Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x+y=1$ cắt hai trục tại $(1;0)$ và $(0;1)$, vẽ nét liền nên miền nghiệm có lấy đường thẳng. Trên hình, phần bị gạch nằm phía dưới-trái của $d$ (phía chứa gốc $O$), còn miền không bị gạch (miền nghiệm) là phía trên-phải của $d$. Thay tọa độ một điểm thuộc miền không bị gạch, ví dụ $(2;2)$: $2+2=4\ge 1$, còn gốc $O$ (thuộc miền bị gạch) cho $0+0=0<1$. Vậy miền nghiệm thỏa $x+y\ge 1$, phù hợp với dấu $\ge$ và đường thẳng nét liền (có lấy). Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có các đỉnh: (0;0), (1;0) (giao x−y=1 với y=0), (4;3) (giao x−y=1 với x+2y=10), (2;4) (giao x+2y=10 với y=4), (0;4). a) F=x+3y: tại (4;3) F=13, tại (2;4) F=14, tại (0;4) F=12 → max tại (2;4), x0+y0=6 → Đúng. b) Mọi bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn → Đúng. c) Miền nghiệm là ngũ giác (5 đỉnh), không phải tứ giác → Sai. d) (3;1): x−y=2>1, không thỏa → Sai. Kết quả Đ Đ S S khớp đáp án mã đề 1002.
a) (AI giải đề cho tôi)
F đạt max tại đỉnh (2;4) với F=14, nên x0+y0=2+4=6.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tất cả các bất phương trình đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có 5 đỉnh (0;0),(1;0),(4;3),(2;4),(0;4) nên là ngũ giác, không phải tứ giác.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại (3;1): x−y=2>1 vi phạm bất phương trình x−y≤1 nên điểm không thuộc miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua hai điểm $(0;3)$ và $(2;0)$ nên có phương trình $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$, tức $3x+2y=6$. Miền không bị tô đậm (miền nghiệm) nằm về phía phải đường thẳng, ứng với bất phương trình $3x+2y\ge 6$ (đường thẳng vẽ liền nên biên thuộc miền nghiệm). Kiểm tra các điểm: $Q\left(\frac{3}{2};1\right)$: $3\cdot \frac{3}{2}+2=6,5\ge 6$ thuộc miền nghiệm; $N(2;0)$: $6=6$ thuộc miền nghiệm (nằm trên biên); $M\left(\frac{3}{2};3\right)$: $\frac{9}{2}+6=10,5\ge 6$ thuộc miền nghiệm; $P(-1;2)$: $-3+4=1<6$ không thuộc miền nghiệm. Vậy điểm không thuộc miền nghiệm là $P(-1;2)$, khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn yêu cầu mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với hai ẩn $x$, $y$. Xét từng hệ: A có $\sqrt{y}$ và $x^2$ nên không phải; B có ba ẩn $x,y,z$ nên không phải; C có $3x^2$ và $y^2$ nên không phải; D gồm $x>5$, $y+2<0$, $x+y\ge 100$ đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ bất phương trình: $0\le y\le 4$, $x\ge 0$, $x-y\le 1$, $x+2y\le 10$.

a) Thay $(3;1)$: $x-y=3-1=2>1$ nên không thỏa $x-y\le 1$. Vậy $(3;1)$ không thuộc miền nghiệm → Sai.

b) Tất cả các bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn → Đúng.

c) Các đỉnh của miền nghiệm: giao của $x=0,y=0$: $(0;0)$; $y=0$ với $x-y=1$: $(1;0)$; $x-y=1$ với $x+2y=10$: $(4;3)$; $y=4$ với $x+2y=10$: $(2;4)$; $x=0$ với $y=4$: $(0;4)$. Miền nghiệm có 5 đỉnh, là một ngũ giác chứ không phải tứ giác → Sai.

