Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Thay điểm $O(0;0)$ vào vế trái mỗi bất phương trình: A: $2(0)+0+1=1>0$ → O thỏa, miền chứa O. B: $0-0+3=3\ge 0$ → chứa O. C: $3(0)+2(0)-6=-6>0$ sai → O không thỏa, miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa O. D: $0-0+2=2\ge 0$ → chứa O. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ: $x+y-3\le 0$, $2x-y+1\ge 0$, $y\ge 0$.
- $M(1;3)$: $1+3-3=1>0$ loại.
- $N(2;2)$: $2+2-3=1>0$ loại.
- $P(1;1)$: $1+1-3=-1\le 0$; $2(1)-1+1=2\ge 0$; $y=1\ge 0$. Thỏa cả ba bất phương trình.
- $Q(-1;1)$: $-1+1-3=-3\le 0$; $2(-1)-1+1=-2<0$ loại.
Vậy điểm thuộc miền nghiệm là $P(1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}3x-2y+6\ge 0\\ x+y-2\le 0\end{array}$:
- $M(2;3)$: $3(2)-2(3)+6=6\ge 0$ (đúng) nhưng $2+3-2=3>0$ (sai) → loại.
- $N(0;4)$: $0-8+6=-2<0$ (sai) → loại.
- $P(-1;1)$: $3(-1)-2(1)+6=1\ge 0$ (đúng) và $-1+1-2=-2\le 0$ (đúng) → thỏa cả hai bất phương trình.
- $Q(3;0)$: $9+6=15\ge 0$ (đúng) nhưng $3+0-2=1>0$ (sai) → loại.
Vậy miền nghiệm chứa điểm $P(-1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra $M(2;1)$: $x=2\ge 0$, $y=1\ge 0$, $x+y=3\le 4$ nên $M$ thuộc miền nghiệm. Tính $F(2;1)=2\cdot 2+3\cdot 1=7$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm tuyến tính $F(x,y)=x+y$ đạt giá trị lớn nhất trên tam giác $ABC$ tại một đỉnh. Tính: $F(A)=0+0=0$, $F(B)=3+0=3$, $F(C)=0+4=4$. Vậy $\max F=4$ tại $C(0;4)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng điểm vào bất phương trình $x-y\le 1$:
- Điểm $(0;0)$: $0-0=0\le 1$ thỏa mãn, thuộc miền nghiệm.
- Điểm $(1;0)$: $1-0=1\le 1$ thỏa mãn, thuộc miền nghiệm.
- Điểm $(2;0)$: $2-0=2>1$ không thỏa mãn, không thuộc miền nghiệm.
- Điểm $(-1;1)$: $-1-1=-2\le 1$ thỏa mãn, thuộc miền nghiệm.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d:x-y=1$ không chứa điểm $(2;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của hệ $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 4$ là tam giác trong góc phần tư thứ nhất, bị chặn bởi trục $Ox$, trục $Oy$ và đường thẳng $x+y=4$. Các đỉnh là giao điểm từng cặp đường thẳng: $Ox\cap Oy$: $(0;0)$; $Ox\cap \{x+y=4\}$: $(4;0)$; $Oy\cap \{x+y=4\}$: $(0;4)$. Vậy các đỉnh là $(0;0),(4;0),(0;4)$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông cân $OAB$ với $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;4)$ nằm trong góc phần tư thứ nhất, bị chặn bởi hai trục $x=0$, $y=0$ và cạnh huyền $AB$ có phương trình $x+y=4$. Vì miền nghiệm kể cả các cạnh nên các bất phương trình đều không nghiêm ngặt: $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 4$. Kiểm tra ba đỉnh: $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;4)$ đều thỏa cả ba bất phương trình này. Phương án A khớp. B sai vì $x+y\ge 4$ cho miền ngoài tam giác (không bị chặn); C sai vì $x\le 0$, $y\le 0$ cho góc phần tư thứ ba; D sai vì $x-y\le 4$ không tạo thành tam giác bị chặn. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;2)$ vào hệ: BPT thứ nhất: $2(1)-2+1=1>0$ luôn đúng. BPT thứ hai: $m(1)+2-3<0\iff m-1<0\iff m<1$. Vậy $m<1$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm tuyến tính $F(x,y)=3x-y$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đa giác tại một đỉnh. Tính tại các đỉnh: $F(A)=3\cdot 1-1=2$; $F(B)=3\cdot 4-1=11$; $F(C)=3\cdot 3-4=5$; $F(D)=3\cdot 1-3=0$. Giá trị nhỏ nhất là $0$ tại $D(1;3)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $(x;y)=(1;2)$ vào $(m-1)x+2y>3$: $(m-1)\cdot 1+2\cdot 2>3\iff m-1+4>3\iff m>0$. Vậy $m>0$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm nằm trên trục hoành có dạng $(x;0)$ với $x$ nguyên. Thay $y=0$ vào hệ: $x+0\le 6\Rightarrow x\le 6$; $x-0\le 2\Rightarrow x\le 2$; $x\ge 0$. Vậy $0\le x\le 2$ với $x$ nguyên, tức $x\in \{0;1;2\}$ — có 3 điểm. