Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua $(2;0)$ và $(0;3)$ nên có phương trình $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$, tức $3x+2y-6=0$. Trong hình vẽ, phần bị gạch chéo là phía dưới-trái đường thẳng (chứa gốc tọa độ $O(0;0)$, vì $3\cdot 0+2\cdot 0-6=-6<0$), còn phần không bị gạch (kể cả biên) là phía trên-phải đường thẳng. Thay một điểm thuộc phần không gạch, ví dụ $(2;3)$: $3\cdot 2+2\cdot 3-6=6>0$. Vậy miền không bị gạch biểu diễn miền nghiệm của $3x+2y-6\ge 0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Tổng số công: $40x+80y\le 5600$, chia hai vế cho 40 ta được $x+2y\le 140$. So với $ax+by\le 140$ suy ra $a=1$, $b=2$.

b) Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0,0)$, $(100,0)$, $(60,40)$, $(0,70)$ (giao của $x+y=100$ và $x+2y=140$ là $x=60$, $y=40$). Hàm lợi nhuận $F=150x+200y$:
- Tại $(0,0)$: $F=0$
- Tại $(100,0)$: $F=15000$
- Tại $(60,40)$: $F=9000+8000=17000$
- Tại $(0,70)$: $F=14000$

Vậy lợi nhuận lớn nhất là $17000$ triệu đồng, đạt khi trồng $60$ hecta dâu tằm và $40$ hecta nho.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ: $x>0$, $2x-y\ge 3$, $x+y<1$, $y<0$.
- A $(1;-7)$: $x=1>0$; $2(1)-(-7)=9\ge 3$; $1+(-7)=-6<1$; $y=-7<0$ → thuộc miền nghiệm.
- B $(0;-3)$: $x=0$ không thỏa $x>0$ → không thuộc miền nghiệm.
- C $(1;-5)$: $x=1>0$; $2(1)-(-5)=7\ge 3$; $1+(-5)=-4<1$; $y=-5<0$ → thuộc miền nghiệm.
- D $(2;-3)$: $x=2>0$; $2(2)-(-3)=7\ge 3$; $2+(-3)=-1<1$; $y=-3<0$ → thuộc miền nghiệm.
Vậy điểm không thuộc miền nghiệm là $(0;-3)$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1,y=3$ vào từng bất phương trình:
- A: $x-3y-2=1-9-2=-10<0$ đúng.
- B: $2x-3y=2-9=-7>0$ sai.
- C: $2x-y-1=2-3-1=-2>0$ sai.
- D: $3x-y=3-3=0<0$ sai.
Vậy cặp $(1;3)$ là nghiệm của bất phương trình $x-3y-2<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $<,\ge ,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, trong đó $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án: A: $-\frac{x}{2}+\frac{y}{7}-2>0$ có dạng bậc nhất hai ẩn. B: $-4x+5<0$ chỉ có ẩn $x$ nhưng vẫn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (với $b=0$). C: $2x-y-4\ge 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. D: $\frac{1}{x}+\frac{3}{y}-5\le 0$ chứa ẩn ở mẫu số, không phải bậc nhất. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vẽ đường thẳng $2x-y=6$, tức $y=2x-6$, đi qua hai điểm $(0;-6)$ và $(3;0)$ (vẽ nét liền vì bất phương trình có dấu $\ge$, tức miền nghiệm kể cả biên). Lấy một điểm thử không nằm trên đường thẳng, ví dụ $O(0;0)$: thay vào $2x-y$ ta được $2\cdot 0-0=0<6$, nên $O$ không thuộc miền nghiệm. Vậy miền nghiệm của $2x-y\ge 6$ là nửa mặt phẳng (kể cả đường thẳng biên $y=2x-6$) không chứa gốc tọa độ $O(0;0)$, tức là nửa mặt phẳng nằm về phía dưới-phải của đường thẳng $y=2x-6$ (phía chứa các điểm như $(4;0)$ vì $2\cdot 4-0=8\ge 6$). Trên hình vẽ: dựng đường thẳng qua $(0;-6)$ và $(3;0)$ bằng nét liền, gạch chéo (tô đậm) nửa mặt phẳng phía không chứa $O$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền ràng buộc: $x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 8$ (diện tích đất 8 hecta), $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$.
a) Sai: tổng diện tích canh tác không vượt quá 8 hecta nên $x+y\le 8$, không phải $x+y\ge 8$.
b) Đúng: $20x+30y\le 180$, chia hai vế cho 10 được $2x+3y\le 18$.
c) Đúng: mỗi hecta ngô thu 40 triệu, mỗi hecta đậu xanh thu 50 triệu nên $F(x;y)=40x+50y$.
d) Đúng: xét các đỉnh của miền: $(0;0)$: $F=0$; $(8;0)$: $F=320$ (dùng 160 ngày công, thỏa); $(0;6)$: $F=300$; giao của $x+y=8$ và $2x+3y=18$ là $(6;2)$: $F=40\cdot 6+50\cdot 2=340$ (dùng đúng 180 ngày công). Vậy $F$ lớn nhất bằng 340 triệu đồng tại $(6;2)$, tức trồng 6 hecta ngô và 2 hecta đậu xanh.
a) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích đất chỉ có 8 hecta nên $x+y\le 8$, không phải $x+y\ge 8$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x;y)=40x+50y$ (triệu đồng).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $(6;2)$: $F=340$ triệu, lớn hơn $F(8;0)=320$ và $F(0;6)=300$, nên đạt max tại $(6;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm giới hạn bởi $2x+3y\le 18$, $x\ge 0$, $y\ge 0$ là tam giác với ba đỉnh $(0;0)$, $(9;0)$ (giao $2x+3y=18$ với $y=0$), $(0;6)$ (giao $2x+3y=18$ với $x=0$). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 6=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình: $2x+y<1$.