d) Tính $F=x+3y$ tại các đỉnh: $F(0;0)=0$, $F(1;0)=1$, $F(4;3)=13$, $F(2;4)=14$, $F(0;4)=12$. Giá trị lớn nhất $F_{\max }=14$ đạt tại $(x_0;y_0)=(2;4)$, khi đó $x_0+y_0=2+4=6$ → Đúng.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng, khớp với đáp án mã đề 1001 (SĐSĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(3;1)$ vào $x-y\le 1$: $3-1=2>1$, không thỏa nên điểm không thuộc miền nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mọi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có 5 đỉnh: $(0;0),(1;0),(4;3),(2;4),(0;4)$ nên là ngũ giác, không phải tứ giác.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=x+3y$ đạt max tại $(2;4)$ với $F_{\max }=14$; $x_0+y_0=2+4=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua hai điểm $(0;3)$ và $\left(\frac{3}{2};0\right)$, nên có phương trình $\frac{x}{3/2}+\frac{y}{3}=1$, tức $2x+y=3$. Miền bị tô đậm chứa gốc tọa độ $O(0;0)$ (vì $2\cdot 0+0=0<3$), nên miền bị tô đậm là $2x+y<3$; do đó miền nghiệm (phần không bị tô đậm) là $2x+y\ge 3$. Kiểm tra các điểm: $N(2;0)$: $4\ge 3$ (thuộc); $Q\left(\frac{3}{2};1\right)$: $4\ge 3$ (thuộc); $M\left(\frac{3}{2};3\right)$: $6\ge 3$ (thuộc); $P(-1;2)$: $2(-1)+2=0<3$ (không thuộc miền nghiệm). Vậy điểm không thuộc miền nghiệm là $P(-1;2)$, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ mà mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với hai ẩn $x$, $y$. A có bất phương trình $x+y+z<10$ chứa ba ẩn, không phải. B có $3x^2-20y>7$ và $x+y^2\le 100$ chứa ẩn bậc hai, không phải. C có $x+\sqrt{y}>3$ và $x^2-y\ge -2$ không bậc nhất, không phải. D gồm $x>5$, $y+2<0$, $x+y\ge 100$ đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên D là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $\ge ,<,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét các phương án: A có ba ẩn $x,y,z$ nên không phải; B có $x^2$ nên bậc hai; D có $y^2$ nên bậc hai. Phương án C: $2x+y>0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Thay điểm $O(0;0)$ vào từng hệ bất phương trình:
- A: $x+3y-6=-6<0$ (đúng) và $2x+y=0\ge 0$ (đúng) → $O$ thuộc miền nghiệm.
- B: $x+3y-6=-6<0$ (đúng) và $2x+y+4=4>0$ (đúng) → $O$ thuộc miền nghiệm.
- C: $x+3y=0\ge 0$ (đúng) và $2x+y-4=-4<0$ (đúng) → $O$ thuộc miền nghiệm.
- D: $x+3y=0<0$ (sai) → $O$ không thỏa mãn bất phương trình đầu, nên $O$ không thuộc miền nghiệm của hệ.
Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $2x+3y\le 5$: A $(-1;4)$: $2(-1)+3(4)=10>5$, loại. B $(1;2)$: $2(1)+3(2)=8>5$, loại. C $(-2;1)$: $2(-2)+3(1)=-1\le 5$, thỏa mãn. D $(5;3)$: $2(5)+3(3)=19>5$, loại. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $30a+10b\le 210\Rightarrow 3a+b\le 21$; $a+b\le 9$; $a+4b\le 24$; $a,b\ge 0$. Cần tối đa $P=60a+80b$, tức tối đa $3a+4b$. Xét các đỉnh miền ràng buộc: giao của $a+b=9$ và $a+4b=24$ cho $b=5,a=4$ (thỏa $3a+b=17\le 21$), khi đó $P=60\cdot 4+80\cdot 5=640$. Giao của $3a+b=21$ và $a+b=9$ cho $a=6,b=3$, $P=600$. Giao của $3a+b=21$ và $a+4b=24$ cũng là $(6;3)$. Vậy điểm tối ưu là $a=4,b=5$, nên $a-b=4-5=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số thực đơn 1 và thực đơn 2 bán được ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc: $2x+3y\le 165$ (nước chanh), $x+2y\le 100$ (khoai chiên). Cần tối đa $P=30x+50y$. Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(82,5;0)$, giao điểm hai đường thẳng, $(0;50)$. Giao điểm: giải $2x+3y=165$, $x+2y=100$, từ phương trình thứ hai $x=100-2y$, thay vào: $2(100-2y)+3y=165\Rightarrow 200-y=165\Rightarrow y=35$, $x=30$. Tính $P$ tại các đỉnh: $(0;50)$: $P=2500$; $(30;35)$: $P=30\cdot 30+50\cdot 35=900+1750=2650$; $(82,5;0)$: $P=2475$. Vậy số tiền lớn nhất là $2650$ nghìn đồng (bán 30 thực đơn 1 và 35 thực đơn 2, dùng hết 165 cốc nước chanh và 100 túi khoai chiên).