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $\{\begin{array}{l}2x+y=8\\ x+2y=8\end{array}$. Trừ hai phương trình theo vế ta được $x-y=0$, tức $x=y$. Thay vào: $3x=8\Rightarrow x=y=\frac{8}{3}$. Khi đó $F\left(\frac{8}{3};\frac{8}{3}\right)=4\cdot \frac{8}{3}+5\cdot \frac{8}{3}=\frac{32+40}{3}=\frac{72}{3}=24$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Máy $M_1$ dùng $2x+y$ giờ (A cần 2 giờ/kg, B cần 1 giờ/kg) nên $2x+y\le 8$. Máy $M_2$ dùng $x+2y$ giờ nên $x+2y\le 7$. Cùng $x\ge 0,y\ge 0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là đa giác với các đỉnh: giao của $x+2y=6$ với $x=0$ là $(0;3)$; giao của $x+y=5$ với $y=0$ là $(5;0)$; giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$ là $(4;1)$; cùng $(0;0)$. Tính $F=2x+5y$: tại $(0;0)$: $0$; tại $(5;0)$: $10$; tại $(0;3)$: $15$; tại $(4;1)$: $13$. Vậy $F_{\max }=15$ tại $(0;3)$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Tìm các đỉnh của miền nghiệm: O(0;0); A là giao của y=0 với x−y=2 nên A(2;0); B là giao của x+y=4 với x−y=2, giải hệ x+y=4, x−y=2 được x=3, y=1 nên B(3;1); C là giao của x=0 với x+y=4 nên C(0;4). Áp dụng công thức shoelace cho tứ giác O(0;0), A(2;0), B(3;1), C(0;4): S = ½|x_O y_A − y_O x_A + x_A y_B − y_A x_B + x_B y_C − y_B x_C + x_C y_O − y_C x_O| = ½|0 + (2·1 − 0·3) + (3·4 − 1·0) + 0| = ½(2 + 12) = 7. Vậy diện tích tứ giác OABC bằng 7, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $O(0;0)$, $A(4;0)$ (giao của $x+y=4$ với $y=0$), $B(2;2)$ (giao của $x+y=4$ và $2x-y=2$: cộng hai phương trình được $3x=6\Rightarrow x=2$, $y=2$), và $C(0;0)$ trên trục (thực chất đỉnh thứ tư là $(0;0)$ vì $2x-y\le 2$ với $x=0$ cho $y\ge -2$, luôn đúng khi $y\ge 0$). Tính $F=3x+2y$ tại các đỉnh: $F(0;0)=0$, $F(4;0)=12$, $F(2;2)=10$. Vậy $F$ đạt giá trị lớn nhất $12$ tại $(x_0;y_0)=(4;0)$, suy ra $x_0+y_0=4$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng ngô, $y$ (ha) là diện tích trồng đậu ($x,y\ge 0$). Điều kiện: $x+y\le 8$ (diện tích) và $10x+20y\le 100\iff x+2y\le 10$ (công lao động). Lợi nhuận $F=30x+40y$ (triệu đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $(0;0)$, $(8;0)$, giao của $x+y=8$ và $x+2y=10$: trừ hai phương trình ta được $y=2$, $x=6$ nên $(6;2)$, và $(0;5)$. Tính $F$: tại $(8;0)$: $F=240$; tại $(6;2)$: $F=180+80=260$; tại $(0;5)$: $F=200$; tại $(0;0)$: $F=0$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $260$ triệu đồng, đạt khi trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là đa giác lồi với các đỉnh giao của các đường thẳng: $O(0;0)$; giao $y-x=2$ với $x=0$ là $(0;2)$; giao $y-x=2$ với $x+y=6$ là $(2;4)$; giao $x+y=6$ với $y=0$ là $(6;0)$. Tính $F(x,y)=4x+3y$ tại các đỉnh: $F(0;0)=0$, $F(0;2)=6$, $F(2;4)=8+12=20$, $F(6;0)=24$. Vậy giá trị lớn nhất của $F$ trên miền nghiệm là $24$, đạt tại $(6;0)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (lít) là lượng nước X, Y sản xuất ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: đường $2x+y\le 200$; hương liệu $10x+30y\le 1200\iff x+3y\le 120$. Hàm lợi nhuận $F=10x+15y$ (nghìn đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $O(0;0)$, $A(100;0)$, $B(0;40)$ và giao điểm của $2x+y=200$, $x+3y=120$: giải được $x=96$, $y=8$, tức $C(96;8)$. Tính $F$: tại $O$: $0$; tại $A(100;0)$: $1000$; tại $B(0;40)$: $600$; tại $C(96;8)$: $10\cdot 96+15\cdot 8=960+120=1080$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $1080$ nghìn đồng, đạt khi sản xuất $96$ lít nước X và $8$ lít nước Y. Đáp án A.