Bước 1: Vẽ đường thẳng bờ $2x+y=1$. Đường thẳng này đi qua hai điểm $(0;1)$ và $\left(\frac{1}{2};0\right)$.

Bước 2: Vì bất phương trình có dấu $<$ (không có dấu bằng), các điểm trên đường thẳng $2x+y=1$ không thuộc miền nghiệm, nên đường thẳng bờ được vẽ nét đứt.

Bước 3: Xác định nửa mặt phẳng chứa miền nghiệm bằng cách thử điểm gốc tọa độ $O(0;0)$: $2\cdot 0+0=0<1$ thỏa bất phương trình. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $2x+y=1$ (vẽ nét đứt) chứa gốc tọa độ $O$, tức nửa mặt phẳng phía dưới-trái của đường thẳng, không kể bờ.

Cách kiểm tra: thay tọa độ một điểm bất kỳ vào $2x+y<1$; nếu thỏa thì điểm đó thuộc miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án: A: $3^{2}x+2y<6$ tức $9x+2y<6$ là bậc nhất hai ẩn. B: $4y-12\le 0$ là bậc nhất hai ẩn (hệ số của $x$ bằng 0). C: $9x^2+8y-7\le 0$ có ẩn $x$ xuất hiện bậc hai nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn. D: $3x+2\ge 0$ là bậc nhất hai ẩn (hệ số của $y$ bằng 0). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng trong hình đi qua hai điểm $(0;3)$ và $(2;0)$, nên có phương trình: $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\iff 3x+2y=6$. Miền không gạch chéo (không kể các đường thẳng) là miền nằm phía trên trục $Ox$ (tức $y>0$) và phía dưới (bên trái) đường thẳng $3x+2y=6$. Thử điểm $O(0;0)$ thuộc miền đó: $3\cdot 0+2\cdot 0=0<6$ nên bất phương trình là $3x+2y<6$. Vậy hệ bất phương trình biểu diễn miền không gạch chéo là $\{\begin{array}{l}y>0\\ 3x+2y<6\end{array}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay điểm $O(0;0)$ vào từng hệ bất phương trình:
- A: $x+3y+6=6<0$ sai, loại.
- B: $x+3y-6=-6\ge 0$ sai, loại.
- C: $x-3y-1=-1<0$ đúng và $2x+y+4=4>0$ đúng, thỏa mãn.
- D: $x+3y=0>0$ sai, loại.
Vậy điểm $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của hệ ở phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (PHẦN IV):

a) Điều kiện: $x\ge 0$, $y\ge 0$ (diện tích không âm); tổng diện tích đất không quá 8 ha nên $x+y\le 8$; tổng ngày công không quá 90 nên $10x+15y\le 90$, tức $2x+3y\le 18$.

