, tức phần phía dưới (bên phải) đường thẳng $y=x+2$. Trong các hình, chỉ có hình D vẽ đường thẳng qua $(-2;0)$ và $(0;2)$ với phần tô đậm phía dưới đường thẳng (chứa $O$). Các hình A, B có đường biên hệ số góc âm; hình C tô phần phía trên đường thẳng. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua hai điểm $(0;3)$ và $(2;0)$ nên có phương trình $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$, tức $3x+2y=6$. Miền không gạch chéo nằm phía trên trục $Ox$ (nên $y\ge 0$) và phía dưới đường thẳng $3x+2y=6$ (thử điểm $(0;1)$: $3\cdot 0+2\cdot 1=2\le 6$ đúng). Vậy hệ bất phương trình là $\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ 3x+2y\le 6\end{array}$, tương ứng phương án A. Khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Miền ràng buộc là đa giác với các đỉnh: giao của $x=0$ với $x+y=2$ là $(0;2)$; giao $x+y=2$ với $x-y=2$ là $(2;0)$; giao $x-y=2$ với $y=5$ là $(7;5)$; giao $x=0$ với $y=5$ là $(0;5)$. Tính $f(x;y)=x-2y$: tại $(0;2)$: $f=-4$; tại $(2;0)$: $f=2$; tại $(7;5)$: $f=-3$; tại $(0;5)$: $f=-10$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $-10$, đạt tại $(0;5)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra bằng cách thay điểm $O(0;0)$ vào từng bất phương trình. a) $3-2y>0$: tại $O$ có $3>0$ đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $3-2y=0$ chứa $O$, dấu $>$ nên không kể bờ → Đúng. b) $2x+y>1$: tại $O$ có $0>1$ sai, nên miền nghiệm không chứa $O$ → Sai. c) $2x-y\ge 1$: tại $O$ có $0\ge 1$ sai, nên miền nghiệm không chứa $O$ → Sai. d) $-2x+3y\le -5$: tại $O$ có $0\le -5$ sai, nên miền nghiệm không chứa $O$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $3-2\cdot 0=3>0$ đúng, nên miền nghiệm chứa $O$; dấu $>$ nên không kể bờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $2\cdot 0+0=0>1$ sai, nên miền nghiệm không chứa $O$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $2\cdot 0-0=0\ge 1$ sai, nên miền nghiệm không chứa $O$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $-2\cdot 0+3\cdot 0=0\le -5$ sai, nên miền nghiệm không chứa $O$.

(AI giải đề cho tôi)
Loại I cần 3 giờ/sản phẩm, loại II cần 2,5 giờ/sản phẩm, thời gian tối đa 20 giờ. a) Sai: tổng thời gian loại I là $3x$, loại II là $2,5y$ (mệnh đề đã hoán đổi). b) Sai: bất phương trình đúng là $3x+2,5y\le 20$ (mệnh đề viết $3x+2,5x<20$, sai cả ẩn lẫn dấu). c) Đúng: với $(x;y)=(3;4)$: $3\cdot 3+2,5\cdot 4=9+10=19\le 20$, thỏa mãn với $x,y\in \mathbb{N}$. d) Sai: với $(x;y)=(5;3)$: $3\cdot 5+2,5\cdot 3=15+7,5=22,5>20$, không thỏa mãn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian loại I là $3x$, loại II là $2,5y$; mệnh đề hoán đổi hai hệ số nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình đúng là $3x+2,5y\le 20$; mệnh đề viết $3x+2,5x<20$ sai cả biểu thức lẫn dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 3+2,5\cdot 4=19\le 20$, thỏa mãn với $x,y\in \mathbb{N}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 5+2,5\cdot 3=22,5>20$, không thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (triệu đồng) là số tiền đầu tư vào khoản $X$ và $Y$. Điều kiện: $x+y\le 240$ (không quá 240 triệu), $y\ge 40$ (khoản $Y$ ít nhất 40 triệu), $x\ge 3y$ (khoản $X$ ít nhất gấp ba khoản $Y$), ngoài ra $x\ge 0$. Vậy hệ bất phương trình ở mệnh đề a là đúng.

Tìm miền nghiệm: các đỉnh là giao của các đường thẳng:
- $y=40$ và $x=3y$: $A(120;40)$.
- $x=3y$ và $x+y=240$: $4y=240\Rightarrow y=60,x=180$, tức $B(180;60)$.
- $y=40$ và $x+y=240$: $C(200;40)$.

Miền nghiệm là tam giác với ba đỉnh $(120;40),(200;40),(180;60)$, nên mệnh đề b (miền nghiệm là tứ giác) là SAI.