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí công ty $A$: $4000+6\cdot 700=8200$ nghìn đồng. Chi phí công ty $B$: $3500+8\cdot 700=9100$ nghìn đồng. Chênh lệch: $9100-8200=900$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn yêu cầu mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với hai ẩn $x,y$. Xét từng phương án: A có $x^2+2y^2>1$ chứa ẩn bậc hai, loại. C có bất phương trình $x-y-z>0$ chứa ba ẩn, loại. D có $xy>1$ là bất phương trình bậc hai, loại. B có cả hai bất phương trình $x+2y<7$ và $2x+y>-3$ đều bậc nhất hai ẩn. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng trong hình đi qua hai điểm $(4;0)$ và $(0;4)$, nên có phương trình $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1$, tức $x+y=4$. Miền bị gạch nằm phía trên đường thẳng, miền không bị gạch là phía dưới, chứa gốc tọa độ $O(0;0)$ và chứa cả đường thẳng (nên bất phương trình có dấu $\le$ hoặc $\ge$). Thay $O(0;0)$: $0+0=0\le 4$ thỏa mãn, nên miền không gạch là $x+y\le 4$. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Các đỉnh miền nghiệm: $A(5;4)$ (giao $2x+y=14$ và $2x+5y=30$), $B(10;2)$ (giao $2x+5y=30$ với $x=10$), $C(10;9)$, $D(2,5;9)$ (giao $2x+y=14$ với $y=9$). Vì $F(x;y)=x+3y$ tuyến tính nên max đạt tại đỉnh: $F(A)=17$, $F(B)=16$, $F(C)=37$, $F(D)=29,5$. Vậy $\max F=37$ tại $C(10;9)$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $\ge ,<,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét các phương án: A có $2x^2$ (bậc hai) nên loại; B có $x^2+y^2$ (bậc hai) nên loại; C có $y^2$ (bậc hai) nên loại; D là $x-y\ge 7$ với $a=1,b=-1$ đều khác 0, thỏa mãn dạng bậc nhất hai ẩn. Đáp án khớp với bảng đáp án (mã đề 0102, câu 2: D).

Hướng dẫn chấm:
Gọi số bộ sản phẩm loại I sản xuất trong một ngày là $x$ $(x\ge 0)$, số bộ sản phẩm loại II sản xuất trong một ngày là $y$ $(y\ge 0)$. Số lãi thu được là: $S=2x+3y$ (triệu đồng). Số giờ làm việc của máy là: $3x+3y$. Số giờ làm việc của công nhân là: $x+2y$. Theo giả thiết: một ngày máy làm việc không quá 15 giờ, công nhân làm việc không quá 8 giờ nên ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}3x+3y\le 15\\ x+2y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$ (0,25 điểm)
Miền nghiệm của hệ BPT: (0,25 điểm)
Tọa độ các đỉnh của miền nghiệm là: $O(0;0),A(0;4),B(2;3),C(5;0)$.
Khi đó: $S=2x+3y$.
Với $(x;y)=(0;0)$ thì $S=0$.
Với $(x;y)=(0;4)$ thì $S=12$.
Với $(x;y)=(2;3)$ thì $S=13$.
Với $(x;y)=(5;0)$ thì $S=10$.
Do đó: $S_{\max }=13$.
Vậy số tiền lãi lớn nhất xưởng đó đạt được trong một ngày là 13 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$ vào từng hệ: A: $0<6$ đúng, $0\ge -4$ đúng → thuộc miền nghiệm. B: $0<6$ đúng, $0>-4$ đúng → thuộc. C: $0<0$ sai → $O$ không thuộc miền nghiệm. D: $0\ge 0$ đúng, $0<4$ đúng → thuộc. Vậy hệ ở phương án C là hệ có $O$ không thuộc miền nghiệm, khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 5x-4y\le 10\\ 4x+5y\le 10\end{array}$. Miền nghiệm là phần chung của ba nửa mặt phẳng: bên phải (kể cả) trục tung $x=0$; phía dưới đường thẳng $d_1:5x-4y=10$ (vì $O(0;0)$ thỏa $0\le 10$); phía dưới đường thẳng $d_2:4x+5y=10$ (vì $O(0;0)$ thỏa $0\le 10$). Ba đường biên cắt nhau tại ba đỉnh: giao của $x=0$ và $d_1$ là $A\left(0;-\frac{5}{2}\right)$; giao của $x=0$ và $d_2$ là $B(0;2)$; giao của $d_1$ và $d_2$: giải hệ $\{\begin{array}{l}5x-4y=10\\ 4x+5y=10\end{array}$, nhân phương trình thứ nhất với 5 và thứ hai với 4 rồi cộng: $25x-20y+16x+20y=50+40\Rightarrow 41x=90\Rightarrow x=\frac{90}{41}$, suy ra $y=\frac{5x-10}{4}=\frac{\frac{450}{41}-10}{4}=\frac{50}{41\cdot 4}=\frac{10}{41}$, tức $C\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$. Vậy miền nghiệm là miền tam giác với ba đỉnh $A\left(0;-\frac{5}{2}\right)$, $B(0;2)$, $C\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn C (mã đề 0102).