Hệ bất phương trình:
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\end{array}$$

b) Biểu diễn miền nghiệm:
- Vẽ đường thẳng $x+y=8$ đi qua $(8;0)$ và $(0;8)$; miền nghiệm nằm phía dưới (gồm cả đường thẳng).
- Vẽ đường thẳng $2x+3y=18$ đi qua $(9;0)$ và $(0;6)$; miền nghiệm nằm phía dưới (gồm cả đường thẳng).
- Hai đường thẳng cắt nhau tại nghiệm của hệ $x+y=8$, $2x+3y=18$: thay $y=8-x$ vào $2x+3(8-x)=18\Rightarrow -x=-6\Rightarrow x=6$, $y=2$. Giao điểm là $A(6;2)$.
- Kết hợp với $x\ge 0$, $y\ge 0$, miền nghiệm là tứ giác (kể cả biên) với các đỉnh: $O(0;0)$, $(9;0)$, $A(6;2)$, $(0;6)$.

Kiểm tra: đỉnh $(9;0)$ thỏa $x+y=9>8$? Không — cần kiểm tra lại: $(9;0)$ không thỏa $x+y\le 8$, nên loại. Tương tự $(0;6)$: $x+y=6\le 8$, thỏa. Vậy các đỉnh thực tế của miền nghiệm là: $O(0;0)$, $(8;0)$, $A(6;2)$, $(0;6)$.

Miền nghiệm là tứ giác $O(0;0)$, $(8;0)$, $A(6;2)$, $(0;6)$ (kể cả biên), là phần nằm trong góc phần tư thứ nhất, phía dưới cả hai đường thẳng $x+y=8$ và $2x+3y=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\ge 0$ (hoặc $>,\le ,<$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án: A có $x^2+y^2$ (bậc hai) nên sai; B có $2y^2$ (bậc hai) nên sai; C có $4y^2$ (bậc hai) nên sai; D là $3x-5y\ge 0$ có $x,y$ chỉ ở bậc nhất, thỏa mãn định nghĩa.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của hệ: từ $x+2y\ge 3$ ta có $y\ge \frac{3-x}{2}$ (phía trên đường thẳng $x+2y=3$ đi qua $(-1;2)$ và $(1;1)$); từ $2x-y+4\ge 0$ ta có $y\le 2x+4$ (phía dưới đường thẳng $2x-y+4=0$ đi qua $(-2;0)$, $(0;4)$, $(1;6)$); và $x\le 1$. Giao của các điều kiện là miền tam giác (kể cả bờ) với ba đỉnh $(-1;2)$, $(1;1)$, $(1;6)$ — đúng là phần không tô đậm trong hình vẽ, nên a) đúng.

b) Miền nghiệm là tam giác đóng nên $F=x+3y$ đạt max tại đỉnh: $F(-1;2)=5$, $F(1;1)=4$, $F(1;6)=19$. Vậy $\max F=19\ne -3$ → sai.

c) Thay $(-1;0)$: $x+2y=-1<3$ không thoả bất phương trình thứ nhất → sai.