Mệnh đề c: $C(200;40)$ chính là một đỉnh của miền nghiệm (thỏa $200+40=240\le 240$, $40\ge 40$, $200\ge 120$), nên $C$ THUỘC miền nghiệm; mệnh đề nói 'không thuộc' là SAI.

Mệnh đề d: tung độ trong miền nghiệm thỏa $40\le y\le 60$ (vì $y\ge 40$, $x\ge 3y$ và $x+y\le 240\Rightarrow 4y\le 240\Rightarrow y\le 60$). Tung độ lớn nhất $y=60$ đạt tại $x=180$, tức điểm $A(180;60)$. Vậy mệnh đề d là ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình mô tả đúng các điều kiện: tổng vốn không quá 240, khoản Y ít nhất 40, khoản X ít nhất gấp ba khoản Y.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có ba đỉnh (120;40), (200;40), (180;60) nên là một tam giác, không phải tứ giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
C(200;40) thỏa mọi bất phương trình (200+40=240, 40≥40, 200≥120) nên thuộc miền nghiệm; mệnh đề nói không thuộc là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ x≥3y và x+y≤240 suy ra 4y≤240 nên y≤60; y=60 khi x=180, tức A(180;60) là điểm có tung độ lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4 (Phần C - Tự luận)

a) Xét hệ $(I)$:
- $x\le 0$: nửa mặt phẳng bên trái (kể cả) đường thẳng $x=0$.
- $y\ge -1$: nửa mặt phẳng phía trên (kể cả) đường thẳng $y=-1$.
- $4x-3y\ge -12$: nửa mặt phẳng chứa gốc $O$ (kể cả) đường thẳng $4x-3y=-12$ đi qua $(0;4)$ và $(-3;0)$.
- $x+y\le 1$: nửa mặt phẳng chứa gốc $O$ (kể cả) đường thẳng $x+y=1$ đi qua $(0;1)$ và $(1;0)$.

Miền nghiệm là tứ giác (kể cả biên) với các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng biên:
- $x=0\cap y=-1$: $A(0;-1)$.
- $x=0\cap x+y=1$: $B(0;1)$.
- $x+y=1\cap 4x-3y=-12$: thay $y=1-x$ vào $4x-3(1-x)=-12\Rightarrow 7x=-9\Rightarrow x=-\frac{9}{7},y=\frac{16}{7}$, tức $C\left(-\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$.
- $4x-3y=-12\cap y=-1$: $4x+3=-12\Rightarrow x=-\frac{15}{4}$, tức $D\left(-\frac{15}{4};-1\right)$.

Vậy miền nghiệm là tứ giác $ABCD$ với $A(0;-1),B(0;1),C\left(-\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right),D\left(-\frac{15}{4};-1\right)$, kể cả biên.

b) Vì $f(x;y)=4x-3y$ là hàm tuyến tính nên GTLN, GTNN của $f$ trên miền đa giác đạt tại các đỉnh:
- $f(A)=f(0;-1)=0+3=3$.
- $f(B)=f(0;1)=-3$.
- $f(C)=f\left(-\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)=-\frac{36}{7}-\frac{48}{7}=-12$.
- $f(D)=f\left(-\frac{15}{4};-1\right)=-15+3=-12$.

Kết luận: $\max f=3$ tại $(0;-1)$; $\min f=-12$ tại $\left(-\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$ và $\left(-\frac{15}{4};-1\right)$ (cả đoạn nối hai điểm này đều cho $f=-12$).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: Bất phương trình $x+8y-200\ge 0$.

a) Thử $(a;b)=(200;0)$: $200+8\cdot 0-200=0\ge 0$, nên $(200;0)$ là một nghiệm. (Nhiều đáp án khác cũng đúng, ví dụ $(0;25)$, $(100;100)$...)

b) Thử $(c;d)=(0;0)$: $0+8\cdot 0-200=-200<0$, nên $(0;0)$ không là nghiệm của bất phương trình.

c) Biểu diễn miền nghiệm:
- Vẽ đường thẳng $x+8y-200=0$, tức $y=25-\frac{x}{8}$. Đường thẳng này đi qua hai điểm $(0;25)$ và $(200;0)$, vẽ nét liền vì dấu $\ge$ (đường thẳng thuộc miền nghiệm).
- Lấy một điểm kiểm tra, ví dụ $O(0;0)$: $0+8\cdot 0-200=-200<0$, không thỏa mãn, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc tọa độ $O$, bị chặn bởi đường thẳng $x+8y-200=0$ (kể cả đường thẳng này), tức nửa mặt phẳng phía trên-phải của đường thẳng (phía chứa điểm như $(200;0)$, $(0;25)$, $(400;0)$...).