d) Cả ba bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác kể cả bờ với đỉnh $(-1;2)$, $(1;1)$, $(1;6)$, đúng là phần không tô đậm trong hình.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $(1;6)$ với $F=19$, không phải $-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(-1;0)$: $x+2y=-1<3$ nên không thoả hệ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả ba bất phương trình đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay $(-1;2)$ vào $2x+3y\ge 6$: $2(-1)+3(2)=4<6$, không thỏa → khẳng định sai.
b) Cả hai bất phương trình $x+y\le 4$ và $2x+3y\ge 6$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ đã cho là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn → đúng.
c) Bờ $d:x+y=4$; với $O(0;0)$: $0+0=0\le 4$ nên nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $O$, kể cả đường thẳng $d$, là miền nghiệm của $x+y\le 4$ → đúng.
d) Đường thẳng $x+y=4$ đi qua $(4;0),(0;4)$; đường thẳng $2x+3y=6$ đi qua $(3;0),(0;2)$. Miền nghiệm của hệ là phần nằm phía trên đường $2x+3y=6$ và phía dưới đường $x+y=4$ (kể cả bờ), tức phần không bị gạch giữa hai đường thẳng. Hình vẽ trong đề gạch vùng ngoài hai đường này và để trống vùng giữa, đúng với miền nghiệm của hệ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=-1,y=2$: $2(-1)+3(2)=4<6$, không thỏa $2x+3y\ge 6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Cả hai bất phương trình $x+y\le 4$ và $2x+3y\ge 6$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$O(0;0)$: $0+0=0\le 4$ nên nửa mặt phẳng bờ $d:x+y=4$ chứa $O$, kể cả bờ $d$, là miền nghiệm của $x+y\le 4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của hệ là phần nằm giữa hai đường thẳng $x+y=4$ (qua $(4;0),(0;4)$) và $2x+3y=6$ (qua $(3;0),(0;2)$), phía trên đường $2x+3y=6$ và phía dưới đường $x+y=4$, kể cả bờ; hình vẽ thể hiện đúng vùng không bị gạch này.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi x là số đèn ngôi sao, y là số đèn con thỏ (x, y nguyên không âm). Ràng buộc: 2x + 3y ≤ 30, x + y ≥ 12. Cần tối đa f = 95x + 105y (nghìn đồng). So sánh hiệu suất: đèn sao cho 95/2 = 47,5 nghìn/giờ, đèn thỏ cho 105/3 = 35 nghìn/giờ, nên ưu tiên làm đèn sao. Với y = 0 thì x ≤ 15 và x = 15 ≥ 12 thỏa mãn, thu được f = 95·15 = 1425 nghìn đồng = 1,425 triệu đồng. Kiểm tra các phương án khác (ví dụ x = 12, y = 2: 2·12+3·2 = 30, f = 1140+210 = 1350; x = 13, y = 1: f = 1235+105 = 1340) đều nhỏ hơn. Vậy số tiền lớn nhất là 1,425 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hai đường thẳng: $d_1:x-2y=2$ đi qua $(2;0)$ và $(0;-1)$; $d_2:x+y=1$ đi qua $(1;0)$ và $(0;1)$. Giao điểm của hai đường: giải hệ $x-2y=2$, $x+y=1$ ta được $x=\frac{4}{3}$, $y=-\frac{1}{3}$, tức $I\left(\frac{4}{3};-\frac{1}{3}\right)$. Miền nghiệm gồm: nửa mặt phẳng bờ là $d_1$ chứa gốc tọa độ (vì $0-2\cdot 0=0\le 2$), tức phần nằm dưới $d_1$; và nửa mặt phẳng bờ là $d_2$ không chứa gốc tọa độ (vì $0+0=0<1$), tức phần nằm trên $d_2$. Miền nghiệm là góc (miền không bị chặn) với đỉnh $I\left(\frac{4}{3};-\frac{1}{3}\right)$, bị chặn bởi tia của $d_2$ đi qua $(1;0)$ hướng lên và tia của $d_1$ đi qua $(2;0)$ hướng xuống, phần biên được vẽ nét đậm (kể cả biên vì các bất phương trình là $\le$, $\ge$). Ví dụ điểm kiểm tra: $(2;0)$ thỏa cả hai bất phương trình nên thuộc miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $\ge ,<,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét các phương án: A. $x-y>1$ có dạng bậc nhất theo hai ẩn $x,y$ — thỏa mãn. B. $x^4-y>0$ chứa $x^4$ (bậc 4) — không thỏa. C. $3x^2+y^2\le 1$ chứa $x^2,y^2$ (bậc 2) — không thỏa. D. $x+4y-2z<2$ chứa ba ẩn — không phải bất phương trình hai ẩn. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng cặp vào bất phương trình $2x+y<5$: A(4;10): $2\cdot 4+10=18\ge 5$ (loại). B(1;5): $2\cdot 1+5=7\ge 5$ (loại). C(1;1): $2\cdot 1+1=3<5$ (thỏa mãn). D(2;3): $2\cdot 2+3=7\ge 5$ (loại). Vậy đáp án là C.