Miền nghiệm: $\{(x;y)\in {\mathbb{R}}^2:x+8y-200\ge 0\}$, tô đậm nửa mặt phẳng không chứa $O$ kể cả biên.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại $I$ và loại $II$ sản xuất trong một tháng ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc về thời gian làm việc:
- Chiến: $3x+2y\le 180$
- Bình: $x+6y\le 220$

Hàm lợi nhuận cần lớn nhất: $P=500x+400y$ (nghìn đồng).

Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $(0;0)$, $(60;0)$, giao điểm của $3x+2y=180$ và $x+6y=220$, và $(0;\frac{110}{3})$.

Tìm giao điểm: từ $x=220-6y$, thay vào $3(220-6y)+2y=180\Rightarrow 660-16y=180\Rightarrow y=30$, suy ra $x=40$. Đỉnh $(40;30)$.

Tính $P$ tại các đỉnh:
- $P(0;0)=0$
- $P(60;0)=500\cdot 60=30000$ (nghìn đồng)
- $P(40;30)=500\cdot 40+400\cdot 30=20000+12000=32000$ (nghìn đồng)
- $P(0;\frac{110}{3})\approx 14667$ (nghìn đồng)

Vậy lợi nhuận lớn nhất là $32000$ nghìn đồng $=32$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $40$ sản phẩm loại $I$ và $30$ sản phẩm loại $II$. Kiểm tra: Chiến làm $3\cdot 40+2\cdot 30=180$ giờ (đúng bằng giới hạn), Bình làm $40+6\cdot 30=220$ giờ (đúng bằng giới hạn).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số cái bàn, $y$ là số cái ghế anh An đóng trong một tuần ($x,y$ nguyên không âm).

Ràng buộc:
- Thời gian: $6x+3y\le 60\iff 2x+y\le 20$.
- Số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất 2 lần: $y\ge 2x$.
- $x\ge 0,y\ge 0$, $x,y\in \mathbb{N}$.

Hàm mục tiêu (lãi, nghìn đồng): $P=150x+100y$.

Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $(0;0)$, $(0;20)$ (giao $x=0$ với $2x+y=20$) và giao điểm của $y=2x$ với $2x+y=20$: $2x+2x=20\Rightarrow x=5,y=10$, tức $(5;10)$.

Xét $P$ tại các đỉnh:
- $P(0;0)=0$.
- $P(0;20)=100\cdot 20=2000$ (nghìn đồng).
- $P(5;10)=150\cdot 5+100\cdot 10=1750$ (nghìn đồng).

Vì $P=150x+100y$ tăng khi $x,y$ tăng, giá trị lớn nhất đạt tại đỉnh $(0;20)$: $P_{\max }=2000$ nghìn đồng $=2$ triệu đồng.

Kiểm tra: $2\cdot 0+20=20\le 20$ (đủ thời gian 60 giờ), $20\ge 2\cdot 0=0$ (đúng điều kiện).

Kết luận: Để lãi lớn nhất, mỗi tuần anh An nên đóng 0 cái bàn và 20 cái ghế, thu lãi tối đa 2 000 000 đồng. (Điều hợp lý vì mỗi giờ làm ghế lãi $100/3\approx 33,3$ nghìn đồng cao hơn mỗi giờ làm bàn là $150/6=25$ nghìn đồng, nên nên dành toàn bộ thời gian làm ghế.)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $<,\ge ,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, trong đó $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án: A có $x^2,y^2$ (bậc hai) nên sai; B có $x^2$ nên sai; C có $y^2$ nên sai; D là $2x+y<4$ có $x,y$ bậc nhất, thỏa mãn. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số bộ sản phẩm loại I, II sản xuất trong một ngày ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: máy $3x+4y\le 18$; nhân công $x+2y\le 8$. Hàm mục tiêu $L=8x+10y$. Các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$, $(6;0)$, $(0;4)$ và giao điểm của $3x+4y=18$, $x+2y=8$: từ phương trình thứ hai $x=8-2y$, thay vào: $24-6y+4y=18\Rightarrow y=3,x=2$. Giá trị $L$: tại $(6;0)$: $48$; tại $(2;3)$: $16+30=46$; tại $(0;4)$: $40$. Vậy lãi lớn nhất là $48$ triệu đồng tại $x=6,y=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào $2x+y-3$:
- $M(1;\frac{3}{2})$: $2(1)+\frac{3}{2}-3=\frac{1}{2}>0$ → thỏa.
- $Q(-1;-3)$: $-2-3-3=-8<0$ → không thỏa.
- $P(-1;\frac{3}{2})$: $-2+\frac{3}{2}-3=-\frac{7}{2}<0$ → không thỏa.
- $N(1;1)$: $2+1-3=0$, không thỏa điều kiện $>0$.
Vậy chỉ có điểm $M$ thuộc miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Bước 1: Vẽ đường thẳng biên $3x-y-3=0$, tức $y=3x-3$. Đường thẳng này đi qua hai điểm: $(0;-3)$ (giao với trục $Oy$) và $(1;0)$ (giao với trục $Ox$). Vẽ đường thẳng qua hai điểm này bằng nét liền vì dấu bất phương trình là $\ge$ (các điểm trên đường thẳng biên thuộc miền nghiệm). Bước 2: Lấy một điểm thử không nằm trên đường thẳng, ví dụ gốc tọa độ $O(0;0)$. Thay vào bất phương trình: $3\cdot 0-0-3=-3<0$, không thỏa mãn. Bước 3: Vì điểm $O(0;0)$ không thỏa mãn, miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ $O$, tức nửa mặt phẳng nằm phía trên đường thẳng $y=3x-3$ (phía bên trái của đường thẳng, gồm các điểm có $y\ge 3x-3$), kể cả đường thẳng biên. Kết luận: Miền nghiệm của $3x-y-3\ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $y=3x-3$ không chứa điểm $O(0;0)$, gồm cả bờ (vẽ nét liền).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tiền: $10x+5y\le 50$. Chia hai vế cho 5: $2x+y\le 10$. Vậy $a=2,b=1,c=10$ (đều là số tự nhiên không lớn hơn 15), nên $a+b+c=2+1+10=13$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}x-3y<3\\ x+y>5\end{array}$: Điểm $(5;3)$: $5-3\cdot 3=-4<3$ (đúng) và $5+3=8>5$ (đúng) → thỏa cả hai bất phương trình. Điểm $(1;-1)$: $1+3=4<3$ sai. Điểm $(-2;2)$: $-2-6=-8<3$ đúng nhưng $-2+2=0>5$ sai. Điểm $(0;0)$: $0<3$ đúng nhưng $0>5$ sai. Vậy miền nghiệm chứa điểm $(5;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $\ge ,>,<$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét các phương án: A có ba ẩn $(x,y,z)$ nên không phải; C chỉ có một ẩn $x$ và bậc 2; D có tích $y(2x+5)=2xy+5y$ chứa số hạng bậc hai $2xy$ nên không phải. Phương án B: $3x-8y\le 2025$ có dạng bậc nhất với hai ẩn $x,y$, thỏa mãn định nghĩa.

(AI giải đề cho tôi)
Các đỉnh miền nghiệm: A là giao của 2x+y=12 và x+4y=13: thay y=12−2x vào x+4y=13 được x+48−8x=13 ⇒ x=5, y=2, vậy A(5;2). B là giao của x=9 với x+4y=13 ⇒ B(9;1). D là giao của y=8 với 2x+y=12 ⇒ D(2;8). C(9;8).
a) (8;6): 0≤8≤9, 0≤6≤8, 2·8+6=22≥12, 8+4·6=32≥13 ⇒ thỏa mọi bất phương trình, đúng.
b) BD=√((9−2)²+(1−8)²)=√(49+49)=7√2, đúng.
c) Miền nghiệm (phần không gạch) chính là tứ giác ABCD kể cả miền trong và biên, đúng.
d) A(5;2) chứ không phải A(2;5), sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
(8;6) thỏa cả bốn bất phương trình: 0≤8≤9, 0≤6≤8, 2·8+6=22≥12, 8+24=32≥13.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
B(9;1), D(2;8) nên BD=√(7²+7²)=7√2.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là phần không gạch gồm tứ giác ABCD và miền trong, kể cả biên.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ 2x+y=12, x+4y=13 được A(5;2), không phải A(2;5).

(AI giải đề cho tôi)
Bạn An mua 11 cây bút với số tiền $11\times 6000=66000$ đồng. Số tiền còn lại để mua vở là $250000-66000=184000$ đồng. Số quyển vở tối đa là $\lfloor \frac{184000}{17000}\rfloor =\lfloor 10,\mathrm{82...}\rfloor =10$ quyển (vì $10\times 17000=170000\le 184000$, còn $11\times 17000=187000>184000$). Vậy bạn An mua được tối đa 10 quyển vở.